风险和报酬—组合的风险与报酬的衡量
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表3-3完全负相关的证券组合数据
方案
A
B
组合
年度
收益
报酬率
收益
报酬率
收益
报酬率
20×1
20
40%
-5
-10%
15
15%
20×2
-5
-10%
20
40%
15
15%
20×3
17.5
35%
-2.5
-5%
15
15%
20×4
-2.5
-5%
17.5
35%
15
15%
20×5
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
平均数
7.5
（二）投资组合的风险计量
基本公式
【手写板】
1.协方差的含义与确定
2.相关系数的确定
计算公式
相关系数（r）=
相关系数与协方差间的关系
相关系数r=协方差/两个资产标准差的乘积=σjk/σjσk
【提示1】相关系数介于区间[-1，1]内。当相关系数为-1，表示完全负相关，表明两项资产的报酬率变化方向和变化幅度完全相反。当相关系数为+1时，表示完全正相关，表明两项资产的收益率变化方向和变化幅度完全相同。当相关系数为0时，表示不相关。
15%
7.5
15%
15
15%
标准差
22.6%
22.6%
0
表3-4完全正相关的证券组合数据
方案
A
B
组合
年度
收益
报酬率
收益
报酬率
收益
报酬率
20×1
20
40%
20
40%
40
40%
20×2
-5
-10%
-5
-10%
-10
-10%
20×3
17.5
35%
17.5
35%
35
35%
20×4
-2.5
-5%
-2.5
-5%
A.X和Y期望报酬率的相关系数是0
B.X和Y期望报酬率的相关系数是-1
C.X和Y期望报酬率的相关系数是0.5
D.X和Y期望报酬率的相关系数是1
【答案】ABC
【解析】当相关系数为1时，两种证券的投资组合的风险等于二者的加权平均数。
组合标准差= =12.65%。
表3-5
不同投资比例的组合
组合
对A的投资比例
对B的投资比例
组合的期望收益率
组合的标准差
1
1
0
10.00%
12.00%
2
0.8
0.2
11.60%
11.11%
3
0.6
பைடு நூலகம்0.4
13.20%
11.78%
4
0.4
0.6
14.80%
13.79%
5
0.2
0.8
16.40%
16.65%
6
-5
-5%
20×5
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
平均数
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
标准差
22.6%
22.6%
22.6%
（一）证券组合的期望报酬率
各种证券期望报酬率的加权平均数
=
【扩展】（1）将资金100%投资于最高资产收益率资产，可获得最高组合收益率；
（2）将资金100%投资于最低资产收益率资产，可获得最低组合收益率。
σp=A1σ1+A2σ2组合标准差=加权平均标准差
σp达到最大。组合不能抵销任何风险
r12=-1（完全负相关）
σp=|A1σ1-A2σ2|
σp达到最小，甚至可能是零。组合可以最大程度地抵销风险
r12＜1
0<σp＜加权平均标准差
资产组合可以分散风险，但不能完全消除风险
【例题•多选题】市场上有两种有风险证券X和Y，下列情况下，两种证券组成的投资组合风险低于二者加权平均风险的有（ ）。（2016年）
4.三种组合
N种股票组合方差
1
2
3
4
5
6
7
…
N
1
11
2
22
3
33
4
44
5
55
6
66
7
77
…
N
…
NN
【提示】充分投资组合的风险，只受证券之间协方差的影响，而与各证券本身的方差无关。
5.相关结论
（2）相关系数与组合风险之间的关系
相关系数r12
组合的标准差σp
（以两种证券为例）
风险分散情况
r12=1（完全正相关）
假设A证券的期望报酬率为10%，标准差是12%。B证券的期望报酬率是18%，标准差是20%。假设等比例投资于两种证券，即各占50%。
项目
A
B
报酬率
10%
18%
标准差
12%
20%
投资比例
0.5
0.5
A和B的相关系数
0.2
要求：
计算投资于A和B的组合报酬率以及组合标准差。
【答案】
组合报酬率=加权平均的报酬率=10%×0.5+18%×0.5=14%
0
1
18.00%
20.00%
【教材表3-5组合2】
项目
A
B
报酬率
10%
18%
标准差
12%
20%
投资比例
0.8
0.2
A和B的相关系数
0.2
要求：
计算投资于A和B的组合报酬率以及组合标准差。
【答案】
组合报酬率=10%×0.8+18%×0.2=11.6%
组合标准差= =11.11%。
【例题•计算题】
项目
A
三、投资组合的风险与报酬
投资组合理论认为，若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低风险。
【教材例3-12】假设投资100万元，A和B各占50%。如果A和B完全负相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的减少值。组合的风险被全部抵销，如表3-3所示。如果A和B完全正相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的增加值。组合的风险不减少也不扩大，如表3-4所示。
【提示2】相关系数的正负与协方差的正负相同。相关系数为正值，表示两种资产报酬率呈同方向变化，组合抵消的风险较少；负值则意味着反方向变化，抵消的风险较多。
3.两种证券投资组合的风险衡量
指标
公式
两种资产投资组合的标准差（σp）
这里a与b均表示个别资产的比重与标准差的乘积。
a=A1×σ1，b=A2×σ2
【教材例3-13】
B
C
报酬率
10%
18%
22%
标准差
12%
20%
24%
投资比例
0.5
0.3
0.2
A和B的相关系数0.2；B和C的相关系数0.4；A和C的相关系数0.6
要求：
计算投资于A、B和C三种证券组合报酬率以及组合标准差
【答案】
组合报酬率=0.5×10%+0.3×18%+0.2×22%=14.8%
组合标准差= =12.92%。
方案
A
B
组合
年度
收益
报酬率
收益
报酬率
收益
报酬率
20×1
20
40%
-5
-10%
15
15%
20×2
-5
-10%
20
40%
15
15%
20×3
17.5
35%
-2.5
-5%
15
15%
20×4
-2.5
-5%
17.5
35%
15
15%
20×5
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
平均数
7.5
（二）投资组合的风险计量
基本公式
【手写板】
1.协方差的含义与确定
2.相关系数的确定
计算公式
相关系数（r）=
相关系数与协方差间的关系
相关系数r=协方差/两个资产标准差的乘积=σjk/σjσk
【提示1】相关系数介于区间[-1，1]内。当相关系数为-1，表示完全负相关，表明两项资产的报酬率变化方向和变化幅度完全相反。当相关系数为+1时，表示完全正相关，表明两项资产的收益率变化方向和变化幅度完全相同。当相关系数为0时，表示不相关。
15%
7.5
15%
15
15%
标准差
22.6%
22.6%
0
表3-4完全正相关的证券组合数据
方案
A
B
组合
年度
收益
报酬率
收益
报酬率
收益
报酬率
20×1
20
40%
20
40%
40
40%
20×2
-5
-10%
-5
-10%
-10
-10%
20×3
17.5
35%
17.5
35%
35
35%
20×4
-2.5
-5%
-2.5
-5%
A.X和Y期望报酬率的相关系数是0
B.X和Y期望报酬率的相关系数是-1
C.X和Y期望报酬率的相关系数是0.5
D.X和Y期望报酬率的相关系数是1
【答案】ABC
【解析】当相关系数为1时，两种证券的投资组合的风险等于二者的加权平均数。
组合标准差= =12.65%。
表3-5
不同投资比例的组合
组合
对A的投资比例
对B的投资比例
组合的期望收益率
组合的标准差
1
1
0
10.00%
12.00%
2
0.8
0.2
11.60%
11.11%
3
0.6
பைடு நூலகம்0.4
13.20%
11.78%
4
0.4
0.6
14.80%
13.79%
5
0.2
0.8
16.40%
16.65%
6
-5
-5%
20×5
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
平均数
7.5
15%
7.5
15%
15
15%
标准差
22.6%
22.6%
22.6%
（一）证券组合的期望报酬率
各种证券期望报酬率的加权平均数
=
【扩展】（1）将资金100%投资于最高资产收益率资产，可获得最高组合收益率；
（2）将资金100%投资于最低资产收益率资产，可获得最低组合收益率。
σp=A1σ1+A2σ2组合标准差=加权平均标准差
σp达到最大。组合不能抵销任何风险
r12=-1（完全负相关）
σp=|A1σ1-A2σ2|
σp达到最小，甚至可能是零。组合可以最大程度地抵销风险
r12＜1
0<σp＜加权平均标准差
资产组合可以分散风险，但不能完全消除风险
【例题•多选题】市场上有两种有风险证券X和Y，下列情况下，两种证券组成的投资组合风险低于二者加权平均风险的有（ ）。（2016年）
4.三种组合
N种股票组合方差
1
2
3
4
5
6
7
…
N
1
11
2
22
3
33
4
44
5
55
6
66
7
77
…
N
…
NN
【提示】充分投资组合的风险，只受证券之间协方差的影响，而与各证券本身的方差无关。
5.相关结论
（2）相关系数与组合风险之间的关系
相关系数r12
组合的标准差σp
（以两种证券为例）
风险分散情况
r12=1（完全正相关）
假设A证券的期望报酬率为10%，标准差是12%。B证券的期望报酬率是18%，标准差是20%。假设等比例投资于两种证券，即各占50%。
项目
A
B
报酬率
10%
18%
标准差
12%
20%
投资比例
0.5
0.5
A和B的相关系数
0.2
要求：
计算投资于A和B的组合报酬率以及组合标准差。
【答案】
组合报酬率=加权平均的报酬率=10%×0.5+18%×0.5=14%
0
1
18.00%
20.00%
【教材表3-5组合2】
项目
A
B
报酬率
10%
18%
标准差
12%
20%
投资比例
0.8
0.2
A和B的相关系数
0.2
要求：
计算投资于A和B的组合报酬率以及组合标准差。
【答案】
组合报酬率=10%×0.8+18%×0.2=11.6%
组合标准差= =11.11%。
【例题•计算题】
项目
A
三、投资组合的风险与报酬
投资组合理论认为，若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低风险。
【教材例3-12】假设投资100万元，A和B各占50%。如果A和B完全负相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的减少值。组合的风险被全部抵销，如表3-3所示。如果A和B完全正相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的增加值。组合的风险不减少也不扩大，如表3-4所示。
【提示2】相关系数的正负与协方差的正负相同。相关系数为正值，表示两种资产报酬率呈同方向变化，组合抵消的风险较少；负值则意味着反方向变化，抵消的风险较多。
3.两种证券投资组合的风险衡量
指标
公式
两种资产投资组合的标准差（σp）
这里a与b均表示个别资产的比重与标准差的乘积。
a=A1×σ1，b=A2×σ2
【教材例3-13】
B
C
报酬率
10%
18%
22%
标准差
12%
20%
24%
投资比例
0.5
0.3
0.2
A和B的相关系数0.2；B和C的相关系数0.4；A和C的相关系数0.6
要求：
计算投资于A、B和C三种证券组合报酬率以及组合标准差
【答案】
组合报酬率=0.5×10%+0.3×18%+0.2×22%=14.8%
组合标准差= =12.92%。