2021高考数学题源探究——立体几何直线平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质
【考点梳理】
1．直线与平面平行的判定与性质
判定
性质定义定理
图形
条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，
a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b
结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b
2.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α【教材改编】
1．(必修2 P61练习改编)下列命题为真的是()
A．若直线l与平面α有两个公共点，则l⊄α
B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
C．若α∥β，a⊂α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交
[答案] C
[解析] A错误．直线l和平面有两个公共点，则l⊂α.
B错误．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面或平行．
C 正确．因为a 与β无公共点，则a ∥β.
D 错误．a 与β有可能平行．故选C.
2．(必修2 P 61A 组T 1(2)改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．无数条直线不相交 D ．任意一条直线都不相交
[答案] D
[解析] 因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
3．(必修2 P 61A 组T 1(1)改编)设m ，n 表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是( )
A.
⎭⎬⎫m ∥αn ∥α⇒m ∥n B.
⎭
⎬⎫
m ∥αα∥β⇒m ∥β C.
⎭
⎬⎫
α∩β＝m n ∥α n ∥β
⇒m ∥n D.
⎭
⎬⎫
α∥β
m ∥αn ∥β⇒m ∥n [答案] C
[解析] A 错误．因为m 可能与n 相交或异面． B 错误．因为m 可能在β内． D 错误．m 、n 可能异面，故选C.
4．(必修2 P 63B 组T 3改编)如图，AB ∥平面α∥平面β，过A ，B 的直线m ，n 分别交α，β于C ，E 和D ，F ，若AC ＝2，CE ＝3，BF ＝4，则BD 的长为(
)
A.65
B.75
C.85
D.95
[答案] C
[解析] 由AB ∥α∥β，易证AC CE ＝BD
DF .
即AC AE ＝BD BF ，∴BD ＝AC ·BF AE ＝2×45＝85.
5．(必修2 P 62A 组T 3改编)在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝12，平面DEFH 分别与AB 、BC 、SC 、SA 交于D 、E 、F 、H ，且它们分别是AB 、BC 、SC 、SA 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A ．18
B ．18 3
C ．36
D ．36 3
[答案] A
[解析] ∵D 、E 、F 、H 分别是AB 、BC 、SC 、SA 的中点，∴DE ∥AC ，FH ∥AC ，DH ∥SB ，EF ∥SB ，则四边形DEFH 是平行四边形，且HD ＝12SB ＝6，DE ＝1
2AC ＝3.
如图，取AC 的中点O ，连接OB 、SO ，
∵SA ＝SC ＝12，AB ＝BC ＝6， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥OB ，
又SO∩OB＝O，
∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，
则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，
∴四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.
6．(必修2 P63B组T4改编)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由题图，显然①是正确的，②是错的；
对于③∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．
∴S△BEF·BC＝V，即1
2BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝2V
BC(定值)，即④是正确的，故选C.
7. (必修2 P78A组T4改编)如图，E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱B1C1与D1C1的中点，则四边形DBEF的面积为________．
[答案]9 8a
2
[解析] 依题意，EF 1
2B1D1
1
2BD，∴四边形DBEF为梯形，且BD＝2a，EF
＝
2
2a.
连结AC交BD于O，连结A1C1交EF于M(图略)，
可证BD⊥平面ACC1A1，从而BD⊥OM，
作MN⊥AC于N，可证MN⊥平面ABCD，且N为OC中点∴OM＝MN2＋ON2＝a2＋(
2
4a)
2＝
3
42a，
∴S梯形DBEF＝
DB＋EF
2·OM
＝
(2＋
2
2)a
2×
3
42a＝
9
8a
2.
8．(必修2 P59例3改编)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的
中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．[答案] 2 6
[解析] 如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF ∥平面BPC1.
在△A1EF中，
A1F＝A1E＝5，EF＝22，
S△A1EF＝1
2×22×(5)
2－(2)2＝6，
从而所得截面面积为2S△A1EF＝2 6.
9．(必修2 P62A组T7、P58练习T2改编)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点D是BC的中点，欲过点A′作一截面与平面AC′D平行．
(1)问应当怎样画线，并说明理由；
(2)求所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比．
[解析] (1)在三棱柱ABC-A′B′C′中，点D是BC的中点，
取B′C′的中点E，连接A′E，
A′B，BE，
则平面A′EB∥平面AC′D，
A ′E ，A ′
B ，BE 即为应画的线．
理由如下：因为D 为BC 的中点，E 为B ′C ′的中点，所以BD ＝C ′E . 又因为BC ∥B ′C ′，
所以四边形BDC ′E 为平行四边形， 所以DC ′∥BE .
连接DE ，则DE BB ′， 所以DE AA ′，
所以四边形AA ′ED 是平行四边形， 所以AD ∥A ′E .
又因为A ′E ∩BE ＝E ，A ′E ⊂平面A ′BE ，BE ⊂平面A ′BE ，AD ∩DC ′＝D ，AD ⊂平面AC ′D ，DC ′⊂平面AC ′D ，所以平面A ′EB ∥平面AC ′D .
(2)设棱柱的底面积为S ，高为h .
则V 三棱锥C ′-ACD ＝V 三棱锥B -A ′B ′E
＝13×12Sh ＝16Sh . 所以三棱柱夹在平面AC ′D 与平面A ′EB 间的体积为 V ′＝Sh －2×16Sh ＝2
3Sh ，
∴所作截面与平面AC ′D 将三棱柱分成的三部分的体积之比为 16Sh ∶23Sh ∶1
6Sh ＝1∶4∶1.
10．(必修2 P56练习T2改编)如图，E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A、C、E三点作平面α与正方体的面相交．
(1)画出平面α与正方体ABCD-A1B1C1D1各面的交线；
(2)求证：BD1∥平面α.
[解析] (1)如图，交线即为EC、AC、AE，平面α即为平面AEC.
(2)证明：连接BD与AC交于O，连接EO，BD，
∵ABCD为正方形，∴O是BD的中点，又E为DD1的中点．
∴OE∥BD1，又OE⊂平面α，BD1⊄平面α.
∴BD1∥平面α.
11．(必修2 P62A组T5改编)如图，AB∥平面α.C、D是α内任意两点，M、N 分别是AC与BD的中点，求证：MN∥α.
[解析] 法一：①当AC与BD共面时，由AB∥α知，AB∥CD，MN∥CD.又∵CD ⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.
②当AC与BD不共面时，取AD的中点E，连接ME、EN. ∵M、N分别是AC与BD的中点，
∴EN∥AB，ME∥CD，又CD⊂α，ME⊄α，则ME∥α.
由EN∥AB，AB∥α且EN⊄α知EN∥α.
又ME∩EN＝E，
∴平面MEN∥平面α，又MN⊂平面MEN，
∴MN与平面α没有公共点，∴MN∥平面α.
综上所述，MN∥平面α.
法二：连接BM并延长交α于E.连接ED、EC.
∵AB∥α，平面ABM∩α＝EC，
∴AB∥EC，
又M是AC的中点，
∴M是BE的中点，
又N是BD的中点，
∴MN∥ED，又ED⊂α，MN⊄α，
∴MN∥平面α.。