2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系真题演练集训 理 新人教A版

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆
的位置关系真题演练集训 理 新人教A 版
1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3 D ．2
答案：A
解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －4)2
＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3，故选A.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
答案：C
解析：设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＋3
E ＋
F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－2，
E ＝4，
F ＝－20.
∴ 圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.
3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
答案：C
解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴，
∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2
＝36＋4＝40.
又r ＝2，∴ |AB |2
＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.
4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
答案：4
解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2
＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－3
3，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝
|AB |
cos 30°
＝4.
5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．
答案：(x －1)2
＋y 2
＝2
解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2
＝(1－2)2
＋(0＋1)2
＝2.
课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用
[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，
x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2
＝1上，
那么|PQ |的最小值为________．
[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．
[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，
x ＋y －2≤0
上，画出点P 所在的平面区域．
由点Q 在圆x 2
＋(y ＋2)2
＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．
由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线
x－2y＋1＝0的距离减去半径1.
又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为
|0－－＋1|
＝5，
12＋22
此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，
故|PQ|的最小值为5－1.
[答案]5－1
方法点睛
本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最
值问题．。