人教版数学-八年级上册：15.2.2完全平方公式
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15.2.2 完全平方公式
展现你最亮的一面，
你就是最棒的！
b
a
a
b
b
A
D
a
B
C
b a
数学表达式
(乘法的）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
a2 2ab b2
结论
完全平方公式
数学表示式 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾倍在中央， 加减看两前方。
文字表述
特点
两项和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）的积的2 倍
1、左边 右边
两项的和（或差）的平方 二次三项式
3、字母指数：当公式中的a、b所代表的 单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2。
=〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例: 用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2 (2) (y- 1 )2
2
(4m+n)2 =(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(2)(y- 1 )2
2
解：原式 =
y2
- 2·y·1
+ ( 1)2
(a-b)2
= (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
猜想 (a+b)2=
Байду номын сангаас
实践操作
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
b ab b²
a
ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
综合尝试,实践应用
(1)( x 1)2 x2 ( -2x ) 1
(2)(a 4 )2 a2 8a 16 (3)(a 2b)2 a2 ( -4ab) 4b2
(4)(a b)2 (-2ab) a2 b2
(3)（x-3y）2 =x2-3xy+9y2 错
x2 -6xy +9y2
例题
例1、(1)(4m+n)2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(2)(y-
1 2
)2
(2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2
演练
(1) （x+6)2 =x2+12x+36
判断正误, 1、（x+y)2=x2+y2 2、 (x-y)2=x2-2xy-y2 3 、(-a+b)2=(a+b)2 4、（a-b)2=(b-a)2
一体育馆正修改一个正方形的游泳池。若原来正 方形边长增加3米，那么面积就会增加39平方米。 你知道原来正方形游泳池的边长吗？
22
1 = y2 - y + 4
1、运用完全平方公式计算: (1) (y+6)2
(2) (-x+5)2 (5-x)2
计算 (-x-y)2 =〔(-x)-y〕2
(-x-y)2 =〔(-x)+(-y)〕2
(-x-y)2
=〔-(x+y)〕2 =(-1)2(x+y)2 =(x+y)2
(a+b)2
=(a+b) (a+b) = a2+ab+ba+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2
= (a-b) (a-b) = a2-ab-ba+b2 =a2-2ab+b2
b a
a
b
解：设原来边长为x米
由题意得 (x+3)2=x2+39
X2+6x+9=x2+39 6x=30 X=5
答：原来游泳池的边长为5米
a2+2ab+b2
(a-b)2= 验证 理论验证
a2-2ab+b2
(a+b)2 =(a+b) (a+b) （ 乘方的意义） = a2+ab+ab+b2（多项式的乘法法则） =a2+2ab+b2. （合并）
在等号右边的括号内填上适当的项 (1) a+b-c=a+( b-c ) (2) a-b-c=a- ( b+c )
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变
你能计算(a-2b+1)2吗？
解：(a-2b+1)2==〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+
2、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
抢答 （x+3)2= X2+6x+9 （7-a)2= 49-14a+a2
判断正误，若错误请加以改正： (1) (x+y)2＝x2 + y2 错 x2+2xy +y2
(2) (x -y)2 =x2-y2 错 x2 -2xy +y2
你能计算 (a+b+c)2 吗？ 〔(a+b)+c〕2 〔a+(b+c)〕2
牢固的基础知识 灵活的思维方法 规范的解题步骤
1、课本p156 2 2、计算 (x+2y-3)(x-2y+3) 3、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2 (2)a2+b2
文字表述 两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）它们的积的2 倍
简记为：首平方加尾平方，首尾两倍在中央， 加减看前方。
判断下列式子是否正确，若不正确，请加以改正
(1) (a+b)2=a2+b2 × (a+b)2=a2+2ab+b2 (2) (x-y)2=x2-y2 × (x-y)2=x2-2xy+y2
(1) (y+5)2 =y2+10y+25
( 2) (3m-2n)2 =9m2-12mn+4n2
(2) (4a-3b)2 =16a2-24ab+9b2
警钟
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、项数：右边项数为三；
2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
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b
a
a
b
b
A
D
a
B
C
b a
数学表达式
(乘法的）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
a2 2ab b2
结论
完全平方公式
数学表示式 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾倍在中央， 加减看两前方。
文字表述
特点
两项和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）的积的2 倍
1、左边 右边
两项的和（或差）的平方 二次三项式
3、字母指数：当公式中的a、b所代表的 单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2。
=〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例: 用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2 (2) (y- 1 )2
2
(4m+n)2 =(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(2)(y- 1 )2
2
解：原式 =
y2
- 2·y·1
+ ( 1)2
(a-b)2
= (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
猜想 (a+b)2=
Байду номын сангаас
实践操作
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
b ab b²
a
ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
综合尝试,实践应用
(1)( x 1)2 x2 ( -2x ) 1
(2)(a 4 )2 a2 8a 16 (3)(a 2b)2 a2 ( -4ab) 4b2
(4)(a b)2 (-2ab) a2 b2
(3)（x-3y）2 =x2-3xy+9y2 错
x2 -6xy +9y2
例题
例1、(1)(4m+n)2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(2)(y-
1 2
)2
(2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2
演练
(1) （x+6)2 =x2+12x+36
判断正误, 1、（x+y)2=x2+y2 2、 (x-y)2=x2-2xy-y2 3 、(-a+b)2=(a+b)2 4、（a-b)2=(b-a)2
一体育馆正修改一个正方形的游泳池。若原来正 方形边长增加3米，那么面积就会增加39平方米。 你知道原来正方形游泳池的边长吗？
22
1 = y2 - y + 4
1、运用完全平方公式计算: (1) (y+6)2
(2) (-x+5)2 (5-x)2
计算 (-x-y)2 =〔(-x)-y〕2
(-x-y)2 =〔(-x)+(-y)〕2
(-x-y)2
=〔-(x+y)〕2 =(-1)2(x+y)2 =(x+y)2
(a+b)2
=(a+b) (a+b) = a2+ab+ba+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2
= (a-b) (a-b) = a2-ab-ba+b2 =a2-2ab+b2
b a
a
b
解：设原来边长为x米
由题意得 (x+3)2=x2+39
X2+6x+9=x2+39 6x=30 X=5
答：原来游泳池的边长为5米
a2+2ab+b2
(a-b)2= 验证 理论验证
a2-2ab+b2
(a+b)2 =(a+b) (a+b) （ 乘方的意义） = a2+ab+ab+b2（多项式的乘法法则） =a2+2ab+b2. （合并）
在等号右边的括号内填上适当的项 (1) a+b-c=a+( b-c ) (2) a-b-c=a- ( b+c )
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变
你能计算(a-2b+1)2吗？
解：(a-2b+1)2==〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+
2、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
抢答 （x+3)2= X2+6x+9 （7-a)2= 49-14a+a2
判断正误，若错误请加以改正： (1) (x+y)2＝x2 + y2 错 x2+2xy +y2
(2) (x -y)2 =x2-y2 错 x2 -2xy +y2
你能计算 (a+b+c)2 吗？ 〔(a+b)+c〕2 〔a+(b+c)〕2
牢固的基础知识 灵活的思维方法 规范的解题步骤
1、课本p156 2 2、计算 (x+2y-3)(x-2y+3) 3、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2 (2)a2+b2
文字表述 两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）它们的积的2 倍
简记为：首平方加尾平方，首尾两倍在中央， 加减看前方。
判断下列式子是否正确，若不正确，请加以改正
(1) (a+b)2=a2+b2 × (a+b)2=a2+2ab+b2 (2) (x-y)2=x2-y2 × (x-y)2=x2-2xy+y2
(1) (y+5)2 =y2+10y+25
( 2) (3m-2n)2 =9m2-12mn+4n2
(2) (4a-3b)2 =16a2-24ab+9b2
警钟
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、项数：右边项数为三；
2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；