2019年河南省信阳市中考数学模拟试卷

2019年河南省信阳市中考数学模拟试卷
一、选择题
1．下列各数中最小的数是（）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣D．0
2．下列运算不正确的是（）
A．a3•a2=a5B．（x3）2=x9
C．x3+x3=2x3D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
）
A．2，3 B．2，1 C．1.5，1 D．1，1
4．如图所示物体的左视图为（）
A．B． C．D．
5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）
A．52°B．38°C．42°D．60°
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交
于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x （s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．C．
D．
二、填空题
9．计算﹣（﹣2）﹣2﹣（﹣2）0﹣2cos60°=____________．
10．2015年，我国筹备成立亚洲基础设施投资银行（亚投行）．据统计，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8
000 000 000 000美元基建投资，将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为
____________．
11．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为____________．12．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD，求△ABE与△CDE的面积之比为____________．
13．如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F 两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为____________．
14．如图，已知矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于E，则图中阴影部分的面积是____________．
15．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B 重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=____________．
三、解答题
16．先化简，再求值．（﹣）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．
17．为了解中考体育科目训练情况，某区从九年级学生中抽取了部分学生进行了一次中考体育科测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C 级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是____________；
（2）图1中∠α的度数是____________，并把图2条形统计图补充完整；（3）该区九年级有学生4000名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数为____________；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE
（1）证明OE∥AD；
（2）①当∠BAC=____________°时，四边形ODEB是正方形．
②当∠BAC=____________°时，AD=3DE．
19．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．
21．（10分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y 与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
22．（10分）（2016•河南模拟）（1）问题背景Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，CD，如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD．
（2）类比探索：若将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“AB=kBC，DB=kEB，k ＞1”其它条件均不变，如图3，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由．
23．（11分）（2016•河南模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B （﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在动点D在抛物线上，动点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边，以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年河南省信阳市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各数中最小的数是（）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣D．0
【考点】实数大小比较．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣π＜﹣3＜﹣＜0，
∴各数中最小的数是﹣π．
故选：A．
2．下列运算不正确的是（）
A．a3•a2=a5B．（x3）2=x9
C．x3+x3=2x3D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除法运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，不合题意；
B、（x3）2=x6，错误，符合题意；
C、x3+x3=2x3，正确，不合题意；
D、（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3，正确，不合题意；
故选：B．
）
A．2，3 B．2，1 C．1.5，1 D．1，1
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：处于这组数据中间位置的那个数是1，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1．
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1．
故选：D．
4．如图所示物体的左视图为（）
A．B． C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，
故选：A．
5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）
A．52°B．38°C．42°D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．
【解答】解：如图：
∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），
∴∠1=90°﹣∠3=52°，
故选A．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．
【解答】解：设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52﹣32=16，
∴AF=4，DF=5﹣4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3﹣x）2+12，
解得：x=．
故选B．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交
于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出
AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x （s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；
②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
解y=•3x•x=x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
解y=•x•3=x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．
故选：C．
二、填空题
9．计算﹣（﹣2）﹣2﹣（﹣2）0﹣2cos60°=﹣2．
【考点】负整数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】首先分别计算开方、负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数，然后再算乘法，后算加减即可．
【解答】解：原式=﹣﹣1﹣2×
=﹣1﹣1
=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握开方、负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数的运算，掌握计算顺序．
10．2015年，我国筹备成立亚洲基础设施投资银行（亚投行）．据统计，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资，将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为
8×1012．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n
是负数．
【解答】解：将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为8×1012．
故答案为：8×1012．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，
则P==．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；②
分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD，求△ABE与△CDE的面积之比为．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；圆周角定理．
【分析】连接AD．设AB=a，利用勾股定理求出AC、CD，由△EBA∽△ECD 推出=（）2，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD．设AB=a，
∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2a，
∵∠DBA=∠DBC，
∴AD=CD，
∵AD2+DC2=AC2，
∴AD=CD=a，
∵∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EBA∽△ECD，
∴=（）2=（）2=．
故答案为．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质．圆的有关知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．
13．如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F 两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为8．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
【解答】解：设E（a，），则B纵坐标也为，
E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，
因为BF=BC﹣FC=﹣=，所以F也为中点，
S△BEF=2=，k=8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．
14．如图，已知矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于E，则图中阴影部分的面积是．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积=扇形ABE的面积+矩形ABCD的面积﹣△DEC的面积．然后按各图形的面积公式计算即可．
+S▭ABCD﹣S△DCE
【解答】解：S
阴影=S扇形ABE
=+2×1﹣×（1+2）×1
=+．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
15．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B 重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．
【考点】正方形的性质．
【分析】分两种情形①当CD=CE=时，②当ED=EC时，根据等腰直角三角形的性质求出AE即可解决问题．
【解答】解：连接AE，
∵四边形ABCD、APEF是正方形，
∴A、E、C共线，
①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，
∴AP=AE=﹣1
②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，
∴AE=AC﹣EC=1，
∴AP=AE=．
∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．
故答案为﹣1或．
【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，记住等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，属于中考常考题型．
三、解答题
16．先化简，再求值．（﹣）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=﹣，
方程变形得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x=1或x=3，
当x=1时，原式没有意义，舍去，
则当x=3时，原式=﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．为了解中考体育科目训练情况，某区从九年级学生中抽取了部分学生进行了一次中考体育科测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C 级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是40人；
（2）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该区九年级有学生4000名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数为800人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）根据B级的人数是12，所占的百分比是30%，据此即可求得总人数；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得α的值，然后利用百分比的意义求得C级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）12÷30%=40（人）；
故答案为：40人；
（2）∠α的度数=360°×=54°；
故答案为：54°；
40×35%=14（人）；
把条形统计图补充完整，
如图所示：
（3）4000×=800（人），
故答案为：800人；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）==．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE
（1）证明OE∥AD；
（2）①当∠BAC=45°时，四边形ODEB是正方形．
②当∠BAC=30°时，AD=3DE．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OD，证明Rt△ODE≌Rt△OBE得到∠BOE=∠DOB，根据半径相等得到∠A=∠DOB，根据平行线的判定证明OE∥AD；
（2）①根据正方形的性质和平行线的性质可得结论；
②作OF⊥AD于F，根据垂径定理和锐角三角函数的知识计算得到答案．【解答】解：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE，
∴∠BOE=∠DOB，
∵OA=OD，
∴∠A=∠DOB，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD；
（2）①当四边形ODEB是正方形时，BO=BE，
∴∠BOE=45°，
∵OE∥AD，
∴∠BAC=45°；
②当∠BAC=30°时，AD=3DE，
证明：作OF⊥AD于F，
由垂径定理可知，AF=DF=AD，
∵∠BAC=30°，
∴∠ODF=∠DOE=30°，
∴OD==AD，
OD==DE，
∴AD=3DE．
【点评】本题考查的是切线的性质和全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，正确找出辅助线、灵活运用切线的性质在直角三角形中正确运用三角函数的概念是解题的关键．
19．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，进而求得GF的长；
（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【解答】解：（1）过A作AP⊥GF于点P．
则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，
在Rt△PAG中，tan∠PAG=，
∵兵兵与建筑物的距离BC=5米，
∴AP=BF=FC+CB=5+7=12
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），
∴GF=9+1.4≈10.4（米）；
（2）由题意可知MN=5米，MF=3米，
∴在直角△MNF中，NF==4（米），
∵4+1.65+5=10.65，10.65＞10.4，
∴能触到挂在树上的风筝．
【点评】本题考查了勾股定理，以及三角函数、正确求得GF的长度是关键．
20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2，从而求得反比例函数解析式；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），确定AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；
【解答】解：（1）由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），得：k=2×1=2，
∴反比例函数为y=（x＞0），
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=（x＞0），得a=2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2，
∵tan∠DAC==，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入
得，
解，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1；
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（10分）（2014•黔东南州）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y 与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；
（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；
（3）设购进玩具a件（a＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．
【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得
，
解得，
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；
（2）当0＜x≤20时，
y=30x；
当x＞20时，
y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；
（3）设购进玩具a件（a＞20），则乙种玩具消费27a元；
当27a=21a+180，
则a=30
所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；
当27a＞21a+180，
则a＞30
所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；
当27a＜21a+180，
则a＜30
所以当购进玩具少于30件，多于20件，选择购乙种玩具省钱．
【点评】此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确列式解决问题．
22．（10分）（2016•河南模拟）（1）问题背景Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，CD，如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD．
（2）类比探索：若将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“AB=kBC，DB=kEB，k ＞1”其它条件均不变，如图3，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由．
【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先判定△ABE≌△CBD，再根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出结论；
（2）先判定△ABE≌△CBD，再根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可得出结论；
（3）先判定△AEB∽△CDB，再根据相似三角形对应边成比例，对应角相等进行推导，即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠AEB=∠CDB，
∵∠CDB+∠BCD=90°，
∴∠AEB+∠BCD=90°，
∴∠CKE=90°，即AE⊥CD．
（2）AE=CD，AE⊥CD．
证明：∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，且∠BAE=∠BCD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．
（3）AE=CD，AE⊥CD．
证明：∵AB=kBC，DB=kEB，
∴，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，
即∠ABE=∠CBD，
∴△AEB∽△CDB，
∴，且∠EAB=∠DCB，
∴AE=CD，
∵∠BCD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOK，∴∠AOK+∠BAE=90°，
∴∠AKO=90°，即AE⊥CD．
【点评】本题以旋转为背景，主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．寻找相似三角形的一般方法是依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
23．（11分）（2016•河南模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B （﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在动点D在抛物线上，动点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边，以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，利用A、B、O三点的坐标可求得抛物线解析式；
（2）由B、C的坐标可求得OB、OC的长，且可求得∠BOC=90°，设出P点坐标，可表示出PM和AM的长，当△PMA和△BOC相似时可得到=或=，从而可求得P点坐标；
（3）AO为四边形的一边时，过E作ED∥AO，且DE=AO=2，则可求得D点的横坐标，从而可求得D点坐标．
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=x2+2x；
（2）存在．理由如下：
∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴C点坐标为（﹣1，﹣1），
∴∠AOC=45°，OC=，
∵B（﹣3，﹣3），
∴∠BOA=45°，OB=3，
∴∠BOC=90°，
过P作PM⊥x轴于点M，连接AP，如图1，
设P点坐标为（x，x2+2x），
∵P点在第一象限，
∴PM=x2+2x，AM=AO+OM=x+2，。