人教A版高中数学选修2-3课件2.3离散型随机变量的方差

p0qn2

C1 n2
p1q n3
Cnn22
pn2q0
]

E
n(n 1) p2 np
D E 2 (E )2 n(n 1) p2 np n2 p2 npq
若 ~ B(n, p),则E np, D npq
X DX 1.2 1.095
例 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
P
6
6
6
1
1
1
6
6
6
EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5; 666666
2 若 ~ Bn, p，则 E np
D npq,其中q 1 p
例6、已知随机变量的分布列
为 -1 0 1
P
11 1 23 6
h=3+1
E=，D13=.
5 9
8
Eh=，D3h=.
5
基础训练2若随机变量服从二项分布，
且E=6，D=4,则此二项 分布是。
设二项分布为~B(n,p),则
E=np=6
n=18
p=1/3 D=np(1-p)=4
基础训练3若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的
()
C
A.3·2-2B.2-4
C.3·2-10D.2-8
解析E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, p 1 , n 12, 2
由已知随机变量ξ +η =8,所以有η =8-ξ .
因此,求得E(η )=8-E(ξ )=8-10×0.6=2,
D(η )=(-1)2D(ξ )=10×0.6×0.4=2.4.
课堂小结：
1．方差的概念与数学意义：
如果，x1其, x概2 , 率x3，, 那, x么n ,，
P( xi ) pi
E 2 2npE n2 p2 E 2 2(E )2 (E )2 E 2 (E )2
(2)D E 2 (E )2
E 2 02 p1 12 p2 22 p3 n2 pn
n2 pn [n(n 1) n] pn n(n 1) pn npn
用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平。
解：E1 8 0.2 9 0.6 10 0.2 =9， D1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 =0.4， E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 =9， D2 (8 9)2 0.4 (9 9)2 0.2 (10 9)2 0.4 =0.8.
4。已知随机变量ξ +η =8,若ξ ~B(10,0.6),则E(η ),
D(η )分别是()
B

解析若两个随机变量η ,ξ 满足一次关系式
η =aξ +b(a,b为常数),当已知E(ξ )、D(ξ )时,
则有E(η )=aE(ξ )+b,D(η )=a2D(ξ ).
C15C14
5
P(
3)
A
2 2
C13

A
C2 1
32
C15C14C13
3; 10
P(
4)
A33C12 C15C14C13C12
1; 10
所以随机变量ξ 的概率分布列为：
ξ
2
3
4
P
33
1
5 10
10
(2)随机变量ξ 的数学期望
E( ) 2 3 3 3 4 1 5 ;
证明：设 P( xi ) pi ，则 E(a b) aE b
D(a b) [ax1 b E(a b)]2 p1 [ax2 b E(a b)]2 p2 [axn b E(a b)2 ] pn
(ax1 aE )2 p1 (ax2 aE )2 p2 (axn aE )2 pn a2[( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xn E )2 pn ] a2 D D(a b) a2D .
D2 (8 9)2 0.4 (9 9)2 0.2 (10 9)2 0.4 0.8
D1 D2
甲射击水平较稳定
基础训练 zx```xk
1。已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
解：EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2

x1
x2

xn
P
p1 p2 pn
方差：D x1 E 2 p1 (x2 E )2 p2 xn E 2 pn
标准差： D
注意：
意义：反映随机变量取值 的稳定与波动、
1平方 2乘对应的概率
集中与离散的程度
注：１、方差的单位是原数据单位的平方。
再计算出E、D。
说明：解答本题时，应防止机械地套用期望
和方差的计算公式，出现以下误解：
E＝。 (1) 1 0 (1 2q) 1 q2 q2 1
2
2
探究 你能证明下列结论吗 ?
1 若h a b ，则 Eh Ea b aE b
Dh Da b a2D
DX 1 3.52 1 2 3.52 1 3 3.5 1
6
6
6
4 3.52 1 5 3.52 1 6 3.52 1 2.92;
6
6
6
σX DX 1.71.
例3甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的平均水平。
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的平均水平。 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
例5、设是 一个离散型随机变量，其分布列 如下表，试求E、D

－1
0
1
P
1 2
1－2q q 2
剖析：应先按分布列的性质，求出的q 值后，
[例3]若随机变量ξ～B(n,p)，求Dξ
解：P( k) Cnk pk qnk ,且E np D (0 np)2 p1 (1 np)2 p2 (n np)2 pn
[02 p1 12 p2 n2 pn ] [2np(0 p1 1 p2 n pn ] [n2 p2 ( p1 p2 pn )]
D ( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xn E )2 pn
2．随机变量ξ 的方差性质： D(a b) a2D
3.若ξ~B(n,p)，则 D npq , 这里 q 1 p . (E np)
E 2 [0 p1 1 0 p2 21p3 n(n 1) pn ]
[0 p1 1p1 2 p2 npn ] [2 1Cn2 p2qn2 3 2Cn3 p3qn3 n(n 1)Cnn pnq0 ] E

n(n
1)
p 2 [Cn02
由上可知，E1 E2 ，D1 D2 .
所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很 接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得 环数较分散，得8、10环地次数多些.
C 例4下面说法中正确的是() zxx````k
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
２、标准差与随机变量本身有相同的单位。
例1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击， 射击环数分布列分别如下：
1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
（甲）
（乙）
问题：试评价两射手的射击水平
D1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
离散型随机变量的 方差
一、复习zx```xk
1、离散型随机变量的均值的定义
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期 望，记为E(X)．
E（ax+b）=aE（x）+b
2、二项分布的数学期望 若X~B(n,p) 则E(X)＝np
三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的
球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ 为此时已
摸球的次数,求:
(1)随机变量ξ 的概率分布列； (2)随机变量ξ 的数学期望与方差.
解(1)随机变量ξ 可取的值为2,3,4,
P( 2) C12C13C12 3 ;
5 10 10 2
随机变量ξ 的方差
D( ) (2 5 )2 3 (3 5 )2 3 (4 5 )2 1
25
2 10
2 10
9. 20
2．方差的性质: D(a b) a2D
若已知E ,则E(a b) aE b 若已知D ,则D(a b) ?
3、《必修三》75页方差的概念及计算
引例：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击， 射击环数分布列分别如下：
1 8
9
10
P 0.2 0.6 0.2
2 8
9
10
P 0.4 0.2 0.4
（甲）
（乙）
问题：试评价两射手的射击水平
数学期望相等，能否说明他们射 击水平相当呢？
已知离散型随机变量的分布列：
则P( X
1)
C112

1 2

(
1 2
)11
3 210.
练习：
1、已知h 3 1，且D 13,则Dh 117
8
2、已知X～B(n, p)，EX 8, DX 1.6, 则n 10, p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98