相位法激光测距原理及算法详解

激光相位法测距的原理
激光相位测距中，把连续的激光进行幅度调制，调制光的光强随时间做周期性变化，测定调制光往返过程中所经过的相位变化即可求出时间和距离。

图.1 相位式激光测距原理示意图
如图1所示，设发射处与反射处（提升容器）的距离为x ，激光的速度为c ，激光往返它们之间的时间为t ，则有：
c
x
t 2
设调制波频率为f ，从发射到接收间的相位差为 ，则有：
N c
fx
ft 242 (2) 其中，N 为完整周期波的个数， 为不足周期波的余相位。

因此可解出：
)(2)22(24N N f
c
N f c f c x
(3) 其中，f c L s 2 称为测尺或刻度，N 即是整尺数， 2 N 为余尺。

根据测得的相位移的大小，可知道N 余尺的大小。

而整尺数N 必须通过选择多个合适的测尺频率才能确定，测尺频率的选择是提升容器精确定位的关键因素之一。

多尺测量方法
测量正弦信号相移的方法都无法确定相位的整周期数，即不能确定出相位变化中 2的整倍数N ，而只能测量不足 2的相位尾数 ，因此公式（2.3）中的N 值无法确定，使该式产生多个解，距离D 就不能确定。

解决此缺陷的办法是选用一个较低的测尺频率s f ，使其测尺长度s L 稍大于该被测距离，这种状况下不会出现距离的多值解。

但是由于测相系统的测相误差，会导致测距误差，并且选用的s L 越大则测距误差越大。

因此为了得到较高的测距精度而使用较短的测尺长度，即较大的测尺频率s f ，系统的单值测定距离就相应变小。

为了解决长测程和高精度之间的矛盾，一般使用的解决办法是：当待测距离D 大于基本测尺sb L （精测测尺）时，可再使用一个或几个辅助测尺sl L （又叫粗测测尺），然后将各个测尺测得的距离值组合起来得到单一的和精确的距离信息。

由此可见，用一组测尺共同对距离D 进行测量就可以解决距离的多值解，即用短尺保证精度，用长尺保证量程。

这样就解决高精度和长测程的矛盾[4]。

本系统选用10米作为精尺，1000米作为粗尺，带入公式即可求得精尺频率和粗尺频率：
精尺频率 MHz L c
f 1525
10
（4） 粗尺频率 kHz L c
f 15021000
1000 （5） 其中，光速s m c /1038 。

上面公式计算出的只是个大概的数值，实际上光速要小于s m /1038 ，而且c 还和实际的大气条件（比如矿井温湿度、气体成分、风速等）有关，因此，这些测尺频率需要进一步调整，具体的做法是在现场标定。

混频原理及其在系统中的应用
模拟相乘混频器
混频是将信号频率由一个量值变换为另一个量值的过程。

如图2.2所示，信号输入
和输出的关系分析如下：
图2.2 模拟相乘混频器
Fig. 2 Frequency mixer
设输入信号分别为)cos()(s s sm s t U t U 和)cos()(l l lm l t U t U ，经过模拟乘法器相乘以后得：
l s l s lm sm M l s l s lm sm M z t U U K t U U K U
)(cos 2
1
)(cos 21
（2.6） 由上式可以看出，经过模拟乘法器将两个信号相乘，就实现了两个信号的差频与和频，其中M K 为增益系数。

通过带通滤波器或者低通滤波器后，即可得到差分输出：
l s l s lm sm M I t U U K U
)(cos 2
1
在相位法测距中使用混频
精尺频率15MHz 的正弦信号是中高频信号，对其进行测量是很困难的，这样就要求对信号波形做一定的变化，在保证相位不变的情况下降低信号频率，使后级的模数转换器采样更容易。

在本相位式测距系统中，设由DDS 发出的调制信号和APD 接收到的回波信号分别为1U 、2U ：
)cos(11 t U （2.7） )cos(22 t U （2.8）
其中f 2 ，f 是精尺频率，其值为15MHz ，此时两路信号的相位差是21 。

另外一个DDS 发出的本振信号)cos(313 t U ，其中112f ，1f 为本振频率，其值
为MHz 985.14。

将调制信号1U 与本振信号3U 混频：
31131131131)(cos )(cos 2
1
)
cos()cos( t t t t U U （2.9） 使用低通滤波器保留其低频 kHz 15的正弦信号，得到：
311)(cos t U s （2.10）
同理可得回波信号2U 与本振3U 混频后的信号：
321)(cos t U l （2.11）
此时我们可以得到s U 与l U 的相位差：
213231)()( （2.12）
由此可见，混频前后相位差不变，信号频率降低到了kHz 15。

同理，对于粗尺频率150kHz ，引入的本振频率为135kHz ，经过上述方法，同样可以在相位差不变的情况下将信号频率降低到kHz 15。

基于快速傅里叶变换的相位测量方法
相位法激光测距系统的测量精度主要取决于测相的精度，而传统的测相方式通常大量采用模拟电路，无法解决模拟元件固有的缺点（如温漂、零漂严重，抗干扰能力差等），尤其在煤矿开采现场，不仅环境条件十分恶劣（淋水、粉尘等），而且现场有各种大功率机电设备，有很强的电磁串扰，因而这种采用模拟元器件搭建电路的测相方法在稳定性和可靠性方面都很不理想[4]。

用基于信号频谱分析的鉴相方法，需要对采样的信号进行数字信号处理，这就要求将回波信号这样的模拟量转换为数字量，系统中采用模数转换器（ADC ）实现，采样过程需要遵循一定的条件，采样后的数据进行快速傅里叶变换（FFT ）算法。

采样定理
A/D 转换是相位法测距的重要组成部分，是整个数字化处理的基础。

从模拟的连续
时域信号得到离散的数字信号应该遵循一定的原则，这就是在数字信号处理领域著名的采样定理。

2 Nyquist 采样定理
Nyquist 采样定理是针对基带信号而言的，又称低通采样定理[8]。

设有一个频率带限信号)(t x ，其频带限制在),0(H f 内，如果以不小于H s f f 2 的采样速率对)(t x 进行等间隔采样，得到离散的采样信号)()(s nT x n x 其中s s f T 1 称为采样间隔，则原有信号)(t x 将被得到的采样值)(n x 完全地确定。

采样之后，信号频谱周期化，变为原信号频谱移频后的多个谱叠加，如果原信号)(t x 的频谱如图2.3(a)所示，那么采样后的信号频谱就如图2.3(b)所示[8]。

图3(a) 带限信号)(t x 频谱 3(b) )(t x 经采样后信号频谱
Fig. 2.3(a) Spectrum of band-limited signal )(t x Fig. 2.3(b) Spectrum of sampled )(t x
由图可见，)(w X s 中包含有)(w X 的频谱成分，如图2.3(b)中虚框部分所示，只要满足
H s f f 2 或H s w w 2 （2.13）
则虚框部分不会与其它频率部分相混叠。

这时只需要一个带宽大于等于H w 2的低通滤波器，就能滤出原来的信号)(t x 。

Nyquist 采样定理告诉我们，如果以不低于信号最高频率的两倍的采样速率对带限信号进行采样，那么所得到的离散采样值就能准确地确定原信号。

该定理的用意在于，时间上连续的模拟信号可以用时间上离散的采样值来取代，这样就为模拟信号的数字化处理提供了理论依据[8]。

带通信号采样定理
带通信号采样定理又称欠采样定理、带通采样定理或中频采样定理[9]。

Nyquist 采样定理只讨论了频谱分布在),0(H f 上的基带信号的采样问题，如果信号的频率分布在某一有限的频带),(H L f f 上时，也需要遵循一定的原则。

当然，根据Nyquist
H
H S H
H S S
采样定理来进行采样。

但是，当L H H f f B f 时，也就是当信号的最高频率H f 远远大于其信号带宽B 时，如果仍按Nyquist 采样率来采样的话，则其采样率会很高，甚至很难实现，或者后级处理的速度也满足不了要求。

这样的情况下，可以按照带通信号采样定理来采样。

带通信号采样定理：设一个带限信号)(t x ，其频率限制在),(H L f f 内，如果其采样率满足：
1
2)
(2
n f f f H L s (2.14)
式中，n 取满足)(2L H s f f f 的最大正整数（0，1，2，…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值)(s nT x 能准确地确定原信号)(t x [9]。

式（2.14）用带通信号的中心频率0f 和频率带宽B 也可以表示为：
1
240
n f f s (2.15) 式中 2
0H
L f f f
，n 取满足B f s 2 （B 为频带宽度）的最大整数。

显然，当20H f f 、H f B 时，取0 n ，式（2.15）就是Nyquist 采样定理，即满足H s f f 2 。

由式（2.15）可见，当确定了频带宽度B ，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度速率)2(B f s 对带通信号进行采样，带通信号的中心频率必须满足：
B n f 2
1
20
（2.16） 或 B n f f H L )12( （2.17） 也即信号的最高和最低频率相加是带宽的整数倍。

带通信号采样前后的频谱示意图如图2.4所示。

(a) 采样前 (b)采样后
4 带通信号采样前后的频谱
Fig.2.4 Spectrum of bandpass signal before and after sampling
L 0H L 0H S S
上述带通采样定理适用的先决条件是：只允许在其一个频带上存在信号，但是不允许在许多不同的频带上同时存在信号，否则就将会引起混叠。

但实际的情况是在多个频带上都有信号，为解决这一问题，一般要在采样之前先将信号通过一个带通滤波器，也称抗混叠滤波器[9]。

以上的结论为我们对正弦信号的采样提供了一个总的准则：采样的频率应为信号频率的整数倍，采样的点数应包括整数倍的周期，由于本论文采样过后的信号进行FFT 的处理，基2的FFT 算法要求输入离散数据的点数是2的整数次幂，所以我们这里的采样频率应是正弦信号频率的M 2倍（M 在工程上一般取大于等于2的正整数）[9]。

快速傅里叶变换（FFT ） 离散傅里叶变换（DFT ）
离散傅里叶变换（DFT ）的定义为：设x (n )为N 点有限长序列，其DFT 为
1
)()(N n nk N W n x k X k =0, 1, …, N -1 （2.18）
其中：N
j
N e
W 2 ，称为蝶形因子。

一般说来，x (n )和nk N W 都是复数，)(k X 也是复数，所以每计算一个)(k X 值，需要N 次复数乘法和N-1次复数加法。

而)(k X 一共有N 个点（k 从0取到N-1），所以完成整个DFT 运算总共需要2N 次复数乘法及 1 N N 次复数加法[10]。

在这些运算中乘法运算要比加法运算复杂，需要的运算时间也多一些。

因为复数运算实际上是由实数运算来完成的，这时DFT 运算式可写成：
])}
Re[)](Im[]Im[)]((Re[][Im )](Im[]Re[)]({Re[]}Im[])]}{Re[(Im[)]({Re[)()(101
01
0nk N nk N nk N N n nk
N N n nk N nk
N N n nk
N
W n x W n x j W n x W n x W j W n x j n x W
n x k X （2.19）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法需二次实数加法。

因而每运算一个)(k x 需4N 次实数乘法和2N +2(N -1)=2(2N -1)次实数加法。

所以，整个DFT 运算总共需要24N 次实数乘法和2N (2N -1)次实数加法。

当然，上述统计与
实际需要的运算次数稍有出入，因为某些nk N W 可能是1或j ，就不必相乘了，例如0
N W ，
12
N
N
W ，j W N
N
4
等就不需乘法。

但是为了便于和其他运算方法作比较，一般都不
考虑这些特殊情况，而是把nk N W 都看成复数，当N 很大时，这种特例的影响很小[10]。

从上面的统计可以看到，直接计算DFT ，乘法次数和加法次数都是和2N 成正比的，当N 很大时，运算量是非常大的。

利用系数nk N W 的以下固有特性，就可减少运算量：
对称性： *()nk nk N N W W （2.20）
周期性： ()()nk n N k n k N N N N W W W （2.21） 得： ()()2()(1)n N k N n k nk Nk Nn k n N N N N N W W W W W e
2/21(1)N
N j N N W W e
(/2)k N k N N W W （2.22）
利用以上特性，可以将有些项合并,并将DFT 分解为短的序列，从而降低运算的次数，提高运算的速度。

1965年，库利（Cooley ）和图基（Tukey ）先提出FFT 算法。

对于N 点DFT ，仅需N
N 2log 2
次复数乘法运算。

例如N=1024时，需要5120次。

5120/1048576=4.88%,速度提高了20倍[10]。

按时间抽选(DIT)的基-2 FFT 算法
FFT 的提出使N 点DFT 的乘法运算量由2N 次降至
N
N 2log 2
次。

FFT 算法基本上可分为二大类：按时间抽取算法和按频率抽取算法[11]。

本文介绍按时间抽取的基-2 FFT 算法。

将()x n 按n 的奇偶分为两组作DFT 。

设序列点数为L N 2 ，L 为整数,如果不满足这个条件，可以人为的加若干零值，这样有:
12
,...,1,0)()12(12,...,1,0)()2(21N
r r x r x N r r x r x （2.23）
因此： 1
0()[()]()N nk N n X k DFT x n x n W （2.24）
11
()()()()()N N nk
nk N
N n n X k x n W n x n W n 为偶数时为奇数时
2
2
1
1
2(21)0
(2)(21)N N rk r k
N N r r x r W x r W 22
1
1
2212
()()()()N
N rk k rk N
N
N
r r x r W W
x r W
（2.25）
由于：22
2
22/()2N N
N j j N W e
e
W （2.26）
所以，上式可表示为：
2
2
2
2
1
112120
()()()()()N N N N rk k rk k N N r r X k x r W W x r W X k W X k （2.27）
其中：22
2
2
11110
()()(2)N N N N rk rk r r X k x r W x r W （2.28）
2
2
2
2
11
220
()()(21)N
N N N rk
rk r r X k x r W x r W （2.29）
)(1k X 和)(2k X 均为
2
N
点的DFT ，式（2.29）只能确定出X(k)的k =20,1,,1N 个，即前一半的结果。

后一半的结果的确定如下：
由于 2
2
2
()N N
N r k rk W W （周期性）
所以: 22
2
22
11
()111100
()()()()2N
N
N N N r k rk r r N X k x r W x r W X k （2.30） 同理：
)()2
(
22k X k N
X （2.31） 这就是说,)(1k X 、)(2k X 的后一半，分别等于其前一半的值。

又由于 22
()N N
k k k
N
N N N W W W W ，
所以： 212(((222
N
k N N N N X k X k W X k
122()(), 0,1,,1k
N N X k W X k k （2.32）
可见，)(k X 的后一半，也完全由)(1k X ，)(2k X 的前一半所确定。

由此可见，)(n X 分解一次就可以使计算量节省近一半。

第m 次分解的结果是由m 2个m N 2点的DFT 两两组成共12 m 个12 m N 点DFT。

由v N 2 通过v 次分解后，最后达到了N/2个两点的运算[11]。

基于FFT 的相位检测方法
设某正弦波)2sin()(0t f t x ，采样频率为s f ，采样点数为N ，设f q f 0，其中q 为正整数，f 为频率分辨率，即N f f s ，对)(t x 采样后的离散序列为：
n q N nT f n x s 2sin )2sin()(0 （2.33）
)(n x 的离散傅里叶变换（DFT ）为：
nk
N
N n W n x k X 1
0)()( k=0,1,2…N-1 （2.34） 其中 nk
N j nk
N e n q N W n x
22sin )(
n k q N j j n k q N j j 2exp 212exp 21 （2.35） 所以：
1022exp 21N n n k q N j n k q N j j k X （2.36） 当q k 时，Nj k X 2
1
)( ；q k 时，0)( k X 。

同理对相位为 的正弦离散序列：
n q N n x 2sin )( （2.37）
其DFT 为
1
022exp )exp(21)(N n n k q N j n k q N j j j k X （2.38） 当q k 时，0)( k X ；q k 时
)exp(2
1
)( j Nj k X （2.39）
由式（2.39）可知)(k X 只有在q k 处的值不是零，因为)(n x 是频率为n q N
2的序
列，由此根据)(k X 在q k 的值的实部Re 和虚部Im 按照公式（2.40）便可得到正弦序列的初始相位。

221Im Re Re cos （2.40） 当对正弦信号进行采样时，只要满足采样定理，并且满足f q f 0，其中N f f s 时，我们可以通过离散傅里叶变换的方法得到正弦信号的初始相位。

将上述的理论延伸，对两个正弦信号离散序列：
112sin )( n q N n x （2.41）
222sin )( n q N n x （2.42） 首先对两信号序列分别作离散傅里叶变换，根据以上的理论，由式（2.40）可以分别求出1 ，2 ，进而得到相位差21 ，可以看出DFT 可以检测出相位信息，由于
快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速算法，所以也说用FFT 检测相位差[12]。