高考数学中档解答题专项练(四).docx

中档解答题专项练(四) 数 列
1．(2015·枣庄模拟)已知等差数列{a n }，公差d ＞0，前n 项和为S n ，S 3＝6，且满足a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1a n ·a n ＋2
，求数列{b n }的前n 项和T n 的值． 2．(2015·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n log 12
1a n ，试求{b n }的前n 项和T n . 3．(2015·兰州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝20，a 2＝7，a n ＋2－a n ＝－2(n ∈N *)．
(1)求a 3，a 4，并求数列{a n }通项公式；
(2)记数列{a n }前2n 项和为S 2n ，当S 2n 取最大值时，求n 的值．
4．(2015·南昌模拟)已知数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0.若ab 1，ab 2，ab 3，…，ab n ，…成等比数列，且b 1＝1，b 2＝2，b 3＝5.
(1)求数列{b n }的通项公式b n ；
(2)设c n ＝log 3(2b n －1)，求T n ＝c 1c 2－c 2c 3＋c 3c 4－c 4c 5＋…＋c 2n －1c 2n －c 2n c 2n ＋1的值．
5．(2015·包头模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝15，且a 2，a 4，a 8成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1a 21＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n
，证明：b n ＜2. 6．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧2a n ＋2n －2，n 为奇数，－a n －n ，n 为偶数，数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 2n ，其中n ∈N *.
(1)试求a 2，a 3的值并证明数列{b n }为等比数列；
(2)设c n ＝b n ＋a 2n ＋1求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和． 答案
1．解：(1)由S 3＝6，a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列，得
⎩
⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，4（a 1＋d ）2＝2d （a 1＋7d ），即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，2a 21＋3a 1d －5d 2＝0， 解得：⎩⎨⎧a 1＝103
，d ＝－43，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∵d ＞0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋1×(n －1)＝n ；
(2)b n ＝1a n ·a n ＋2＝1n （n ＋2）＝12⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2
)＝34－12（n ＋1）－12（n ＋2）
. 2．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2a n －2，及a 1＝S 1可得a 1＝2，
由S n ＝2a n －2①，可得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)②，
由①－②得：a n ＝2a n －1(n ≥2)．
故{a n }是首项和公比都为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n .
(2)由(1)可得：b n ＝a n log 121a n ＝2n ·log 12
12n ＝n ·2n . 则T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .
2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋
1. 两式相减可得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2
n ＋1＝2（1－2n ）1－2
－n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.
∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 3．解：(1)∵a 1＝20，a 2＝7，a n ＋2－a n ＝－2，
∴a 3＝18，a 4＝5.
由题意可得数列{a n }奇数项、偶数项分别是以－2为公差的等差数列， 当n 为奇数时，a n ＝a 1＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1×(－2)＝21－n ，
当n 为偶数时，a n ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1×(－2)＝9－n ，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧21－n ，n 为奇数，9－n ，n 为偶数. (2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n
＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋…＋a 2n )
＝na 1＋n （n －1）2×(－2)＋na 2＋n （n －1）2
×(－2) ＝－2n 2＋29n .
结合二次函数的性质可知，当n ＝7时最大．
4．解：(1)∵数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0.
ab 1，ab 2，ab 3，…，ab n ，…成等比数列，且b 1＝1，b 2＝2，b 3＝5. ∴a 22＝a 1·
a 5，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， 1＋2d ＋d 2＝1＋4d ，解得d ＝2或d ＝0(舍)，
ab 1＝a 1＝1，ab 2＝3.∴q ＝3，
ab n ＝1＋(b n －1)×2＝2b n －1＝1×3n －
1， ∴b n ＝3n －
1＋12. (2)c n ＝log 3(2b n －1)＝n －1，
T n ＝c 2(c 1－c 3)＋c 4(c 3－c 5)＋c 6(c 5－c 7)＋…＋c 2n (c 2n －1－c 2n ＋1)
＝－2(c 2＋c 4＋…＋c 2n )
＝－2[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝－2n 2.
5．解：(1)在等差数列{a n }中，设其首项为a 1，公差为d ，
∵S 5＝15，∴5a 1＋5×42
d ＝15，① 又∵a 2，a 4，a 8成等比数列，
∴a 24＝a 2·
a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，② ∴由①，②得a 1＝1，d ＝1，
∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，
∴{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)证明：∵b n ＝1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n
＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n
＝2－1n
＜2， ∴b n ＜2.
6．解：(1)∵a 1＝12，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ＋2n －2，n 为奇数，－a n
－n ，n 为偶数， ∴a 2＝2a 1＋2－2＝1，a 3＝－a 2－2＝－3.
b n ＋1＝a 2n ＋2＝2a 2n ＋1＋2(2n ＋1)－2＝2a 2n ＋1＋4n ，
又a 2n ＋1＝－a 2n －2n ，
∴b n ＋1＝2(－a 2n －2n )＋4n ＝－2a 2n ＝－2b n ，b 1＝a 2＝1，
∴数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为－2.
(2)由(1)可得：a 2n ＋1＝－a 2n －2n ，b n ＝a 2n ，c n ＝b n ＋a 2n ＋1＝a 2n ＋(－a 2n －2n )＝－2n .c n ＋1＝－2(n ＋1)．
∴1c n c n ＋1＝1－2n ·[－2（n ＋1）]＝14⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和＝14[⎝⎛⎭⎫1－12＋(12－13)＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1] ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4（n ＋1）.。