代数综合练习题

代数综合练习题

假设a、b、c为实数，且满足以下条件：

1. a + b + c = 10

2. a^2 + b^2 + c^2 = 30

求满足上述条件的a、b、c的值。

解题思路：

1. 由于我们需要求解a、b、c的具体值，首先带入给定条件可得到以下等式：

a +

b +

c = 10 （1）

a^2 + b^2 + c^2 = 30 （2）

2. 利用代数运算的性质，可将式（1）的平方展开得到：

(a + b + c)^2 = (10)^2

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 100 （3）

3. 将式（2）代入式（3），可得：

30 + 2ab + 2ac + 2bc = 100

2ab + 2ac + 2bc = 70 （4）

4. 将式（4）减去式（3），可得：

(2ab + 2ac + 2bc) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) = 70 - 100

- (a^2 + b^2 + c^2) = -30

a^2 + b^2 + c^2 = 30 （5）

5. 通过比较式（2）和式（5），可以发现它们是相等的。因此，可得到结论：式（2）和式（5）等价，即满足条件a + b + c = 10和a^2 + b^2 + c^2 = 30的实数解是相同的。

答案：

根据题目所给的条件，代入回式（2）可得：

a^2 + b^2 + c^2 = 30

a^2 + b^2 + (10 - a - b)^2 = 30

a^2 + b^2 + 100 + a^2 + b^2 - 20a - 20b - 20ab = 30

2a^2 + 2b^2 - 20a - 20b - 20ab + 70 = 0

a^2 + b^2 - 10a - 10b - 10ab + 35 = 0

由于题目要求的是实数解，我们可以将以上方程化简为二次方程的形式，即：

a^2 + b^2 - 10a - 10b - 10ab + 35 = 0

(a^2 - 10a) + (b^2 - 10b) - 10ab + 35 = 0

a^2 - 10a + 25 + b^2 - 10b + 25 - 50 - 10ab + 35 = 0

(a - 5)^2 + (b - 5)^2 + 5(1 - ab) = 0

注意到方程中含有平方项和一次项，而方程等于0，因此必须满足以下条件：

(a - 5)^2 + (b - 5)^2 + 5(1 - ab) = 0

(a - 5)^2 + (b - 5)^2 = -5(1 - ab)

可见，方程左侧为两个平方的和，而方程右侧为负数，根据平方的非负性质，我们可以得出结论：方程左侧必大于等于0，而方程右侧小于等于0。

因此，要使方程成立，必须满足以下两个条件：

1 - ab ≤ 0 （6）

a = 5 （7）

b = 5 （8）

结论：

根据以上推导和求解，我们得出满足a + b + c = 10和a^2 + b^2 + c^2 = 30的解是a = 5，b = 5，c = 0。同时，满足条件的任意数字交换组合也可作为解。

总结：

本文通过代数运算的思路推导和解答了一道代数综合练习题。通过转化方程形式和运用数学性质，我们得出了满足给定条件的解答。同时，文章中采用了逻辑结构清晰、排版整洁美观的写作方式，以保证

读者的阅读体验。通过本题的解答，读者可以加深对代数综合运算的理解和应用。