专题1-2 数列篇-2018版题型突破唯我独尊之高考数学理

【简介】 【2015新课标1】
n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=错误！未找到引用源。

.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
错误！未找到引用源。

,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646
n -+ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.
【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 【名师点睛】已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩将所给条件化为关
于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 【2015新课标2】解答题没有出现数列 【2016新课标1】解答题没有出现数列 【2016新课标2】
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1
28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（Ⅰ）求
111101b b b ， ，；
（Ⅱ）求数列
{}n b 的前1 000项和.
【答案】（Ⅰ）
10b =，111b =， 1012b =；
（Ⅱ）1 893.
【考点】等差数列的通项公式、前n 项和公式，对数的运算[]
【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点. 【2016新课标3】 已知数列
{}n a 错误！未找到引用源。

的前n 项和1n n S a λ=+错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

其
中0λ≠． （I ）证明
{}n a 错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；
（II ）若
531
32S =
错误！未找到引用源。

，求λ．
【答案】（I ）1
)1(11---=
n n a λλλ；（II ）1λ=-．
【解析】
因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是
1
)
1(11---=n n a λλλ. ……6分 （II ）由（I ）得
n
n S )1(
1--=λλ
.由
32315=
S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1
(λλ321. 解得1λ=-. ……12分 【考点】数列的通项
n a 与前n 项和n S 的关系，等比数列的定义、通项公式及前n 项和.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1
n n a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明
2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
【2017新课标1】解答题没有出现数列 【2017新课标2】解答题没有出现数列 【2017新课标3】解答题没有出现数列
【3年高考试题比较】
对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.尤其近两年都考的数列，2018年在三角上命题的可能性很大，考查内容主要集中等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和
公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【必备基础知识融合】
1.数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n ).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类
3.(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.
5.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.
数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b
2
.
6.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *). (2)等差数列的前n 项和公式
S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).
7.等差数列的有关性质
已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .
(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 8.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 9.等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 10.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.
数学语言表达式：a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 11. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －
1；
通项公式的推广：a n ＝a m q n －
m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
12.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；
当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 13.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法
①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .
②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q
1－q .
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
⎩⎨⎧⎭⎬
⎫
1n
n ＋k
(k 为非零常数)
1n
n ＋k
＝1k ⎝⎛⎭⎫1
n －1n ＋k ⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫1n
n ＋
n ＋
1
n n ＋n ＋
＝
121n n ＋－
1n ＋
n ＋
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 14.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1.
(3)
1n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
【解题方法规律技巧】
典例1：若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式.
【迁移探究】 将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，
试求解.
【规律方法】（1）在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形；
（2）应用a n＝S n－S n－1 (n≥2)条件时，通常有两个方向，一个是消去S n，留下关于a n的递推关系，进而求a n的通项公式；另一个是消去a n，留下S n的递推关系，进而得到S n.
典例2：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数.
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.
(1)证明由题设知，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.
两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.
由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.
(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故a n＋2－a n＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.
【规律方法】等差数列的四种判断方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.
(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.
(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q.
(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.
典例3：已知等比数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别是等差数列的第8项和第16项，试求数列的通项公式及前项和的最小值.
【答案】(1) (2) 当时，取得最小值.
【规律方法】求等差数列前n项和最值的常用方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
③将等差数列的前n项和(为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．
典例4：已知数列{a n}的前n项和为S n，在数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.
(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；
(2)求数列{b n}的通项公式.
【规律方法】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
典例5：已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 864S =，又2a 是1a 与5a 的等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若62n n S a +>，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）8.
【解析】试题分析：（1）根据题目中的条件列出表达式， 2215a a a =，又因为数列是等差数列，故得到
()
()2
1114a d a a d +=+， 12d a =，根据864S =结合等差数列前n 项和，得到最终结果；（2）由第一问
【规律方法】 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外
两个，体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
典例6：已知数列{}n a 满足： ()
*
121n n a a n n N +=-+∈， 13a =. （1）证明数列()
*
n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项；
（2）设11
n n
n n n a a c a a ++-=
，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证： 1n S <.
【答案】（1）2n n a n =+；（2）见解析 【解析】试题分析：
(1)由题意可得递推关系： ()()1121n n b n b n n +++=+-+，整理可得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，结合首项1112b a =-=可得2n n b =， 2n n a n =+．
(2)结合(1)整理数列的通项公式可得：
111
11
n n n n n n n a a c a a a a +++-=
=-
，裂项求和有121
1
11n n n S c c c a +=++
+=-
<． 试题解析：
（1）解：由n n b a n =-知n n a b n =+， 代入得： ()()1121n n b n b n n +++=+-+， 化简得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，
又111312b a =-=-=，则2n n b =，进而有2n n a n =+． （2）证明：由于111
11
n n n n n n n a a c a a a a +++-=
=-
， 所以121223111111111111111n n n
n n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+=-+-+
+-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 典例7：已知数列{}n a 中， 11a =， ()
*14
n
n n a a n N a +=
∈+.
（1）求证： 113n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()
1
413
n n n n n b a +=-⋅
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)答案见解析；(2) 1
1525443n n n T -+=-⋅.
（2）()
1413n
n n n n b a +=-⋅
⋅， 3
41
n n a =-
1
1
3n n n b -+=
12n n T b b b =++
+
∴0121
2313333n n n n n T --+=
++++① 121123133333
n n n n n T -+=++++② ①-②得12121111
233333n n n n T -+=++++-
111
31313
n
n n -+=+--
53112233
n n n +=-⋅- ∴11525443
n n n T -+=-⋅. 【规律方法】
(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1
·a 1代入求出通项.
(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.
（4）分式型的递推关系，常常可以利用求倒数构造新的等差或等比数列.
（5）指数型的递推关系，有时候可以通过等式两边取对数，构造新的等差或等比数列.
典例8：数列{}n a 满足12n+2n+1a =1
a =2a =2a 2n a -+，，. （1）设1n n n
b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．
【答案】（1）见解析；（2）a n ＝n 2－2n ＋2
【规律方法】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.
典例9：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋
1
（b n ＋2）n
.求数列{c n }的前n 项和T n .
【规律方法】(1)一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解；
(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.
典例10：已知数列{a n}中，a n＝1＋
1
a＋2（n－1）
(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围.
解(1)∵a n＝1＋1
a＋2（n－1）
(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴a n＝1＋
1
2n－9
(n∈N*).
结合函数f(x)＝1＋1
2x－9
的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，
a5>a6>a7>…＞a n>1(n∈N*).
∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1
a ＋2（n －1）＝1＋12n －
2－a
2，
已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12
x －
2－a 2的单调性，
可知5<2－a
2<6，即－10<a <－8.
即a 的取值范围是(－10，－8).
典例11：已知数列{}n a 中， 10a =， ()
*
12,n n a a n n N +=+∈，.
(1)令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式． (3) 令,3n
n n
a c =
当n c 取得最大项时，求n 的值. 【答案】（1）见解析；（2）21n n a n =--；（3）3n =.
（3）1111111
2122222121233333
n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n c c c c +++++++--------+-∴=
∴=∴-=-=由题
令()212n
f n n =+-，讨论可知()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<，由此可得3,n n c =
（2）由（1）知2n n b = 即121n n n a a +-=-
212,
21n a a ≥-=-
23221
a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1121n n n a a ---=-
()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=-- 2,21n n n a n ∴≥=--
11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=-- （3）111
21
22
33n n n n n n n n c c +++----∴=
∴= 111
1
22
21212333n n n n n n n n n n n c c ++++----+-∴-=
-=
令()212n
f n n =+-
()11232n f n n ++=+- ()()122n f n f n ∴+-=-
()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<
123345,....n c c c c c c c ∴>>
3,n n c =最大 3n ∴=
【规律方法】求数列最大项或最小项的方法
（1）相邻两项作差和0比，从而得数列的单调性进而得数列最值. （2）可以利用不等式组()11{ 2n n n n a a n a a -+≤≥≥找到数列的最大项；利用不等式()11
{ 2n n
n n a a n a a -+≥≥≤找到数列的最小
项．
（3）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项． 典例12:已知数列{}n a 满足： 123n n a a a a n a ++++=-，（ 1,2,3,
n =）
（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令()()21n n b n a =--，（ 1,2,3,
n =），如果对任意*x N ∈，都有21
4
n b t t +
≤，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) {}n a -1是以-12为首项， 12为公比的等比数列；（2）11
42
t t ≤-≥或
【规律方法】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题（常用分离变量来做）；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要
使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.
典例13：已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()
*
n N ∈.
（1）证明： {}1n a +是等比数列；
（2）令1
2n
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）见解析（2）1
112
1
n +-
-
【解析】试题分析：（1）由数列{}2n n n a S a n =-满足，求出通项公式n a 和1n a -的关系，由此判断1n a +是否为
等比数列；（2）由（1）可知数列{}n a 的通项公式，代入1
2n n n n b a a +=可知n b 的通项公式，通过裂项相消法算出{}
n b 的前n 项和n T 。

试题解析：（1）由1121S a =-得： 11a =
【规律方法】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（2）
1
k =；
（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；
此外，需注意利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
典例14：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1111
,22
n n n n a S a a S +++=-=． （1）求n S 及n a ；
（2）若111
,{ ,n n n n n S b S S n -+=为奇数
为偶数
，求{}n b 的前2n 项的和2n T ．
【答案】(1) ()
1
,12{ 1,221n n a n n n ==-≥-;(2) 22284n n
T n n =+
+.
所以
()1
2122n
n n S =+-⨯=， 所以12n S n
=
． 当2n ≥时， ()
111122221n n n a S S n n n n -=-=-=---， 又111
2
a S ==
不满足上式， 所以()
1
,12
{ 1,221n n a n n n ==-≥-．
【规律方法】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.
(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，
其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法
求{a n }的前n 项和.
【归纳常用万能模板】
(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d >1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
满分解答 (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，
a 1d ＝2，
即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，
2分
解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝9，
d ＝29.4分
故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －
1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），
b n ＝9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
29n －1.6分 (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －1
2
n －1，7分
于是T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1，①
12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n .②8分 ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋1
2n －2－2n －12n 10分 ＝3－2n ＋3
2n ，11分 故T n ＝6－2n ＋3
2
n －1.12分
❶由题意列出方程组得2分. ❷解得a 1与d 得2分，漏解得1分. ❸正确导出a n ，b n 得2分，漏解得1分. ❹写出c n 得1分.
❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)
设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .
第三步：(错位相减)
乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出T n .
【易错易混温馨提醒】
一、.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.
易错1：在等差数列{}n a 中， 1617a a +=-， 2723a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}2n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】(Ⅰ) 32n a n =-+ (Ⅱ) 当1q =时， ()2
313n S n n n n =-+=；当1q ≠时， ()1311n
n q S n n q
-=-+-.
∴12n n n a b q -+=，即164n n n b q --++=. ∴164n n b n q -=-+. ∴()(
)
2
12814641n n S n q q q -⎡⎤=+++
+-++++
+⎣⎦
()(
)
21311n n n q q q -=-++++
+.
当1q =时， ()2
313n S n n n n =-+=；
当1q ≠时， ()1311n
n q S n n q -=-+-.
二、利用
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1
（n ≥2）.求通项是容易忽略下标的范围.
易错2：已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有
12
112n n n
c c c a b b b +++⋅⋅⋅+=成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2016的值． 【答案】（1）b n ＝3n －1；（2）20163.
三、求“123n a a a a +++⋅⋅⋅+”时容易忽视分段讨论
易错3：在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =，且123,22,5a a a +成等比数列. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）若0d <,求123n a a a a +++⋅⋅⋅+.
【答案】(Ⅰ) 11n a n =-+或46n a n =+ .(Ⅱ) 22121
,11,22{
121
110,12.22
n n n n n n -+≤-+≥ 【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意求得数列的公差d 后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得11n a n =-+，分11n ≤和12n ≥两种情
（Ⅱ）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，
∴1
11n d a n =-=-+， ， 当11n ≤ 时， 110n a n =-+≥，
∴212312121
22
n n n a a a a a a a S n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-+； 当12n ≥时， 110n a n =-+<，
121112n a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 121112n a a a a a =++⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-
()1111n S S S =-- 112n S S =-+
2121
11022
n n =
-+．
综上12n a a a ++⋅⋅⋅+= 22121n 1122{
121n 1101222n n n n -+≤-+≥，，，． 221211122
{ 1211101222
n n n n n n -+≤-+≥，，，． 四、通项公式裂项后，忘了调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
易错4：等差数列{}n a 中， 122311a a +=， 32624a a a =+-，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足111
n n b S +=
-，其前n 项和为为n T ，求证： ()
*3
4
n T n N <
∈. 【答案】(1) 21n a n =- (2)见解析
（2）()()2111
111222
n S na n n d n n n n =+
-=⨯+-⨯=， ()
()2
2111
111111
222211
n n b S n n n n n n n +⎛⎫
=
=
=
==- ⎪-+++⎝⎭
+-，
11111111111...2132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭
111113212124
n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭ ()*
n N ∈． 【新题好题提升能力】
1.已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ,4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足
()
1
312231
1212121
21
n n
n
n b b b b a +=-+++-++++， 求数列{}n b 的通项公式；
【答案】（Ⅰ）2n n a =;（Ⅱ）()3
,12
{
111,2
2n n n n b n ==⎛⎫
-+≥ ⎪⎝⎭
. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知
11
2
n n a =（*n N ∈）
， 由
()
1
312231
1221212121
n n n n
b b b b +=-+-+-++++（*
n N ∈），
得
()
31
121231
1
12212121
21
n
n n n b b b b ---=-+-+-++++（2n ≥）， 故
()111112221n n n n n b +--=-+，即()1112n n n
b ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
（2n ≥）， 当1n =时， 1121b a =+， 13
2b =，∴()3
,12{
111,22n n n n b n ==⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭
2.已知数列{}{},,n n n a b S 为数列{}n a 的前n 项和且()
222,n n n S a b n n N +
=-=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n c 的通项公式为,2
{
,4
n n
n n n
a b n c a b n -
=为奇数为偶数，令n T 为的前n 项和{}n c ，求2n T . 【答案】（1）2n n a = (2) 27127499
n
n n T -=
+⋅.
3. 已知在数列{}n a 中， 11a =， 12n n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
【答案】(1) 122
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶 (2) 当n 为奇数时， n S = 214n -,当n 为偶数时， n S = 2
4
n .
（2）因为11a =， 12n n n a a +=， 2log n n b a =， 所以1n n b b n ++=. 讨论：
当n 为奇数时， ()()()123451n n n S b b b b b b b -=+++++
++ ()21
02414
n n -=+++
+-=；
当n 为偶数时， ()()()12341n n n S b b b b b b -=++++++ ()2
1314
n n =++
+-=.
4. 已知数列{}
n a ，满足11a =， 11233n n n n a a a a +++=； （1）求{}n a 的通项公式； （2）若()
1
1
1
1n n n n c a a ++=-，求{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】（1）321n a n =
+（2）284
93
n n --
（2）设212212221
11n n n n
n n c c a a a a --++=
-
21212111n n n
a a a -+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭ 所以
21
2+111
4=3n n a a --
-，即212241
3n n n
c c a -+=-⋅
， 212233445
1111
n T a a a a a a a a =
-+-
21222111n n
n n a a a a -+++
-
= 24
2411
13n a a a ⎛⎫
-++
+
⎪⎝⎭
254
14843333293
n n n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-⨯=--.
5. 已知数列{}n a 的首项为11a =，且()11n n n a a a ++⋅=， *n N ∈. (1)求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列；
(2)设n b =
{}n b
的前n 项和n T .
【答案】(1)见解析(2) 1
(2)由(1)可知，
1
n n
a =，
1
n
a
n
=，
n
b====
1
23
n n
T b
b b b
=+++⋯+
11
⎛
=+++⋯+=
⎝
.
6. 已知在ABC
∆中，2B A C
=+，且2
c a
=.
（1）求角,,
A B C的大小；
（2）设数列{}n a满足2cos
n
n
a nC
=，前n项和为
n
S，若20
n
S=，求n的值.
【答案】(1),,
632
A B C
πππ
===；(2)4
n=或5
n=.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合三角形内角和为π可得
3
B
π
=.由余弦定理可得22
3
b a
=，，结合勾股定理可知ABC
∆为直角三角
形，
2
C
π
=，
236
A
πππ
=-=.
(2)结合(1)中的结论可得
n
a=
0,
{
2,n
n
n
为奇数
为偶数
.则
212
n k k
S S S
+
===
22
24
3
k+-
，*
k N
∈据此可得关于实数k的方程22
264
k+=，解方程可得2
k=，则4
n=或5
n=.
7. 已知等差数列{}n a 的公差不为零， 13a =，且2a ， 5a ， 14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
1
11n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
【答案】（1）63n a n =-（2）()
2
362n n -+
【解析】试题分析：（1）由2a ， 5a ， 14a 成等比数列，结合13a =可求得6d =，利用等差数列的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()
()()()
()
1
1
2
163631369n n n b n n n
--=--+=--，
()()(
)
22
22222361234212n S n n =-+-+⋯+--，分解因式后利用等差数列求和公式可得结果.
试题解析：（1）设公差为d ，由25214a a a =，得()()()2
111413a d a d a d +=++， 化简得2
12d a d =，
因为0d ≠， 13a =，所以6d =， 所以63n a n =-． （2）因为()
()()()
()
1
1
2
163631369n n n b n n n
--=--+=--，
所以()(
)()(
)
()(
)
2
2
2
2
2
2361936293639364936219n S n =⨯--⨯-+⨯--⨯-+⋯+⨯--
()(
)
2
3629n -⨯-，
所以()()
(
)2
2
2
2
2
2
2361234212n S n n =-+-+⋯+--，
即()()
2361234212n S n n =-++++⋯+-+ ()()
2212363622
n n n n +=-⨯
=-+．
8. 数列{}n a 满足
1223
11111
n n n
a a a a a a n ++++
=
+. （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若()11n
n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【答案】(1) n
a n =；(2) ()221n S n n =+.
当1n =时，
1211
2
a a =①，即122a a = 当2n =时，
12231123
a a a a +=② ②-①，得
2311
6
a a =；即236a a =
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()121123112{
26
a a a a d a a a d a d =+==++=
解得11{ 1a d ==或11{ 1
a d =-=-．
∵0d >，
∴11
1a d ==，． ∴()11n a n n =+-=．
∴()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++
++
484n =+++
()442
n n +=
()21n n =+．
9. 已知首项为3
2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1
S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤5
6.
所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7
12.
10. 已知数列{}n a 是公比为1
3
的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项． (I)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值． 【答案】(Ⅰ) 413n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
；(Ⅱ) 729.
（Ⅱ）令1n a ≥，即4113n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，得4n ≤， 故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． 所以 当3n =，或4n =时， n T 取得最大值，
n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．
11. 已知数列{}n a 中， ()
*111,3
n
n n a a a n N a +==∈+．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）数列{}n b 满足()
312n n n n n b a =-⋅
⋅，数列{}n
b 的前n 项和为n T ， 若不等式()1
12n
n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1) 2
31
n n a =
-（2）23λ-<<
（Ⅱ）1
2
n n n b -=
()0122111111123122222
n n n T n n --=⨯
+⨯+⨯++-⨯+⨯ ()1211111
12122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减得 012111111222222222
n n n n T n n -+=++++-⨯=- 12
42n n n T -+∴=-
()1
2142n
n λ-∴-<-
若n 为偶数，则12
4,32n λλ-∴<-
∴< 若n 为奇数，则12
4,2,22
n λλλ-∴-<-∴-∴-
23λ∴-<<
12. 在数列{}n a 中， ()
*112311
1232
n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝
，＝． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）若存在()*
13
n
n n N a n λ∈≥，使得＋成立，求实数λ的最大值．
【答案】(Ⅰ) 21,1
{ 2·3,2
n n n a n n
-=≥＝
；(Ⅱ)
16
.
∴
()113n n
n a na ++＝
()2n ≥．
∴数列{}n na ()2n ≥是以222a ＝为首项，3为公比的等比数列． 223n n na -∴=⋅，
． ()2
232n n a n n
-∴=
⋅≥， 又11a ＝，
不满足上式． 2
11
{ 2
·32
n n n a n n
-=∴≥，＝， ．
13. 在等比数列{}n a 中，已知13,1a q =≠公比，等差数列{}n b 满足1142133.b a b a b a ===，，
（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记()1n
n n n c b a =-+，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【答案】(Ⅰ) 3,21n n n a b n ==+；(Ⅱ) 11
33
,22
{ 37
,22
n n n n n S n n +++-=--为偶数为奇数
（Ⅱ）由题意，得()()()11213n
n
n n n n c b a n =-+=-++，
①当n 为偶数时，
12n n S c c c =+++
()()()()()()1
23579121121333n n
n n n -⎡⎤=-++-+++--+-+++++⎣
⎦
．
133
22n n +=+-
13322
n n +=+-；
②当n 为奇数时，
121n n n n S c c c c --=++++
()()()()()()(
)2
13512312112133n n n
n n n n --⎡⎤=-++
+--+--+-++++⎣
⎦
()()133
12122
n n n +=--++-
137
22
n n +=--;
综上11
33
22
{ 37
n 22
n n n n n S n +++-=--，为偶数，为奇数． 14. 设n S 为数列{}n a 的n 项和， 2n S n =，数列{}n b 满足23b a =， 12n n b b +=+. （1）求n a 即n b ；
（2）记n 表示n 的个位数字，如61744=，求数列1n n a b ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭
的前20项和.
【答案】(1) 21n b n =+;(2)
20
9
.
（2）∵21n a n =-，∴{n
a 的前5项依次为1,3,5,7,9.
∵21n b n =+， {}n
b 的前5项依次为3,5，7,9,1
易知，数列
{}n
a 与{}n
b 的周期均为5，
∴1n n a b ⎧⎫⎪
⎪⎨
⎬⋅⎪⎪⎩⎭
的前20项和1
111141335577991⎛⎫++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11111111118120
4142335577992999⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-+-+=⨯⨯+=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 15. 函数()f x 满足: 11
22
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭,且对任意,αβ∈R ,都有()f αβ⋅= ()()f f αββα+,设12n n x f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
(1)求数列{}n x 的通项公式; (2)求数列{}n x 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n n n x =
；（2）2
22
n
n +-
所以2
n n n x =
． 即数列{}n x 的通项公式为2n n
n x =． （2）由（1）知
231232222n n n
S =++++
① ∴231112122222n n n n n
S +-=++++②， -①②得，
12n S =221
1111222
22n n n ++++
-
1111221212
n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--
11122n n n
+=-
-
1212
n n ++=-，
所以2
22
n n n S +=-．
16. 数列{}n a 是首项与公比均为a 的等比数列（0a >，且1a ≠），数列{}n b 满足lg n n n b a a =⋅． （1）求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（2）若对一切*n N ∈都有1n n b b +<，求a 的取值范围．
【答案】（1）(
)()12
1•lg 11n n n a a na T a a a +⎡⎤-⎢⎥=--⎢⎥-⎣
⎦
；（2）1
02
a <<或1a >.
从而•lg lg n n n n b a a na a ==，∴12n n T b b b =+++= ()
2323lg n a a a na a +++
+．
设2323n n u a a a na =+++
+，则234123n n au a a a na +=+++
+，
∴()2
3
1
1n n n a u a a a a na
+-=+++
+- (
)1
11
n n a a na
a +-=
--，
∴()()121
11n
n n a a na u a a +-=---，∴(
)()12
1•lg 11n n n a a na T a a a +⎡⎤
-⎢⎥=--⎢⎥-⎣
⎦
．
（2）由1n n b b +<得()1
lg 1lg n
n na a n a
a +<+．
①当1a >时， lg 0a >，可得1
n
a n >
+，。