排列组合专题课(1)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

四．组合与组合数 (1)组合：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 ． (2)组合数： 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素组的合数 ，记 作 Cmn .
五．排列数、组合数的公式及性质
排列组合专题课（1）
一、两个计数原理 分类加法计数原理
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种 不同的方法,在第2 类办法中有m2种不同的方法…… 在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事 共有:N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 分步乘法计数原理：
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不 同的方法,做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有 mn 种 不 同 的 方 法 , 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
对于不相邻问题，常用 “插空法”
变式：某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类 店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划， 要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数 为（ ） 解析：先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃 类店铺的5个空位选2个进行排列，
故排出的摊位规划总个数为 A44A25 =480
n，m∈N*且 m≤n
典例探究
合理分类与分步
例1:某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、 乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有 1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的 种数是 ( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)42
解析:由题设可分两类:
一是甲地只含有一名女生,先考虑甲地有 C12 C13 种情形,后考虑乙、丙两地,有 A32 种情形,
二、两个计数原理的综合应用：
应用两个计数原理应注意的问题
(1)分类要做到“__不__重__不___漏_”，分类后再对每一类进行计
数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“_步___骤__完__整__”完成了所有步骤，恰好完成
任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步 的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的 方法数相乘，得到总数．
解法：，把再１与３,５排,共２有,４_A_当2_2 作_种一排个法小，集由团分，步小计集数团原内理部共排有队A_共_22_A有_22_AA__222__2 A_种_22 种排排法.
小集团
1245
3
小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其它策略进行处理。
典例探究
多排问题直排策略
例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法
要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数
为
(用数字作答).
解:先将2个饮料类店铺进行捆绑，再和其他4个
小吃类店铺进行排列，故排出的摊位规划总个
数为 A22A55=224400.
方法归纳:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素 合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.
捆绑法
C43
C
4 6
C
3 7
A44
或
C43 C64 A77 A33 定序问题
变式 1. 将 6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本， 有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个
元素有
C
2 6
种方法；
第二步：将 5 个“不同元素（书）”分给 5 个人有 A55 种方
三位置坐上去有 C36 种坐法,又甲坐在中间,所以乙、丙有 A22 种方法,所以他们每人左
右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有
C
3 6
·
A
2 2
=40
种.
答案:40
练习2.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻， 且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种. 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行
中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排 成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．
(2)排列数： 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列的个 数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Amn .
从总数中去掉不合条件的排列的种数 方法总结：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊 位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优 先处理特殊元素（位置）法。
变式思考
特殊元素和特殊位置优先策略
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字的
（3）能被5整除的四位数有多少？
（4）能被3整除的四位数有多少？
法．根据分步计数原理，一共有
C
2 6
A55
＝1800
种方法．
先分组再排列
课堂小结 升华素养
1.对于特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先 排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位 置）法（优限法）。
2．对有约束条件的排列问题,应注意如下 类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
例6.从4名男同学和6名女同学中选出3名男同学和4名女同学7人 排成一排。
（1）共有多少种排法？
（2）如果选出的7人中，4名女同学必须排在一起，共有多少种 排法？
（3）如果选出的7人中，3名男同学次序一定，共有多少种排法？
解：(1)
C43
C
4 6
A77
先选再排
(2) (3)
C
3 4
C64
A44
A44
例1：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其 中小于50000的偶数共有多少个？
万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法）由1、2、3、4、5组成无重复
数字的5位数有A55个，减去其中奇数的个数A31 A44个，再 减去偶数中大于50000的数A21 A33个，符合题意的偶数 共有：A55 A31A44 A21 A33 36个
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.
先在前4个位置排甲乙两人（特殊元素）有_A_42__种,
再排后4个位置上的特殊元素丁有_A_41_种,
其余的5人在5个位置上任意排列有_A_55__种,则共有_A__42A__41A_5_5 __种.
前排
后排
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究.
排列数
组合数
公式
Amn ＝ n(n－1)(n－2)… n！
(n－m＋1) ＝_n_－___m__！_
Cmn ＝AAmnmm nn－1…n－m＋1
＝________m__！__________ n！
＝__m_！___n_－__m__！___
性质 Ann＝ n！； 0！＝ 1
备注
Cn0＝ 1 ； Cmn ＝ Cnn－m ； Cmn ＋Cmn －1＝Cnm＋1
（5）能被25整除的四位数有多少？ （6）十位数比个位数大的三位数？ （7）能组成多少个比240135大的数？若把组成的全部六位数 从小到大排列起来，那么240135是第几个数？
典例探究
相邻问题，常用“捆绑法”
例3：某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店
铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，若
课堂小结 升华素养
3．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
（２）某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
方法归纳:元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行 排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习1:电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电
影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都
有空位且甲坐在中间的坐法有
种.
解析:除甲、乙、丙三人的座位外,还有 7 个座位,共可形成六个空,三人从 6 个空中选
万位 千位 百位 十位 个位
A31
A33
A21
解法一：（正向思考法）个位上的数字排列数
有A21种（从2、4中选）；万位上的数字排列数有 A31种（5不能选），十位、百位、千位上的排列数 有A33种，故符合题意的偶数有A21 A31A33个。
偶数是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。
典例探究
特殊元素和特殊位置优先策略
全排列，共有 A22A44种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起， 且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A33种 方法.于是符合题意的摆法共有 A22A44－A22A33＝36(种).
典例探究
小集团问题先局部后整体策略
例4.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹1, ５这两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
共有 C12
C13
A
2 3
=
36
种情形
;
二是甲地只含有两名女生,
则甲地有
C
2 2
种情形,乙、丙两地,
有
A32
种情形,共有
C
2 2
A
2 3
=6
种情形;由分类计数原理可得 36+6=42 种情形.故选 D.
典例探究 特殊元素和特殊位置优先策略
例2：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中 小于50000的偶数共有多少个？
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插 入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略
(4) 元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再 分段研究. (5)小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其它策略进 行处理。
课后作业
排列组合专题复习（1）