2011年高考理科数学试题及详细答案(山东卷)

考点：指数函数的图像与性质。 专题：计算题。 分析：先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进 行解答． 解答：解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9， 解得a=2． ∴ = ．
故选D． 点评：对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现． 在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究， 一般的问题往往都可以迎刃而解． 4．（2011•山东）不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（ ） A．[﹣5，7] B．[﹣4，6] C．（﹣∞，﹣ 5]∪[7，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞） 考点：绝对值不等式的解法。 专题：计算题。 分析：解法一：利用特值法我们可以用排除法解答本题，分别取x=0， x=﹣4根据满足条件的答案可能正确，不满足条件的答案一定错误，易 得到答案． 解法二：我们利用零点分段法，我们分类讨论三种情况下不等式的解， 最后将三种情况下x的取值范围并起来，即可得到答案． 解答：解：法一：当x=0时，|x﹣5|+|x+3|=8≥10不成立 可排除A，B 当x=﹣4时，|x﹣5|+|x+3|=12≥12成立 可排除C 故选D 法二：当x＜﹣3时 不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）﹣（x+3）≥10 解得：x≤﹣4 当﹣3≤x≤5时 不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）+（x+3）=8≥10恒不成立 当x＞5时 不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：（x﹣5）+（x+3）≥10 解得：x≥6 故不等式|x﹣5|+|x+3|≥10解集为：（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞） 故选D 点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中利用零点分段法 进行分类讨论，将绝对值不等式转化为整式不等式是解答本题的关键． 5．（2011•山东）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴 对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条 件 D．既不充分也不必要条件
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(山 东卷) 理科数学
第I卷（共60分）
22．（2011•山东）已知直线l与椭圆C：
交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ= ，其中O为坐标原点． （Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值； （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值； （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山 东卷) 理科数学
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2011•山东）设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则 M∩N=（ ） A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3] 考点：交集及其运算。 专题：计算题。 分析：根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间 的形式后，根据集合交集运算的定义，{x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2）， N={x|1≤x≤3}=[1，3]， ∴M∩N=[1，2） 故选A 点评：本题考查的知识点是交集及其运算，求出集合M，N并画出区间 的形式，是解答本题的关键． 2．（2011•山东）复数z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念。 专题：数形结合。 分析：把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的 共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐 标，根据坐标的正负得到所在的象限． 解答：解：∵z=
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2011•山东）设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则 M∩N=（ ） A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3] 2．（2011•山东）复数z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2011•山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan 的值为（ ） A．0 B． C．1 D．
时确定最大值，就是 ，k∈Z，所以ω=6k+ ；k=0时，ω= 故选C 点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考 题型． 7．（2011•山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 考点：线性回归方程。 专题：计算题。 分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直 线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变 量为6代入，预报出结果． 解答：解：∵ =3.5， =42， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 中的
考点：奇偶函数图象的对称性；充要条件。 专题：综合题。 分析：通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的 定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论． 解答：解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但 f（x）不是奇函数， 所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数” 当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）| ⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称” 所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而 不充分条件 故选B 点评：本题考查奇函数的定义、判断一个命题是另一个命题的条件问题 常用判断是否相互推出，利用条件的定义得到结论． 6．（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=（ ） A．8 B．2 C． D． 考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。 专题：计算题。 分析：由题意可知函数在x= 时确定最大值，就是 ，求出ω的值即可． 解答：解：由题意可知函数在x=
第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）如数列{bn}满足bn=an+（﹣1）lnan，求数列bn的前n项和sn． 21．（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单 位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计 要求容器的体积为 立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱 形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元． （Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．
f2（x）=f（f1（x））= ， f3（x）=f（f2（x））= ， f4（x）=f（f3（x））= ， … 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））= _________ ． 16．（2011•山东）已知函数f（x）=logax+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2 ＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n= _________ ． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（2011•山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，b=2，求△ABC的面积S． 18．（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋 比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概 率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立． （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
A．6
B．7
C．8
D．9
11．（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个 命题： ①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图． 其中真命题的个数是 （ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
12．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同 的四点，若 （λ∈R）， （μ∈R），且 ，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c， d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是 （ ） A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C． C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长 线上
= ﹣ i， ∴复数在复平面对应的点的坐标是（ ） ∴它对应的点在第四象限， 故选D 点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系 即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值 范围，得到结果． 3．（2011•山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan 的值为（ ） A．0 B． C．1 D．
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双 曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A． B．
=1
C． D．
=1
=1 9．（2011•山东）函数 的图象大致是（ ） A．
B．
C．
D．
10．（2011•山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当 0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴 的交点的个数为（ ）
第II卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16 分.
13．（2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则 输出的y的值是 _________ ． 14．（2011•山东）若（x﹣ ）6式的常数项为60，则常数a的值为 _________ ． 15．（2011•山东）设函数f（x）= （x＞0），观察： f1（x）=f（x）= ，
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ． 19．（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边 形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC． AB=2EF． （Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE； （Ⅱ）若AC=BC=2AE，求平面角A﹣BF﹣C的大小． 20．（2011•山东）等比数列{an}中．a1，a2，a3分别是下表第一、 二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一 列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 3 6 2 4 10 14
件
D．既不充分也不必要条件
6．（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=（ ） A．8 B．2 C． D．
7．（2011•山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万 4 2 3 5 元） 销售额y（万元） 49 根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 8．（2011•山东）已知双曲线 26 39 54
4．（2011•山东）不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（ ） A．[﹣5，7] B．[﹣4，6] C．（﹣∞，﹣ 5]∪[7，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞） 5．（2011•山东）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴 对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条