北京大学高等代数 I_2013 期末答案

北京大学数学科学学院期末试题答案
2013 -2014学年第 1 学期
考试科目 高等代数I 考试时间 2014 年 1 月 2 日 姓 名 学 号
一．（30分）填空题 .
1. 已知 A = ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡01t 1t 101. 当 t = ±2 时, tr （A T A ）= 12 ； 当 t 取 t ≠ 0 值时, AX = 0 解空间的维数等于A 的秩 .
2. 设A, B, C, D 为n 阶矩阵, 且A 可逆. 若有可逆的分块矩阵P , Q , 使得
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E 00A Q D C B A P , 其中E 是n 阶矩阵, 则P =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--n 1n
I CA 0I ,
Q = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1n I 0B A I (写出一种取法), 此时E = D – CA -1
B .
3．将矩阵A =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡31245
1
写成U D U -1
的形式, U 为可逆矩阵, D 为对角矩阵, 则U =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112, D = ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡40001. (写出一种取法); 当k 趋于正无穷时,
A k
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡11趋于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232.
4. 当 a 取 ( -1, 1 ) 值时, 三元二次型 f = x 12 + 2 x 22 + x 32 + 2 a x 1 x 2 – 2 x 2 x 3
正定 ; 此时作变量替换 X = C Y , C =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡----1110011001122
2
a a a a , 可将 f 化为规范型.
5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {B} {ACD}, 相似分类 {AC}{B}{D} ; 合同分类 {A}{B}{C}{D}.
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2t 2t 40200D 201020102C 000030013B 100121003A ,,, (t 取任意实数) 6. 在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C , 则恰有 48_ 个3阶
正交矩阵A , 使得线性变换 X → A X 保持C 整体不变(顶点映成顶点), 这些正交矩阵中又恰有 _16_ 个矩阵迹等于0 .
二.（12分）已知 A =⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡010022102, 且A X + I = A T + X , 求矩阵X .
解: 移项, 得 ( A －I ) X = A T －I , 对 [ A －I | A T －I ] 作行变换
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡--1011
101101
202
11
01 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→10111013221002
11
01 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→
2331
0013221002
1
101 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→233
1
00334010212001 于是 X = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----233334212.
三.（18分）设α 1 , α 2 , α 3 , α4是矩阵A = 的列向量.
(1) 求子空间 V = < α1 , α2 , α3 , α4 > 的一组基底 ;
(2) 当a , b 取何值时, 列向量 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 此时β在 (1) 中基底下的坐标是什么?
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-96390011541310113202
解: (1) 对矩阵A T 作行变换, 得到简化阶梯形
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=90513
6040231110913
1
2A T ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→01201
604023111031
110⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000003100000110302
01 简化阶梯形矩阵的非零行构成A T 行空间的基底, 即
β1 =⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡30201 , β2 =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00110, β3 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000 构成V 的`一组基.
(2) 若 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 则必有β = β1 + a β2 + b β3 . 比较第3, 第5个分量, 有 2 – a = 2 , 3 + 3b = 1 + a . 由此解得a = 0 , b = -2/3 .
此时β在基底β1 , β2 , β3 下的坐标是 ( 1, 0, -2/3 ).
四.（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.
1) 若A 是一个n 阶矩阵( n > 1 ), 则一定存在一个n 阶矩阵 B , 使得 B A 是 对角矩阵, 且B A 的秩等于A 的秩 . 解: 错误.
反例: 取 A =⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡0011. 若有矩阵B, 使得B A 是非零的对角矩阵, 则 B A 011≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 但这是不可能的, 因为011A =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-.
2) 若A 是m 阶正定矩阵, B 是n 阶正定矩阵, 则对任意m ⨯n 实矩阵C, 都有
|B ||A |B
C
C A T
≤.
解: 错误.
反例: 取 A = I 2 , B = I 2 , C = 2 I 2 , 则有
1|B ||A |93
00003002
1
002011
020*********
201B
C C A
T =>=--==
.
五.（24分）设α1 , α2 , α3 是矩阵A = 的列向量. (1) 求 A T A 的特征值与特征向量 ;
(2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得A T A = P D P T ;
(3) 在欧氏空间R 4的所有2维子空间里, 求一个子空间V (写出V 的一组标准正交基), 使得 α1 , α2 , α3的顶点到V 的距离平方和为最小. 确定这个最小值并说明理由.
解: (1) A T A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----542452222的特征多项式为
9
4
2
0104225
4
2
1102225
4
2
452
222
A A I T ----=
-----=
-----=-x x x x x x x x x x x ||
= ( x － 1 )( x 2 －11 x + 10 ) = ( x －1 ) 2 ( x － 10 ) .
故A T A 的特征值为1 (代数2重) 与 10 .
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100221010001
解齐次方程组 ( A T A － I ) X = 0 ,
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000221442442221I A A T , x 1 = -2 x 2 + 2 x 3 , x 2 , x 3为自由变量
得 ,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1020122232323
232
1x x x x x x x x x
于是特征值1的特征子空间的一组基为 β1 =⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-012, β2 =
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡102. 对β1 , β2 作Schmidt 正交化:
β1 , β2 → β1 , β2 －),(),(1112ββββ β1 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01254102 = ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡54251 , 再单位化, 得到特征值1特征子空间的一组标准正交基
γ1 =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-0125
1 , γ
2 = ⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡542531. 解齐次方程组 ( A T A － 10 I ) X = 0 , 对A T A － 10 I 作行变换
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110102990452990990452114542452228I 10A A T ,
容易看出, 特征值10 的特征子空间的一组基为β3 = ⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-221 , 单位化后
得到特征值10 特征子空间的标准正交基γ 3 = ⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-22131.
(2) 由于 γ 1 , γ 2, γ 3构成3维欧氏空间的标准正交基,
P = [ γ 1 γ 2 γ 3 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--32535032534513153252 为正交矩阵. 令D =
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1000010001 , 则有 A T A = P D P T ;
(3) 设列向量组ξ 1 , ξ 2 是所求2维子空间V 的一组标准正交基,
记 B = [ ξ 1 ξ 2 ]. 则α i 到V 的正交投影可表示为
( α i , ξ 1 ) ξ 1 + ( α i , ξ 2 ) ξ 2 = ξ 1 ξ 1T α i + ξ 2 ξ 2T α i = BB T α i 由勾股定理, α i 到V 距离的平方为
|| α i － BB T α i || 2 = || α i || 2 － || BB T α i || 2
= α i T α i － α i T ( BB T )T ( BB T ) α i = α i T α i － α i T B B T α i
这里用到ξ 1 , ξ 2 是单位正交向量组, 故有B T B = I 2 .
于是α1 , α2 , α3 到V 距离的平方和为 Tr( A T A ) － Tr( A T B B T A ) . 欲使以上距离平方和最小, 只需取单位正交向量组ξ 1 , ξ 2 , 使得 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T A A T ) 最大.
由直接计算或利用(2)的结果(见注), 可得A A T = Q E Q T , 这里
Q = [ η1 η2 η3 η4 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡----102103253501011039
0010210
3253451
10110
3153252
是正交矩阵, E = ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100000100001
注意到 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T Q E Q T ) = Tr( Q T B B T Q E ) .
令 C = Q T B . 设c 1 , c 2 , c 3 , c 4 是CC T 的对角元, 则
c 1 + c 2 +c 3 + c 4 = Tr( CC T )= Tr( Q T B B T Q ) = Tr( B T B ) = 2 .
又因为C = Q T B 的列向量组是单位正交向量组, 可扩充成欧氏空间R 4的标准正交基. 记C*是此标准正交基排成的正交矩阵, 则有
0 ≤ c i = C 第i 个行向量长度的平方 ≤ C*第i 个行向量长度的平方 = 1 . 于是 Tr( A T B B T A ) = Tr( CC T E ) = c 1 + c 2 + 10 c 3 ≤ 11,
等号可在 c 3 = 1, c 1 + c 2 = 1, c 4 = 0 取到, 例如取C =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000100
10 , B = QC = [ η3 η1 ], 即V = < η3 , η 1 > 时, α1 , α2 , α3 到V 的距离 平方和为最小, 这个最小值为 Tr( A T A )－Tr( A T B B T A ) = 12－11 = 1 .
注. 利用 (2) 的分解A T A = P D P T , 我们推得
A A T A P = A P D 且 ( A P )T A P = P T A T A P = D .
容易看出A P 的列向量A γ 1 , A γ 2 , A γ 3 是实对称矩阵A A T 的特征向量, 特征值分别为1, 1, 10 的特征向量; 且A γ 1 , A γ 2 , A γ 3两两正交, 长度的平方分别为1, 1, 10. 将A γ 1 , A γ 2 , A γ 3单位化, 令
η1 = A γ 1 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-001251, η2 = A γ 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5042531, η3 =101
A γ 3 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-29211031.
再解 A A T X = 0 得A A T 的特征值0的单位特征向量 η4 =
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2121101. 则Q = [ η1 η 2 η 3 η4 ] 是正交矩阵, 且 A A T = Q E Q T .。