浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元测试题含答案

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角
形单元测试题
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列图案是轴对称图形的是( )
2．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为( )
A．45°B．55°C．65°D．70°
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( )
A．AD与BD B．BD与BC
C．AD与BC D．AD，BD与BC
4．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
5．若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( )
A．5 B．7 C．5或7 D．6
6．如图所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC的是( )
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
7．如图所示，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD 与△AOP全等的理由是( )
A．SSS B．ASA C．SSA D．HL
8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B 恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )
A．44°B．60°C．67°D．77°
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝45°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．3.7 C．4 D．4.5
10．如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD ∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( )
A．10 cm B．8 cm
C．12 cm D．20 cm
请将选择题答案填入下表：
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是____________________．12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于点D，则∠DBC＝________°.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD 最简单的方法是________．
14．直角三角形的两条边长分别为3，4，则它另一边的长为________．
15．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.
16．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝________.
三、解答题(本题共8小题，共66分)
17．(6分)如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．
18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
19．(6分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．
20．(8分)如图所示，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，连结DE，EF，FD，得到△DEF为等边三角形．
求证：(1)△AEF≌△CDE；
(2)△ABC为等边三角形．
21．(8分)如图所示，请将下列两个三角形分别分成两个等腰三角形．(要求标出每个等腰三角形的内角度数)
22．(10分)在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′，并把它们拼
成如图所示的形状(点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．
23．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC边上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.
求证：(1)∠AEC＝∠C；
(2)BD＝2AC.
24．(12分)如图所示，O是直线l上一点，在点O的正上方有一点A，满足OA＝3，点A，B位于直线l的同侧，且点B到直线l的距离为5，线段AB＝40，一动点C在直线l上移动．
(1)当点C位于点O左侧时，且OC＝4，直线l上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．
(2)连结BC，在点C移动的过程中，是否存在一点C，使得AC＋BC的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案
1．A
2．B
3．A
4．B
5．B
6．C
7．D
8．C
9．D
10．A
11．两直线平行，内错角相等
12．20
13．HL
14．5或7
15．63
16． 3
17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵DE⊥BC于点E，∴∠DEB＝∠FEC＝90°，∴∠B＋∠EDB＝∠C＋∠F＝90°，
∴∠EDB＝∠F(等角的余角相等)．
又∵∠EDB＝∠ADF(对顶角相等)，
∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
18．证明：如图，连结AD.
∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴∠EAD ＝∠FAD .
在△AED 和△AFD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，
∴△AED ≌△AFD (SAS )， ∴DE ＝DF .
19．解：∵∠A 为直角，∴在Rt △ABD 中， 由勾股定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2. ∵AD ＝12，AB ＝16，∴BD ＝20.
∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252，且BC 2＝252， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴∠CDB 为直角，
∴△ABD 的面积为1
2×16×12＝96，
△BDC 的面积为1
2×20×15＝150，
∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246. 20．证明：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ， ∴BF ＋AB ＝AC ＋AE ，即FA ＝EC . ∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE . 又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE .
(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.
∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°.
∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
21．解：如图所示．
22．证明：如图所示，在Rt△ABC中，
∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°.
又∵∠ACC′＝90°，
∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，
∴B，C(A′)，B′在同一条直线上．
又∵∠B＝90°，∠B′＝90°，
∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′.
由面积相等得1
2
(a＋b)(a＋b)＝
1
2
ab＋
1
2
ab＋
1
2
c2，
即a2＋b2＝c2.
23．证明：(1)∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．
∵E 是BD 的中点，
∴AE ＝BE ＝DE ，∴∠B ＝∠BAE .
∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠AEC ＝2∠B .
又∵∠C ＝2∠B ，∴∠AEC ＝∠C .
(2)由(1)的结论可得AE ＝AC .
∵AE ＝12BD ，∴AC ＝12
BD ，即BD ＝2AC . 24．解：(1)存在．由勾股定理可求得AC ＝5.当点P 使得△ACP 为等腰三角形时，如图①所示，OP 1＝4，OP 2＝5－4＝1，OP 3＝CP 3＋OC ＝AC ＋OC ＝5＋4＝9.
在Rt △AP 4O 中，AP 42＝OP 42＋OA 2，
设OP 4＝x ，则(4－x )2＝x 2＋32，
解得x ＝78，∴OP 4＝78
. 综上所述，OP 的长为4或1或9或78
.
(2)存在．如图②所示，作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 与直线l 相交于点C ，则
A ′
B 为A
C ＋BC 的最小值．
过点A ′作A ′E ∥l ，过点B 作BE ⊥A ′E 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点D .
在Rt△ABD中，AB＝40，BD＝5－3＝2，
∴AD＝AB2－BD2＝6.
在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，∴A′B＝BE2＋A′E2＝82＋62＝10，
∴AC＋BC的最小值为10.。