2017-2018学年广东省广州市海珠区高三(上)月考数学试卷(理科)(1)

2017-2018学年广东省广州市海珠区高三（上）月考数学试卷（理
科）（1）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|y=2x+1}，则A∩B中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
3．（5分）下列说法中正确的是（）
①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；
②回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（）；
③随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；
④相关指数R2用来刻画回归的效果，R越小，说明模型的拟合效果越好．A．①②B．③④C．①④D．②③
4．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=2，则||=（）A．4 B．2 C．D．1
5．（5分）已知A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（）
A．B．﹣ C．﹣2 D．2
6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前6项的和为（）
A．﹣20 B．﹣18 C．﹣16 D．﹣14
7．（5分）（x+y）（2x﹣y）6的展开式中x4y3的系数为（）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
8．（5分）已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．10πB．64πC．100πD．
9．（5分）设函数f（x）=cos（2x﹣），则下列结论错误的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x+）的一个零点为x=﹣
D．f（x）在区间[]上单调递减
10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且S2=3，S4=15，则a3=．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．15．（5分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范
围是．
16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是．
①当0时，S为四边形；
②当CQ=时，S为五边形；
③当时，S为六边形；
④当CQ=1时，S为菱形．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，b=6，C=2A．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：PC⊥BC；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
19．（12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了初步处理，相关统计量的值如表：
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜
率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（2，
1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a时，f（x）＞e﹣x．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为（）
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l垂直，求D的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a﹣2|成立，求实数a的取值范围．
2017-2018学年广东省广州市海珠区高三（上）月考数学
试卷（理科）（1）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|y=2x+1}，则A∩B中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：根据题意，集合A={（x，y）|x2+y2=4}，其元素为圆x2+y2=4上所有的点，
B={（x，y）|y=2x+1}，其元素为直线y=2x+1上所有的点；
则A∩B中元素为直线与圆的交点；
圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2；
圆x2+y2=4的圆心到直线的距离d==＜2，
直线与圆有2个交点，则A∩B中有2个元素，
故选：B．
2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得
z=，
∴|z|=．
故选：A．
3．（5分）下列说法中正确的是（）
①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越
弱；
②回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（）；
③随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；
④相关指数R2用来刻画回归的效果，R越小，说明模型的拟合效果越好．A．①②B．③④C．①④D．②③
【解答】解：对于①，相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，
|r|越接近于1，相关性越强，∴①错误；
对于②，回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（），②正确；
对于③，随机误差e满足E（e）=0，
其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度，③正确；
对于④，相关指数R2用来刻画回归的效果，
R越大，说明模型的拟合效果越好，∴④错误．
综上，正确的命题是②③．
故选：D．
4．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=2，则||=（）A．4 B．2 C．D．1
【解答】解：根据题意，设||=t，
||=2，则（）2=||2+4||2﹣4•=4+4t2﹣4×2×t×=4，
即t2﹣t=0，
又由t＞0，
则有t=1；
故选：D．
5．（5分）已知A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（）
A．B．﹣ C．﹣2 D．2
【解答】解：A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，
不妨A为坐标原点，则B的纵坐标为4，此时B的横坐标为：2x=16，解得x=8，B（8，4），
则直线AB的斜率为：．
故选：A．
6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前6项的和为（）
A．﹣20 B．﹣18 C．﹣16 D．﹣14
【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，
可得a32=a1a4，
即有（a1+4）2=a1（a1+6），
解得a1=﹣8，
则{a n}前6项的和为6×（﹣8）+×6×5×2=﹣18，
故选：B．
7．（5分）（x+y）（2x﹣y）6的展开式中x4y3的系数为（）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【解答】解：（2x﹣y）6由通项公式可得：．
那么（x+y）•=
要得到x4y3项：
可得：r=2或r=3．
当r=2时，系数为=240．
当r=3时，系数为﹣=﹣160．
合并后系数为：240﹣160=80．
故选：D．
8．（5分）已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．10πB．64πC．100πD．
【解答】解：圆锥的底面半径r=4，高为h=8，
设圆锥的外接球的半径为R，
画出圆锥的轴截面如图所示，
则外接球的半径是轴截面三角形的外接圆的半径；
设O为△ABC的外心，则
由勾股定理得R2=42+（8﹣R）2，
解得R=5；
∴该圆锥外接球的表面积为4π•52=100π．
故选：C．
9．（5分）设函数f（x）=cos（2x﹣），则下列结论错误的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x+）的一个零点为x=﹣
D．f（x）在区间[]上单调递减
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、f（x）=cos（2x﹣），其周期T==π，A正确；
对于B、f（x）=cos（2x﹣），令2x﹣=kπ，解可得x=+，即y=f（x）
的对称轴为x=+，当k=1时，x═，即y=f（x）的图象关于直线x=
对称，B正确；
对于C、f（x+）=cos（2x+π﹣）=cos（2x+），当x=﹣时，f（x+）=cos0=1，则x=﹣不是f（x+）的零点，C错误；
对于D、f（x）=cos（2x﹣），2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，解可得kπ+≤x≤kπ+，
即函数f（x）的递减区间为[kπ+，kπ+]，
则函数在[，]上递减，又由[]∈[，]，则f（x）在区间[]上递减，D正确；
故选：C．
10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：模拟程序的运行，可得
i=1，S=0
执行循环体，S=，i=2
不满足条件i＞n，执行循环体，S=+，i=3
不满足条件i＞n，执行循环体，S=++，i=4
不满足条件i＞n，执行循环体，S=+++=×（1﹣﹣+﹣
+）=，i=5
由题意，此时应该满足条件5＞n，退出循环，输出S的值为．
可得：4≤n＜5，可得n的值为4．
故选：B．
11．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．
【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5=0⇔（x﹣3）2+y2=4，
由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，
又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心
而双曲线C：=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=9①
又双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，
而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇔bx±ay=0，
∴=2 ②连接①②得，可得c=3，
所以双曲线的离心率为：=．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）
【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且S2=3，S4=15，则a3=4．
【解答】解：由已知可得q≠1．
∴=3，=15，
解得a1=1，q=2．
∴a3=22=4．
故答案为：4．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图，
z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知：
OA的距离最小，
则|OA|2==，
故z=x2+y2的最小值为：，
故答案为：．
15．（5分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是a≤．
【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：
由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．
由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，
故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；
故答案为：
16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是①②④．
①当0时，S为四边形；
②当CQ=时，S为五边形；
③当时，S为六边形；
④当CQ=1时，S为菱形．
【解答】解：对于①，如图所示
当CQ=时，Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，
截面APQD1为等腰梯形；
当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，①正确；
对于②，当CQ=时，如图所示，
延长DD1至N，使D1N=，
连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，
可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，
故可得C1R=，∴截面APQRS是五边形，②正确；
对于③，由②知当＜CQ＜1时，只需点Q上移，
此时的截面形状仍然为上图所示的五边形APQRS，∴③错误；
对于④，当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，
可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面APC1F为菱形，④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，b=6，C=2A．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为C=2A，所以sinC=sin2A=2sinAcosA，…（2分）
由正弦定理，得，…（3分）
由余弦定理，得a（b2+c2﹣a2）=bc2．…（5分）
由a=4，b=6，可得．…（6分）
（2）由余弦定理，…（8分）
又sin2C+cos2C=1，0＜C＜π，得，…（10分）
所以△ABC的面积．…（12分）．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：PC⊥BC；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点为O，连接PO，CO，
∵△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD．
底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，
∴CO⊥AD，…（1分）
∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC，…（2分）
PC⊂平面POC，AD⊥PC．…（3分）
又AD∥BC，所以BC⊥PC．…（4分）
（Ⅱ）由面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD，…（5分）
OP，OD，OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30°，即∠CPO=30°
由AD=2，知，得CO=1．…（6分）
分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则，，
，…（7分）
设平面PBC的法向量为．
∴．则，…（8分）
设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．
∴．则，…（9分）
=，…（11分）
∴由图可知二面角B﹣PC﹣D的余弦值．…（12分）
19．（12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了初步处理，相关统计量的值如表：
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等
品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜
率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．
【解答】解：（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，
令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，
由=，
ln=1，=e，
故所求回归方程为．
（Ⅱ）由，
x=58，68，78，即优等品有3件，
ξ的可能取值是0，1，2，3，且，
，
，
．
其分布列为：
∴．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（2，
1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦距为，且过点A（2，1），
所以，2c=2．…（2分）
因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）
所以椭圆C的方程为=1．…（4分）
证明：（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8=0，（*）．…（5分）则，，…（6分）
因为k PA+k QA=0，即=﹣，…（7分）
化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4m+4=0．（**）…（8分）
代入得﹣﹣4m+4=0，…（9分）
整理得（2k﹣1）（m+2k﹣1）=0，
所以k=或m=1﹣2k．…（10分）
若m=1﹣2k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意．…（11分）
所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a时，f（x）＞e﹣x．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
由f（x）的解析式得．分类讨论：
（1）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（1）=ln1+a=a＜0，x→+∞，f（x）→+∞，
所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上有1个零点．
（2）当a＞0时，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
当x=a时，[f（x）]min=lna+1．当lna+1≤0，
即时，又f（1）=ln1+a=a＞0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上有2个零点．
综上所述实数a的取值范围为．
另解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
由，得a=﹣xlnx．
令g（x）=﹣xlnx，则g’（x）=﹣（lnx+1）．
当时，g’（x）＞0；当时，g’（x）＜0．
所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．
故时，函数g（x）取得最大值，
因x→+∞，f（x）→﹣∞两图象有交点得．
综上所述实数a的取值范围为．
（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，
即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．
令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．
当时，f’（x）＜0；当时，f’（x）＞0．
所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．
当时，．
于是，当时，．
令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x（1﹣x）．
当0＜x＜1时，f’（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
当x=1时，．
于是，当x＞0时，．②
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．
故当时，f（x）＞e﹣x．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为（）
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l垂直，求D的直角坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），
由，得，…（1分）
消去t得直线l的普通方程为．…（2分）
∵曲线C的极坐标方程为
=，…（3分）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，
得到曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．…（4分）∴曲线C的直角坐标方程为（α为参数，0≤α＜2π）．…（5分）（Ⅱ）设曲线C上的点为，…（6分）
由（1）知C是以G（1，1）为圆心，半径为的圆．…（7分）
∵C在D处的切线与直线l垂直，∴直线GD与l的斜率相等，…（8分）
，α=60°或者α=240°，…（9分）
故D的直角坐标为或．…（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a﹣2|成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，
等价于或或，
得或，
即f（x）＜2的解集是（﹣∞，0）；
（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，
∴f（x）max=4，∴|3a﹣2|＜4，
解得实数a的取值范围是．。