四川省德阳市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析

四川省德阳市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．
6
B ．
10 C ．
5 D ．
15 【答案】D 【解析】 【分析】
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】
如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．
设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1
,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r
．
设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =， 得(1,3,0)n =r
．
设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，
则11sin ||BC n BC n θ⋅===⋅u u u r r u u u r r ，
cos θ∴==， ∴直线1BC 与平面11ACC A
故选：D 【点睛】
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
2．已知函数()233
1
x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得
()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦U C ．179,42⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D ．4179,
,2⎛
⎤⎡⎫
-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
U 【答案】C 【解析】 【分析】
将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数
()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即
可求得m 的取值范围. 【详解】
依题意()()2
2211
3311
x x x x x f x x x ++++++==
++ 1
21
x x =+
++， 则()()
2
1
11f x x '=-
+，
当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,
24f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；
而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,
1,124m m ⎡⎤
⊆-+⎢⎥⎣⎦
， 故712
21
14m m ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：C. 【点睛】
本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 3．已知圆锥的高为3
，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．
53
B ．
329
C ．
43
D ．
259
【答案】B 【解析】 【分析】
计算求半径为2R =，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【详解】
如图所示：设球半径为R ，则(
)2
23R R =-+，解得2R =. 故求体积为：3143233
V R ππ==
，圆锥的体积：21
333V π=⨯=，故12329V V =.
故选：B .
【点睛】
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：
①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与
CD 所成角判断④的正误．
【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又
11//BC B C ，∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，
所以1AF FC =，
∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =，而在Rt CBD ∆中，5CD =，
222DF CF CD ∴+=，
即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， (
)1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (
)
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-u u u u r
， (
)
3,1,1CD =
--u u u r ；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u
r u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A ．
193
B ．4
C ．
254
D ．
132
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，19
43
M =>，退出循环，输出结果. 【详解】
程序运行过程如下：
3x =，0M =；23x =
，23M =；1
2x =-，16
M =；
3
x =，196M =；23x =，236
M =； 1
2x =-，103M =；3x =，1943
M =
>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.
7．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）
A ．7π
B ．6π
C ．5π
D ．4π
【答案】C 【解析】 【分析】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为
21
322152
πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1
AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且23m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =
D ．直线1A
E 与直线1C
F 共面，且3m = 【答案】B 【解析】 【分析】
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，
所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.
设12
AA =AB =122=，则5DF =，13C F =16C D
由余弦定理，得1cos m DC F =∠
=3
=
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题. 9．复数2
1i
- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
【答案】B 【解析】
分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
21i -()()()
21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 10．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1
2y x = B ．2x y =
C ．
12
log y = x
D ．1
y x
=-
【答案】C 【解析】 【分析】
由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】
因为函数1
2,2x y x y ==和1
y x =-在(0,)+∞递增，而
12
log y x =在(0,)+∞递减.
故选：C 【点睛】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 11．已知01a b <<<，则（ ）
A ．()()111b
b
a a ->- B ．()()2
11b b
a a ->- C ．()()11a
b a b +>+ D ．()()11a b
a b ->-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】
因为01a <<，所以011a <-<，所以()1x
y a =-是减函数， 又因为01b <<，所以
1b b >，2
b b >， 所以()()1
11b b a a -<-，()()211b
b a a -<-，所以A,B 两项均错； 又111a b <+<+，所以()()()111a
a
b
a b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111a
b
b
a a
b ->->-，所以()()11a
b
a b ->-， 故选D. 【点睛】
这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
12．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a
S
=
称为基尼系数.
对于下列说法：
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()
1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2
=. 其中正确的是： A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④
【分析】 【详解】
对于①，根据基尼系数公式Gini a
S
=
，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得
()1f x x
<，所以②错误.对于③，因为1223100111
()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以1
16Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为13
24100111()d ()|244
a x x x x x =-=-=⎰，所以1
14Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 【答案】1080 【解析】 【分析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2211
6421
22
22
C C C C A A ⋅⋅⋅⋅种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
4A 种，然后用分步计数原理求解. 【详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2211
6421
22
2245C C C C A A ⋅⋅⋅=⋅种， 再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有4
424A =种，
则不同的分配方案有45241080⨯=种. 故答案为：1080 【点睛】
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
14．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，484a a =，1122
log 3
b T =
（0b >且1b ≠），则b =__________.
【答案】
利用等比数列的性质求得6a ，进而求得11T ，再利用对数运算求得b 的值. 【详解】
由于0n a >，24864a a a ⋅==，所以62a =，则1111
1162T a ==，
∴1122log 11log 23b b T =⨯=，2
log 23
b =，2
3
3b ==
故答案为： 【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.
15．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据已知数据直接计算即得. 【详解】 由题得，9.49.79.810.310.8
105
x ++++=
=.
故答案为：10 【点睛】
本题考查求平均数，是基础题. 16．已知0x >，0y >，且21
1x y
+=，则2x y +的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】
由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】
()214222248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
4x y
y x
=时等号成立.
故2x y +的最小值为8， 故答案为：8. 【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==L ，1
32(1,2,)n n b n n -=+=L ；（2）
3
(1)212
n n n ++- 【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=
=
= 1．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1n
设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 1=
=
=8，∴q=2，
∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=1n+2n ﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =1n+2n ﹣1， ∵数列{1n}的前n 项和为n （n+1），
数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，
∴数列{bn}的前n 项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和． 18．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8
{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,
]5
.
【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，
4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围.
【详解】
（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=++-=--≤≤⎨
⎪
⎪
->⎪⎩
， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即2
23x x <-⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，2x <-
或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧
-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即52
83x x ⎧
>⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩
，83x ≥ 综上：2x ≤或8
3
x ≥
， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3
x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[]
,22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，
又[]
,22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.
不等式恒成立，即254x a -≤-在[]
,22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-.
所以21
449a a a a
≥+⎧⎨
-≤-⎩，
解得1315a ≤≤
， 结合24a <≤， 所以1325
a <≤
， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤
⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.
19．在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为
34
，王慧每次击中鼓的概率为2
3；每轮游戏中张明和王慧
击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()E ξ. 【答案】（1）2
3
（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得ξ的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1,2i =，由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
()()()()()
12121212121212121212P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++
3322132233122
24433443344333
⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动
洗衣机的概率是
23
. （2）ξ的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
11111
(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=，
111231115
(50)24433443372
P ξ⎛⎫=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
13123311112237
(100)4443344334433144P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
331231225
(250)24433443312
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
3322361
(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==.
∴ξ的分布列为
∴()200(50)10025040022514472144124
E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（分） 【点睛】
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
20．已知()()ln f x x m =+，()x
g x e =.
（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；
（2）设直线l 是函数()f x 在点()()
()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数
m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）2m =. 【解析】 【分析】
（1）令()()()()ln 2x
F x g x f x e x =-=-+，求导()1
'2
x
F x e x =-
+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =
，()1
'110F e
-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.
（2）根据题意得到()f x 在点()()
()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程
()0000ln x x y x m x m x m =
-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()1
1,x x e ， 有101x m
e x =+，即
()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()11,x x e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1
x m x y x m x m x m
+=
+++++
②由①②可得
()()000000ln 1
ln x m x x m x m x m x m
+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据
010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=
+-，001x <<，令()()()1
ln 011
h x x m x x m x +=+-<<+-，
转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()2
1ln 10h m m
=+->求解. 【详解】
（1）证明：设()()()()ln 2x
F x g x f x e x =-=-+，
则()1'2x
F x e x =-
+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1
'110F e
-=-<， 因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，
从而()F x 的最小值为()()()2
11ln 2022
a a F a e a a a a +=-+=+=
>++. 所以()0F x >，即()()f x g x <. （2）()1
'f x x m =
+，故()00
1'f x x m =+，
故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m
=
-++++①
设直线l 与()g x 相切于点()
11,x
x e ，注意到()'x g x e =， 从而切线斜率为1
01
x
m
e x =
+，
因此()10ln x x m =-+，
而()1
101x
g x e x m ==
+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m
+=
+++++ ② 由①②可知
()()000000ln 1
ln x m x x m x m x m x m
+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+， 由m 为正整数可知，010x m +->，
所以()0001
ln 1
x x m x m ++=
+-，001x <<，
令()()()1
ln 011
h x x m x x m x +=+-<<+-，
则()()()()
2
1
'01x x m x m x m h x ++=
>++-，
当1m =时，()()1
ln 1x x h x x
++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；
当1m >时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()2
1ln 10h m m
=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11
ln 32
30h =->， 所以3m <；
因为()()22
ln 1h m m m
=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m >；
因为m 为整数，且13m <<， 所以2m =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 21．已知等差数列{}n a 中，25514a a ==，，数列{}n b 的前n 项和21n n S b =-. （1）求,n n a b ；
（2）若(1)n
n n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）31n a n =-，1
2n n b -=；（2）3
21,2332,22n n n n n T n n ⎧+-⎪⎪=⎨
⎪--⎪⎩
为偶数为奇数. 【解析】 【分析】
（1）由条件得出方程组2115
1524143a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨
⎨=+==⎩⎩ ，可求得{}n a 的通项，当2n ≥时，1n n n b S S -=-，
可得12n n b b -=，当1n =时，111=21,S b b =-，得出{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得{}n b 的通项；
（2）由（1）可知，1
(1)(31)2n n n c n -=--+，分n 为偶数和n 为奇数分别求得.
【详解】
（1）由条件知，2115
152
4143a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨
⎨=+==⎩⎩ ，31n a n ∴=-，
当2n ≥时，1121(21)n n n n n b S S b b --=-=---，即12n n b b -=， 当1n =时，1111=21,1S b b b =-∴=，
{}n b \是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴= ；
（2）由（1）可知，1
(1)(31)2n n n c n -=--+，
当n 为偶数时，[]3(2)5(8)(31)3212122
n
n
n n n T n S n =-++-++-+=⨯+-=+-L
当n 为奇数时，1
113332
(1)1(31)2=2222
n n n n n n T T c n n n ---=+=+----+-- 综上，3
21,2
332,22n n n n n T n n ⎧+-⎪⎪=⎨
⎪--⎪⎩
为偶数为奇数 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n 项和，注意分n 为偶数和n 为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.
22．设函数21()2
x
f x e x ax =--，a R ∈．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）1a ≤时，若12x x ≠，12()()2f x f x +=，求证：120x x +<． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）首先对函数()f x 求导，再根据参数a 的取值，讨论()f x '
的正负，即可求出关于()f x 的单调性即可；
（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明120x x +<. 【详解】
（1）()x f x e x a '=--，令()()g x f x '=， 则()1x
g x e '
=-，令()10x
g x e -'==得0x =， 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<则()g x 在(,0)-∞单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>则()g x 在(0,)+∞单调递增， 所以min ()(0)1g x g a ==-，
当1a ≤时，min ()10g x a =-≥，即()()0g x f x '=≥，则()f x 在R 上单调递增， 当1a >时，min ()10g x a =-<， 易知当x →-∞时，()g x →+∞， 当x →+∞时，()g x →+∞，
由零点存在性定理知，12,x x ∃，不妨设12x x <，使得12()()0g x g x ==， 当1(,)x x ∈-∞时，()0>g x ，即()0f x '>， 当12(,)x x x ∈时，()0<g x ，即()0f x '<， 当2(,)x x ∈+∞时，()0>g x ，即()0f x '>，
所以()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减； （2）证明：构造函数()()()2F x f x f x =+--，0x ≥，
2211()222x x F x e x ax e x ax -⎡⎤
=-
-+-+-⎢⎥⎣⎦
，0x ≥， 整理得2()2x
x
F x e e
x -=+--，
()2x x F x e e x --'=-，
()220x x F x e e -''=+-≥=（当0x =时等号成立）
， 所以()F x '
在[
)0,+∞上单调递增，则()(0)0F x F ''≥=，
所以()F x 在[
)0,+∞上单调递增，()(0)0F x F ≥=， 这里不妨设20x >，欲证120x x +<，
即证12x x <-由（1）知1a ≤时，()f x 在R 上单调递增， 则需证12()()f x f x <-，
由已知12()()2f x f x +=有12()2()f x f x =-， 只需证122()2()()f x f x f x =-<-， 即证22()()2f x f x +->，
由()()()2F x f x f x =+--在[
)0,+∞上单调递增，且20x >时， 有222()()()20F x f x f x =+-->，
故22()()2f x f x +->成立，从而120x x +<得证.
【点睛】
本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.
23．如图，平面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，22AB AD BC ===，将ABD △绕着AD 翻折到PAD ∆.
（1）M 为PC 上一点，且PM MC λ=u u u u r u u u u r ，当//PA 平面DMB 时，求实数λ的值；
（2）当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小为30o 时，求PC 与平面ABCD 所成角的正弦.
【答案】（1）2λ=；（2）
31020
. 【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，利用线面平行的性质定理可推导出//PA MN ，然后利用平行线分线段成比例定理可求得λ的值；
（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH ，推导出OP l ⊥，OB l ⊥，
可得出BPO ∠为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角，由此计算出PH 、PC ，并证明出PH ⊥平面ABCD ，可得出直线PC 与平面ABCD 所成的角为PCH ∠，进而可求得PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.
【详解】
（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ， //PA Q 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面BDM MN =，//PA MN ∴，
在梯形ABCD 中，//BC AD Q ，则ADN CBN V :V ，12
CN BC NA AD ∴==， //PA MN Q ，2PM AN MC CN
∴==，所以，2λ=；
（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH .
O Q 为AD 的中点，且//BC AD ，2AD BC =，//OD BC ∴且OD BC =，
所以，四边形OBCD 为平行四边形，由于90BCD ∠=o ，OB AD ∴⊥，
PA AB =Q ，OA OA =，PAO BAO ∠=∠，PAO BAO ∴
≅V V ，90AOP AOB ∴∠=∠=o ， O Q 为AD 的中点，所以，2BD AB ==，223OB AB OA ∴-3OP =
AD OP ⊥Q ，AD OB ⊥，OP OB O =I ，AD ∴⊥平面POB ，
//l AD Q ，l OP ∴⊥，l OP ⊥，BPO ∴∠为面PAD 与面PBC 所成的锐二面角，
30BPO ∴∠=o ，
3OP OB ==Q 30BPO ∠=o ，30OBP ∴∠=o ，则120BOP ∠=o ，
PH OB ⊥Q ，3sin 602
PH OP ∴==o ， AD ⊥Q 平面POB ，PH ⊂平面POB ，AD PH ∴⊥，
PH OB ⊥Q ，AD OB O ⋂=，PH ∴⊥面ABCD ，
PCH ∴∠为PC 与底面ABCD 所成的角，
33cos 60BH OB OP =+=o Q 2231CH BC BH =+=，2210PC PH CH =+在Rt PCH △中，3
3102sin 10
PH PCH PC ∠==. 因此，PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为31020
.
【点睛】
本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。