高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第七章 平面解析几何 19 Word版含答案

考点测试19 同角三角函数基本关系式与诱导公式
一、基础小题
1．cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A ．12 B ．
32 C ．－12
D ．－
32
答案 C
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－π3
＝－cos π3＝－1
2
，故选C.
2．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－4
5
B ．45
C ．35
D ．－35
答案 B
解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B. 3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0 D ．sin θ<0，cos θ<0 答案 B
解析 sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，∴cos θ<0.
4．点A (sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C
解析 注意到2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以点A 位于第三象限．
5．已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是( )
A ．22
9
B ．－229
C ．－19
D ．19 答案 B
解析 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2
θ＝223.∴原式＝－
sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－22
9
.
6．已知2tan α·sin α＝3，－π
2<α<0，则sin α等于( )
A ．
32
B ．－
32
C ．12
D ．－12
答案 B
解析 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2
αcos α＝3，即2cos 2
α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，
解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3
2
.
7．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )
A ．2
5 B ．－2
5
C ．25或－25
D ．－15
答案 B
解析 由已知条件可得tan α＝－2，所以sin αcos α＝ sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2
α＋1＝－2
5
. 8．若sin θ，cos θ是方程4x 2
＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5
答案 B
解析 由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m
4，又(sin θ＋cos θ)2
＝1＋
2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m
2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2
－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，
所以m ＝1－5，故选B.
9．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A ．
k 1＋k
2
B ．
11＋k 2
C ．－
k
1＋k
2
D ．－
1
1＋k
2
答案 C
解析 因为k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所以tan40°＝－k ，所以
k <0，sin40°＝－k cos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin 240°＋
cos 2
40°＝1，所以k 2
cos 2
40°＋cos 2
40°＝1，所以cos40°＝
1
k 2＋1
，所以sin40°＝
－k
k 2＋1
.
10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1的值是( )
A ．1
2 B ．－12
C ．2
D ．－2
答案 A
解析 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2
x －1
cos 2
x ＝－1，故 cos x sin x －1＝12
.
11．若sin θcos θ＝18，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos θ－sin θ＝________. 答案 －
3
2
解析 (cos θ－sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2
θ－2sin θcos θ＝1－14＝34，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，
∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－
3
2
. 12．化简 1－sin 2
440°＋1－2sin80°cos80°＝________. 答案 sin80°
解析 由于1－sin 2
440°＝1－sin 2
＋
＝
1－sin 2
80°
＝cos 2
80°
＝
cos80°
；1－2sin80°cos80°
＝
sin 2
80°＋cos 2
80°－2sin 80°cos80°＝ －
2
＝|sin80°－cos80°|＝sin80°－cos80°. 故原式＝cos80°＋sin80°－cos80°＝sin80°. 二、高考小题
13．若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A ．125
B ．－12
5
C ．512
D ．－512
答案 D
解析 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－5
12
，
故选D.
14．若tan α＝34，则cos 2
α＋2sin2α＝( )
A ．6425
B ．4825
C ．1
D ．1625
答案 A
解析 当tan α＝34时，原式＝cos 2
α＋4sin αcos α
＝cos 2
α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α
tan 2
α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425
，故选A. 15．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
答案 B
解析 由条件得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝
cos α＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α
－β＝π
2
，故选B.
16．sin750°＝________. 答案 12
解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝1
2.
三、模拟小题
17．已知锐角α满足5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos130°)，则α的值为( )
A ．8°
B ．44°
C ．26°
D ．40°
答案 B
解析 点P (sin(－50°)，cos130°)化简为P (cos220°，sin220°)，因为0°<α<90°，所以5α＝220°，所以α＝44°.故选B.
18．1－π＋π－等于( )
A ．sin2－cos2
B ．sin2＋cos2
C ．±(sin2－cos2)
D ．cos2－sin2
答案 A 解析
1－
π＋
π－
＝
1－2sin2cos2＝
－
2
＝
|sin2－cos2|＝sin2－cos2.
19．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1
B ．－
22
C ．2
2
D ．1
答案 A
解析 解法一：由sin α－cos α＝2，得
22sin α－22cos α＝1，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，34π，
∴α－π4＝π2，α＝3
4
π，∴tan α＝－1.
解法二：由sin α－cos α＝2得1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1，∴(sin α
＋cos α)2
＝0，即sin α＋cos α＝0，由⎩⎨
⎧
sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0
可知sin α＝
2
2
，cos α＝－
22，∴tan α＝sin αcos α
＝－1. 20．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α
1＋sin α＋cos α的结果是( )
A ．2sin α
B ．2cos α
C ．sin α＋cos α
D ．sin α－cos α
答案 C
解析 原式＝sin 2
α＋cos 2
α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α
1＋sin α＋cos α
＝n α＋cos α2＋sin α＋cos α
1＋sin α＋cos α
＝
α＋cos αα＋cos α＋
1＋sin α＋cos α
＝sin α＋cos α.
21．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，则下列结论正确的是( )
A ．3≤m ≤9
B ．3≤m <5
C ．m ＝0或m ＝8
D ．m ＝8
答案 D
解析 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin θ＝m －3m ＋5≥0 ①，cos θ＝4－2m m ＋5≤0 ②，且⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －3m ＋52
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理得m 2－6m ＋9＋16－16m ＋4m 2
m ＋2＝1，即5m 2－22m ＋25＝m 2＋10m ＋25，即
4m (m －8)＝0，解得m ＝0或m ＝8，又m ＝0不满足①②两式，m ＝8满足①②两式，故m ＝8.
22.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间
的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125
，则sin 2θ－cos 2
θ的值为( )
A ．1
B ．－725
C ．725
D ．－2425
答案 B
解析 解法一：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)
2
＝125，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝1
5，又(cos θ－sin θ)2＝1－2cos θsin θ＝125，∴2sin θcos θ＝2425，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ
＝4925，∴sin θ＋cos θ＝75，∴sin 2θ－cos 2
θ＝(sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)＝－725，故选B.
解法二：设直角三角形中较小的直角边长为x ，∵小正方形的面积是1
25
，∴小正方形的
边长为15，直角三角形的另一直角边长为x ＋15，又大正方形的面积是1，∴x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋152＝12，
解得x ＝35，∴sin θ＝35，cos θ＝45，∴sin 2θ－cos 2
θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452＝－725，故选B.
23．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3＋2α＝( )
A ．－79
B ．7
9 C ．－29
D ．29
答案 A
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α－1＝2×19－1＝－79，选A.
24．已知tan α＝2，则
π＋α
－sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
π2＋α
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π
2
＋α＋π－α
的值为________．
答案 －3
解析
π＋α
－sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
π2＋α
cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2＋α＋
π－α
＝－sin α－cos α
sin α－cos α
＝
－tan α－1
tan α－1
＝－3.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题． 二、模拟大题
1．已知tan α
tan α－6
＝－1，求下列各式的值．
(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α； (2)1－3sin αcos α＋3cos 2
α. 解 由
tan α
tan α－6
＝－1，得tan α＝3.
(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α＝2－3tan α3＋4tan α＝－715. (2)1－3sin αcos α＋3cos 2
α ＝1－3sin αcos α＋3cos 2αcos 2α＋sin 2
α
＝sin 2
α＋cos 2
α－3sin αcos α＋3cos 2
αcos 2α＋sin 2
α ＝sin 2
α－3sin αcos α＋4cos 2
αcos 2α＋sin 2
α ＝tan 2α－3tan α＋4tan 2
α＋1＝25
. 2．已知关于x 的方程2x 2
－(3＋1)x ＋m ＝0的两个根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)sin θ1－
1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；
(2)m 的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解 (1)⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＋cos θ＝3＋1
2
， ①sin θcos θ＝m
2
， ②
sin θ1－
1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2
θsin θ－cos θ＋cos 2
θcos θ－sin θ ＝sin 2
θ－cos 2
θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)将①式两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.
∴sin θcos θ＝
34
. 由②式得m 2＝34，∴m ＝3
2
.
(3)由(2)可知原方程变为 2x 2
－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝1
2
. ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝3
2，cos θ＝1
2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
cos θ＝3
2，sin θ＝1
2
.
又θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π
6
.
3．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α
1＋cos α
1－cos α
－1.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝1
5，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．
解 (1)f (α)＝sin α－sin α·
＋cos α
2
1－cos 2
α
－1
＝sin α＋sin α·1＋cos α
sin α－1＝sin α＋cos α.
(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝1
5，
平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2
α＝125，
即2sin α·cos α＝－2425，∴sin α·cos α＝－12
25，
∵(sin α－cos α)2
＝1－2sin α·cos α＝4925，
又－π
2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，
∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－7
5.
解法二：联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝－3
5，cos α＝4
5
或⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5，cos α＝－3
5
.
∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45，
∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75
. 4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β
的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①
3cos α＝2cos β. ②
由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±2
2. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2，π
2，∴α＝±π4.
当α＝π
4时，由②式知cos β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π
6，此时①式成立；
当α＝－π
4时，由②式知cos β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π
6，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件．。