22人教A版新教材数学必修第一册课件-- 函数y=Asin(ωxφ)的性质及其应用

B. = cos(2 + )
π
− )
6
π
)
6
C. = sin(2
[解析] 由①知 = π =
D. = cos(2 −
2π
, ||
||
π
3
= 2 ,排除A选项.由②③知,当 = 时, ()
取得最大值.验证选项知只有C选项符合要求.
4. 已知函数 () = 2 sin( + )(＞0) 的图象关于直线 =
π
对称
3
探究点三 三角函数性质的综合问题
1
2
π
6
5
4
例 已知函数 () = sin(2 + ) + .
（1） 求 () 的最小正周期及单调递增区间;
[答案] 函数 () 的最小正周期 =
2π
2
π
(
2
∈ ) ,所以 () 的单调递增区间为
∈
π
) ,得 π −
3
π
3
π
6
≤ ≤ π
22人教A版新教材数学必修第一册
第五章 三角函数
5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
第2课时 函数y=Asin（ωx+φ）的性质及其应用
探究点一 由函数图象求解析式
π
2
例 函数 = sin( + )(＞0, ＞0, ||＜ ) 的部分图象如图所示,求
此函数的解析式．
π
3
5π
, 0) 分别是“五点法”作图中的第
4
2
[答案] 由 () 是偶函数,得函数 () 的图象关于 轴对称,所以 () 在
= 0 处取得最值,即 sin = 1或sin = −1 ,即 = π +
＜π ,所以 =
3π

4
π
2
π
,
2
∈ ,因为 0 ≤
π
3π
.由 () 的图象关于点 对称,可知 sin(
6
[答案] 由题图易知 = 3 ,点 ( , 0) 和 (
π
+ = π,

3
3个点和第5个点,所以 ቐ5 π
解得 ൝
+ = 2 π,
6
=2
π
π 所以 = 3 sin(2 + ) .
=
3
3
解题感悟
给出函数 = sin( + ) 图象的一部分,确定 , , 的方法：
∈

， ∈ ；对称中心由 + = π, ∈ 求得,为
1. 已知函数 () = sin(
π
+ )(＞0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象
3
( A )
A.
π
关于点 ( , 0) 对称
3
C.
π
关于点 ( , 0) 对称
4
B. 关于直线 =
π
对称
4
D. 关于直线 =
2
4
+ = π, ∈ ,解得 =
4k
3
−
2
,
3
∈
+
π
)
2
= 0 ,即
π
.又()在[0, ]上具有单调性,
2
所以 ≥
2π
π ,即

≥ π ,所以 ≤ 2 .又 ＞0 ,所以当 = 1 时, =
2 时, = 2 .故 =
π
,
2
= 2或 =
2
.
3
2
;当
7π
8
−
π
(− )
8
= π ,所以 = 2 ,又函数图象过点
π
π
π
(− , 0) ,所以 2 sin(− + ) = 0 ,所以 − + = π,
8
4
4
π
π
π, ∈ ,故 可取 ,所以 () = 2 sin(2 + ) .
4
4
π
4
∈ ,所以 = +
直观想象——数形结合思想在函数中的应用
π
6
= 4 得 2 sin(2 × + ) +
+ ) = 1 ,
+ = 2 kπ +
π
,
2
∈ ,所以 = 2 kπ +
π
.
6
π
6
所以 () = 2 sin(2 + ) + 2 .
π
,
6
=
∈
π
,又 ||＜ ,所以
2
探究点二 函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
例 已知函数 () = 4 sin(
π
＞0, ＞0, ||＜ ,求 () 的解析式.
2
[答案] 由题图可知 ()min = 0, ()max = 4 .所以 =
2 .由周期 =
2=
π
4 ,所以 sin(
3
π
所以
3
=
2π

=4×
5π
(
12
π
− )知
6
=
π
2 .由 ( )
6
4−0
2
= 2, =
4+0
2
6
= − +
π
1 在 [0, ] 上有两个不
2
π
6
π
2
解： 方程 2 sin(2 + ) + − 1 = 0 在 [0, ] 上有两个不同的实数根等价于方
程① − + 1 = 2 sin(2
2 sin(2 +
π
π
+ ) 在 [0, ] 上有两个不同的实数根,即函数②
6
2
π
) 的图象与直线③
6
= − +
π
1 在 [0, ] 上有两个不同的交点.
2
=
如图,需满足④ 1 ≤ − + 1＜2 ,解得 −1＜ ≤ 0 ,即实数 的取值范围为
( −1,0] .
思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形
结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.
π
3
+ 2 = 2 × = 或
1. 函数 = sin( + ) + 2(＞0, ＞0) 的部分图象如图所示,则( C )
A. = 3, =
4π
,
3
C. = 1, =
4π
,
3
=−
=
π
6
3π
−
4
B. = 1, =
4π
,
3
D. = 1, =
4π
,
[解析] 要使方程 () = 在区间 [0, π] 上有两个不同的实数解,只需函数
= () 的图象与直线 = 在区间 [0, π] 上有两个不同的交点,由题图知,
π
6
两个交点关于直线 = 或直线 =
1 + 2 = 2 ×
2π
3
=
4π
.
3
2π
对称,因此 1
3
π
6
π
(
2
∈ ) ,得 =
3
2
kπ +
π
(
12
19 π
,即所得到的函数图象的一个对称轴方程为
12
=
∈ ) ,
19 π
.
12
解题感悟
函数 = （ + ） 图象的对称轴方程由 + = π
π
+ ,2∈π求得,为 =π−
(
, 0),

π+ 2 −
2π

= 3 π ,解得 =
2
,则函数 ()
3
=
2
4 sin(
3
+
π
) ,}将其图象上所有的点向
3
π
6
2
3
π
6
左平移 个单位长度后得到的函数图象的解析式为 = 4 sin[ ( + ) +
π
]
3
=
2
4 sin(
3
+
4π
2
) ,令
9
3
当 = 1 时, =
+
4π
9
= π +
3
=
3π
4
=
π
−
6
π
3
π
2
2. 下列能表示函数 = sin(2 − ) 在区间 [− , π] 上的简图的是( A
A.
B.
C.
D.
)
π
3
3. 同时具有性质“①最小正周期是 π ;②图象关于直线 = 对称;③在
π π
[− , ] 上单调递增”的一个函数是(
6 3
1
2
π
6
C )
π
3
A. = sin( + )
2 2
π
2
1
6
× 2 ≥ − ,且 × 2 ≤ ,解得 ≤ ,故 的最
3. 已知函数 () = sin(2 + )(−π＜＜0) 图象的一条对称轴是直线
5
π
− π
= ,则 的值为_______.
6
6
π
6
π
2
π
6
[解析] 由题意知 2 × + = + π, ∈ ,则 = + π, ∈ ,又
1. 已知函数 () = sin( +
π
)(＞0, ＞0, ||＜ ) 在一个周期内的图
2
象如图所示.若方程 () = 在区间 [0, π] 上有两个不同的实数解 1 , 2 ,则
1 + 2 的值为( D )
A.
π
3
B.
2
4
π或 π
3
3
C.
4
π
3
D.
π
4
或 π
3
3
π
( )
12
A. 2
π
对称,且
3
= 0 ,则 的最小值为( A )
B. 4
C. 6
[解析] 由题意得函数 () 的最小正周期 ≤ 4 ×
解得 ≥ 2 ,故 的最小值为2.
D. 8
π
(
3
π
− )
12
=
2π
π ,则

≤ π,
5. () = sin +
A.
3
B. − 3
[解析]
π
)
6
π
6
= −1 ,则 2 + =
π
−
2
+ 2 kπ( ∈ ) ,所以 =
π
−
3
+
3
4
π( ∈ ) 时, () 取得最小值,所以 () 的最小值为 ,此时 的取值集合
是 {| =
π
−
3
+ π, ∈ } .
解题感悟
确定函数 ()＝(＋)(＞0, ＞0) 单调区间的方法：采用“换元法”
π
π
)(||＜ ) 的图象向右平移 个单位
2
6
长度后得到的图象对应的函数是奇函数,则关于函数 () 的图象,下列说法
π
cos
3
π
cos 的图象关于点 ( , 0) 对称,则 的值为(
3
C.
1
2
π
π
因为点 ( , 0) 为 () 图象的对称中心,所以 ( )
3
3
= 0 ,即
3
2
1
+
2
= 0 ,所以 = − 3 .
D. −
=
B )
3
2
π
0 ,即 sin
3
+
6. （多选）将函数 () = cos(2 +
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数 , ,
.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代
入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式 = sin ,
再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
1. 已知函数 () = sin( + ) + 的部分图象如图所示,若
π
+ )(＞0) 的最小正周期是 3 π ,将其图象上所
3
π
有的点向左平移 个单位长度后得到的函数图象的一个对称轴的方程是
6
( D )
A. =
π
6
C. =
5π
6
B. =
π
3
D. =
19 π
12
π
3
[解析] 由函数 () = 4 sin( + )(＞0) 的最小正周期是 3 π ,得 =
[π − , π + ]( ∈ ) .
π
+ (
6
=
π
π .令 2 kπ −
2
≤ 2
π
+
6
≤ 2 kπ +
（2） 求 () 图象的对称轴方程和对称中心;
π
6
π
2
[答案] 令 2 + = π + ( ∈ ) ,则 =
象的对称轴方程为 =
π
(
12
∈
π
2
+
π
(
6
π
2
1. 已知关于 的方程 2 sin(2 +
π
)
6
+−1=
( −1,0] .
实数根,则 的取值范围是___________
π
0 在 [0, ] 上有两个不同的
2
审：本题根据方程在闭区间上有两个不同的实数根求参数的取值范围.
联：函数 = 2 sin(2
同的交点.
π
+ ) 的图象与直线
整体代换,将 + 看作一个整体,令“ = + ”,即通过求 ＝ 的
单调区间从而求出函数的单调区间．
1. 已知函数 () = sin( + )(＞0,0 ≤ ＜π) 是 上的偶函数,其图
3π
π
象关于点 ( , 0) 对称,且在区间 [0, ] 上具有单调性,求 和 的值.
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定 和 ,那么求φ时,选取“五点法”
中的“第一个点”的数据代入“ + ＝0 ”求解(要注意正确判断哪一点是
π
“第一个点”),或选取最大值点代入 ＋＝
2
代入 ＋ =
3π
＋2 kπ,
2
+ 2 kπ, ∈ , 或选取最小值点
∈ 求解.
3
=
1. 若函数 () = 2 sin(2
A.
5π
6
B.
π
2