江西省上饶县中学高三数学上学期第三次月考试题 文

江西省上饶县中学2018届高三数学上学期第三次月考试题 文
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A={x|y=lg （x ﹣1）}，集合B={y|y=﹣x 2
+2}，则A∩B 等于
A ．（1，2）
B ．（1，2]
C ．[1，2）
D ．[1，2]
2.已知向量a =（1，﹣3），b =（2，1），若（k a +b ）∥（a ﹣2b ），则实数k 的取值为
A ．﹣
12
B ．
12
C ．﹣2
D ．2
3.某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为2的正方
形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是
A ．83
π- B ．86π-
C ．
203
D ．
163
4.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，2
1
()f x x x
=+，则f （﹣1）=
A ．﹣2
B ．0
C ．1
D ．2
5.若a=20.5
，b=log π3，c=ln
1
3
，则 A ．b ＞c ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
6.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2+a 5=4，S 7=21，则a 7的值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7.直线x+（1+m ）y=2﹣m 和直线mx+2y+8=0平行，则m 的值为
A ．1
B ．﹣2
C ．1或﹣2
D ．﹣
8.设曲线y=a （x ﹣2）﹣ln （x ﹣1）+ 6在点（2，6）处的切线方程为y=3x ，则a=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9.若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2
+y 2
=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为
A ．2x+y ﹣3=0
B ．x+y ﹣1=0
C ．x ﹣y ﹣3=0
D ．2x ﹣y ﹣5=0
10.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2
π
）的最小正周期为π，且其图象向左平移
3
π
个单位后得到函数g （x ）=cos ωx 的图象，则函数f （x ）的图象 A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512
x π
=对称
C ．关于点（12π，0）对称
D ．关于点（512
π
，0）对称
11.已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、
B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为
A ．
2214536x y +=
B ．
22
13627x y += C ．
22
12718
x y +=
D ．
22
1189
x y += 12.已知函数g （x ）满足g （x ）=g′（1）e x ﹣1
﹣g （0）x+
2
12
x ，且存在实数x 0使得不等式2m ﹣1≥g（x 0）成立，则m 的取值范围为
A ．（﹣∞，2]
B ．（﹣∞，3]
C ．[1，+∞）
D ．[0，+∞）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-03x 03y x 01y x 则z=x+2y 的最小值为 ．
14.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则14分钟后P 点距地面的高度是 米． 15.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：
①若,,l m
l αα苘//β,m //β，则α//β
②若,l αÜl //β,m α
β=，则l //m
③若α//β，l //α，则l //β
④若,l m α⊥//l ，α//β，则m β
⊥
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）．
16.对于三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠给出定义： 设'
()f x 是函数()y f x =的导数，''
()f x 是函数'
()f x 的导数，
若方程''
()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

给定函数32115
()33212
f x x x x =
-+-，请你根据上面探究结果，计算1232012()()()()2013201320132013
f f f f +++…+=_____________. 三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.)
17.已知集合A={x|x 2
﹣3x+2＜0}，B={x|a ﹣1＜x ＜3a+1}．
（1）当1
4
a =时，求A∩B；
（2）命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
18.已知向量(sin ,1)m x =-，向量1
(3cos ,)2
n x =-，函数()()f x m n m →→→=+∙．
（Ⅰ）求f （x ）单调递减区间；
（Ⅱ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，
，c=4， 且f （A ）恰是f （x ）在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值，求A ，b ，和△ABC 的面积S ．
19.在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1(1)()(1)
n
n n n a b n N n n *++=∈+．求数列{b n }的前n 项和n
S
20.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD ，PD⊥底面ABCD ．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D ﹣PBC 的高．
21.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若圆O ：x 2
+y 2
=1的切线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．
22.已知函数()x
ex
f x e =
，g （x ）=ax ﹣2lnx ﹣a （a∈R，e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的极值；
（2）在区间(]0,e 上，对于任意的0x ，总存在两个不同的12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，
求a 的取值范围．
上饶县中学2018届高三年级上学期第二次月考
数 学 试 卷(文科)答案
1.B
2.A
3.C
4.A
5.C
6.D
7.A
8.C
9.C 10.C 11.D 12.C 13.3 14.6 15.②④
【分析】①考查面面平行的判定定理，看条件是否都有即可判断出真假； ②考查线面平行的性质定理，看条件是否都有即可判断出真假； ③可以采用举反例的方法说明其为假命题；
④先由两平行线中的一条和已知平面垂直，另一条也和平面垂直推得m⊥α，再由两平行平面中的一个和已知直线垂直，另一个也和直线垂直推得m⊥β．即为真命题． 【解答】解：对于①，没有限制是两条相交直线，故①为假命题； 对于②，利用线面平行的性质定理可得其为真命题； 对于③，l 也可以在平面β内，故其为假命题；
对于④，由l⊥α，m∥l 可得m⊥α，再由α∥β可得m⊥β，即④为真命题． 故真命题有 ②④． 故答案为：②④． 16.2012
略
17.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）当a=时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B：
（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），
B={x|a﹣1＜x＜3a+1}=（﹣，），
∴A∩B=（1，），
（2）根据条件知，若x∈A，则x∈B，q是p的必要条件
∴A⊆B；
∴，
解得≤a≤2，
故a的取值范围为[，2]
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．
18.
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量的运算由已知可求函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．
（Ⅱ）结合范围，由正弦函数图象可求A的值，由余弦定理解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
=+1+sin2x+
=sin2x﹣cos2x+2
=sin（2x﹣）+2，…（3分）
，
所以：f（x）的单调递减区间为：．…
（Ⅱ）由（1）知：，
∵时，，
由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）
∴，…（8分）
由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，
∴b=2，…（10分）
∴．…（12分）
【点评】本题主要考查了平面向量的运算，正弦函数的单调性，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；
（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，
即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，
即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；
（2）=a n+
=2n﹣1+（﹣），
数列{b n}的前n项和=（1+2+22+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=+1﹣=2n﹣．
20.
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=，
即棱锥D﹣PBC的高为．
21.
【分析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；
（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．
【解答】解：（ I）由题意得，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程．
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；
设直线l：x=my+t．
∵l与圆O相切，∴，即t2=m2+1；
联立方程组，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，
则△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，
∴，∴，，即，
∴，
设x=m2+4，则x≥4，，
∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值=．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数的关系应用，属于中档题，
22.
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…
令f′（x）=0，得x=1．…
当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…
（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．
又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，
所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…
当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…
当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，
故必须满足0＜＜e，所以a＞．…
此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：
，
所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，
所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2
使得g（x1）=g（x2）=f（x0），
当且仅当a满足下列条件，即，…
令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），
m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．
当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；
当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．
所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，
即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．
由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，
综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，
在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…
高三第三次月考文科数学试卷答案
1.B
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，
解得：x＞1，即A=（1，+∞），
由B中y=﹣x2+2≤2，得到B=（﹣∞，2]，
则A∩B=（1，2]，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.A
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．
【解答】解：∵=（1，﹣3），=（2，1），
∴k+=k（1，﹣3）+（2，1）=（2+k，1﹣3k），﹣2=（﹣3，﹣5），
∵（k+）∥（﹣2），
∴﹣5（2+k）=﹣3（1﹣3k），
∴解得：k=﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别，属于基础题．
3.C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，求出它的体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，
该几何体的体积是
V组合体=V正方体﹣V四棱锥=23﹣×22×1=．
故选：C．
4.A
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），
又当x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，
故选：A．
5.C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，
∴a＞b＞c．
故选：C．
6.D
【考点】等差数列的性质．
【分析】由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项
和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求
【解答】解法一：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①
根据等差数列的前n项和公式可得，
所以 a1+a7=6②
②﹣①可得d=2，a1=﹣3
解法二：S6=（）×6=12
a7=S7﹣S6=9
故选D
7.A
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．
【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，
∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，
当m=﹣2时，两直线重合．
故选：A．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
8.C
【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．
【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：
y′=a﹣，
在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，
解得a=4，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．
9.C
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为弦AB的中点，PC的斜
率为=﹣1，
∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），即 x﹣y﹣3=0，
10.C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．
把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，
∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．
由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；
令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，
故选：C．
11.D
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得
．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公
式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用
c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
12.C
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．
【解答】解：∵g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，
∴g′（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=e x﹣x+x2，
∴g′（x）=e x﹣1+x，g″（x）=e x+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）min=g（0）=1，
若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，
只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．
13.3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，
直线y=的截距最小，此时z最小，
由，得，即C（3，0）
此时z=3+2×0=3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
14.6
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（14）的值即可．
【解答】解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A==8，B=10，T==12，所以ω=，即 f（t）=8sin（t+φ）+10，
又因为f（0）=2，即 sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=8sin（t+）+10，
∴f（14）=6（米），
故答案为：6．
15.②④
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】①考查面面平行的判定定理，看条件是否都有即可判断出真假；
②考查线面平行的性质定理，看条件是否都有即可判断出真假；
③可以采用举反例的方法说明其为假命题；
④先由两平行线中的一条和已知平面垂直，另一条也和平面垂直推得m⊥α，再由两平行平面中的一个和已知直线垂直，另一个也和直线垂直推得m⊥β．即为真命题．
【解答】解：对于①，没有限制是两条相交直线，故①为假命题；
对于②，利用线面平行的性质定理可得其为真命题；
对于③，l也可以在平面β内，故其为假命题；
对于④，由l⊥α，m∥l可得m⊥α，再由α∥β可得m⊥β，即④为真命题．
故真命题有②④．
故答案为：②④．
16.2012
略
17.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）当a=时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B：
（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），
B={x|a﹣1＜x＜3a+1}=（﹣，），
∴A∩B=（1，），
（2）根据条件知，若x∈A，则x∈B，q是p的必要条件
∴A⊆B；
∴，
解得≤a≤2，
故a的取值范围为[，2]
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．
18.
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量的运算由已知可求函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．
（Ⅱ）结合范围，由正弦函数图象可求A的值，由余弦定理解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
=+1+sin2x+
=sin2x﹣cos2x+2
=sin（2x﹣）+2，…（3分）
，
所以：f（x）的单调递减区间为：．…
（Ⅱ）由（1）知：，
∵时，，
由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）
∴，…（8分）
由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，
∴b=2，…（10分）
∴．…（12分）
【点评】本题主要考查了平面向量的运算，正弦函数的单调性，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；
（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，
即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，
即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；
（2）=a n+
=2n﹣1+（﹣），
数列{b n}的前n项和=（1+2+22+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=+1﹣=2n﹣．
20.
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=，
即棱锥D﹣PBC的高为．
21.
【分析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；
（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．
【解答】解：（ I）由题意得，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程．
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；设直线l：x=my+t．
∵l与圆O相切，∴，即t2=m2+1；
联立方程组，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，
则△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，
∴，∴，，即，
∴，
设x=m2+4，则x≥4，，
∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值=．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数的关系应用，属于中档题，
22.
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…
令f′（x）=0，得x=1．…
当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…
（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，
所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…
当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…
当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，
故必须满足0＜＜e，所以a＞．…
此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：
，
所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，
所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2
使得g（x1）=g（x2）=f（x0），
当且仅当a满足下列条件，即，…
令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），
m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．
当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；
当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．
所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，
即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．
由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，
综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，
在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…。