2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题(解析版)

重庆市巴蜀中学高一下学期期中
数学试题
一、单选题
1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22a b > B ．||||a b >
C ．
11a b
< D ．22a c b c ⋅≥⋅
【答案】D
【解析】运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断. 【详解】
选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；
选项B:若2,1-=-=b a ，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的； 选项C:
11b a a b ba
--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确；
选项D:若0c =，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：
a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以
本题选D. 【点睛】
本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断.
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）
A ．1(0,0)e =u r ，2(1,2)e =-u u r
B ．1(1,2)e =-u r ，2(5,7)e =u u r
C ．1(3,5)e =u r ，2(6,10)e =u u r
D ．1(2,3)e =-u r
，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u r
【答案】B
【解析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A ，C ， D 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B ． 【详解】
解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，
A 中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求
B 中两个向量是1(1,2)e =-u r ，2(5,7)e =u u r ，则2517⨯≠-⨯故1(1,2)e =-u r 与2(5,7)
e =u u r
不共线，故B 正确；
C 中两个向量是1212
e e =
u u r u u r ，两个向量共线， D 项中的两个向量是124e e =uu r uu r
，两个向量共线，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面中两向量的关系，属于基础题.
3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AC a =u u u r
r
，BD b =u u u r r 则AD =u u u r
（ ）
A ．1124a b -r
r
B ．1124a b +r
r
C ．1122
r r a b -
D ．1122
a b +r r
【答案】D
【解析】结合平行四边形的性质，利用已知AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r
，可以用,a b r r 表示出,AO OD u u u r u u u r ,最后用,a b r r 表示出AD u u u r .
【详解】
11112222
AD AO OD AC BD a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r
，故本题选D.
【点睛】
本题考查了平面向量的加法的几何意义、平行四边形的性质，正确理解平面向量的加法的几何意义是解题的关键.
4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-r
，
(,)q b a c =-r ，且p q r r
P ，则角C =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】C
【解析】由p q r r
P ，可以得到等式，结合余弦定理，可以求出角C 的大小. 【详解】
222()()()p q a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-r r
P ,由余弦定理可知：
2222cos c a b ab C =+-⋅，所以有1cos ,(0,)23
C C C π
π=
∈⇒=,故本题选C. 【点睛】
本题考查了两平面向量共线时，坐标运算，考查了余弦定理.
5．在数列{}n a 中：已知11a =，1(2)n n a a n n --=≥，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．2
n n
a =
B ．21
2n n a +=
C ．22
n n n
a +=
D ．22
2
n n n a -+=
【答案】C
【解析】利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出． 【详解】
解：11a =Q ，1(2)n n a a n n --=…
， 2112211(1)()()()(1)2122
n n n n n n n n n
a a a a a a a a n n ---++∴=-+-+⋯+-+=+-+⋯++==
． 故选：C 【点睛】
本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ） A ．6里 B ．12里
C ．24里
D ．96里
【答案】A
【解析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】
由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列{}n a ，
设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为1
2q =，依题意有()
6113781a q q -=-，解得
1192a =，则5
6119262a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
，最后一天走了6里，故选A.
【点睛】
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n 项和公式即可，属于基础题型.
7．下列式子的最小值等于4的是（ ） A ．4
(0)a a a
+
≠ B ．4
sin sin x x +
，0,2
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C ．4x x e e -+，x ∈R
D 2
【答案】C
【解析】由基本不等式和函数(0)a
y x a x
=+
>的单调性，求出四个选项中函数的最小值，然后进行判断，找到最小值为4的选项. 【详解】
选项A:设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；
当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值； 选项B: 4sin sin y x x =+
,令sin 0,(0,1)2x a x a π⎛⎫
=∈∴∈ ⎪⎝⎭
Q ，函数4y a a =+
在(0,2)a ∈时，单调递减，故当(0,1)a ∈时，是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；
选项C: 444x x x x e e e e -+=+
≥=，当且仅当ln 2x =时，等号，故符合题意；
选项D:令2
y =
=，令
1(2)(2)t t y t t t =≥⇒=+≥，而函数1
y t t
=+在1t ≥时，是单调递增函数，
故当2t ≥时，函数1y t t =+也是单调递增，所以5
2
y ≥，不符合题意，所以本题选C. 【点睛】
本题考查了基本不等式和函数(0)a
y x a x
=+
>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等.
8．已知向量(2,1)a =r ，(1,)λ-=r b ，若5a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r
方向上的投影等于（ ） A ．102
-
B ．
102
C ．5-
D ．5
【答案】A
【解析】首先根据向量的数量积求出参数λ的值，即可得到b r ，再根据a b
b
⋅r r
r 计算可得.
【详解】
解：(2,1)a =r Q ，(1,)λ-=r b ，且 5a b ⋅=-r r
125λ∴-⨯+=-解得3λ=-
()1,3b ∴=--r ，()()22
1310b ∴=-+-=r
向量a r 在向量b r
方向上的投影
10210a b b
⋅===-r r
r 故选：A 【点睛】
本题考查向量的数量积及数量积的几何意义，属于基础题.
9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2
120dx a x +≥的解集为[0,9]，则
使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】B
【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2
120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是
一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：
，∴．∴，可得：，
．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ．
【考点】等差数列的前项和. 10．在上定义运算，若存在
使不等式
成立，则
实数的取值范围为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】 令
因为
即
也就是
在时，
，取最大值为6
所以 解得
故选C 【点睛】
本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题.
11．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，
则()
AG AW BC +⋅=u u u r u u u u r u u u r
（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．14
【答案】C
【解析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=u u u u r u u u r
， 再用AB u u u r 、AC u u u r
表示AW u u u u r
，AG u u u r ，BC uuu r
再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】
解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=u u u u r u u u r
()()
22113323
AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
()
12
AW AD DW AB AC DW
=+=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r
()()()
115326
AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r
()()()
5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦
u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u r r
u u
(
)
5
6AB A BC C =
⋅+u u u u r u u r u ur u
(
)()
56C AC AB AB A =⋅+-u u u r u u u u u u r u u r u r
(
)
()2222421055
6
6
AC AB =-=-=u u u r u u u r
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．
12．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、()c a b c >>，已知不等式
11t
a b b c a c
+≥---恒成立，则当实数t 取得最大值T 时，cos T B 的取值范围是（ ）
A ．120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．122,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3]
D ．(2,4)
【答案】B
【解析】由11t a b b c a c
+≥---，则a c a c
t a b b c --≤+--利用基本不等式求出t 的最大值T ，再用余弦定理表示出cos T B ，在锐角三角形中，由a b c >>，求出c
a
的取值范围，
再利用函数1
y t t
=+的单调性，求出cos T B 的取值范围
【详解】 解：11t
a b b c a c
+≥---Q
，()a b c >>
a c a c
t a b b c
--∴≤
+--
224a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥+=------ 当且仅当
b c a b
a b b c
--=--即2a c b +=时等号成立，此时取得最小值4 4t ∴≤
4T ∴=
2
22
2222233232cos 4cos 421
222a c a c a c b a c ac a c T B B ac ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅=⋅==+- ⎪⎝⎭
在锐角三角形中a b c >>Q ，所以222b c a +>，代入2a c b +=化简得
2
5230c c a a ⎛⎫
+⋅-> ⎪⎝⎭
315c a ∴<<令c t a =，则3,15t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
1y t t =+在3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以342,15y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
31212,25a c c a ⎛⎫⎛⎫
∴+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1cos 22,5T B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.
二、填空题
13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c
，已知a =
b =且角3
A π
=
则角B =_______.
【答案】
4
π 【解析】由正弦定理即可解得. 【详解】
解：a =Q
b =3
A π
=
由正弦定理可得
sin sin a b
A B
=
sin sin
3
B =
解得sin B a b >Q
A B ∴>
4
B π
∴=
故答案为：4
π
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题.
14．已知向量a r 、b r 满足：||1a =r ，(3,4)b =r ，2
a b a ⋅=r r r ，则a r 与b r 的夹角的余弦值
为________. 【答案】
15
【解析】首先求出b r ，a b ⋅r r ，再根据夹角公式
cos ,a b a b a b
⋅<>=r r
r r r r 计算可得. 【详解】
解：(3,4)b =r Q
，5b ∴==r
1a =r Q ，2
21a a b a ∴===⋅r r r r
11
cos ,155
a b a b a b ⋅∴<>===⨯r r
r r r r
故答案为：15
【点睛】
本题考查向量的数量积及向量的夹角的计算，属于基础题.
15．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得200CD =米，且在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45︒，30°，又
30CBD ∠=︒，则塔高AB =______.
【答案】200
【解析】由题意可知：45ACB ∠=︒， 30ADB ∠=︒,设AB x =，可以在在ABC ∆中，求出BC x =，在ABD ∆中，可以求出3BD x =
，在BCD ∆中，利用余弦定理可求
出2CD 的表达式，结合已知200CD =，可以求出AB 的长. 【详解】
由题意得：在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在ABD ∆中，30ADB ∠=︒,设AB x =，则
BC x =，3BD x =，在BCD ∆中200CD =，30CBD ∠=︒
由余弦定理得：
2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠2223200323x x x x ⇒=+-⇒200x =
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
16．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-()
2,n n N +≥∈，记2
n
n a b n =
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =______.
【答案】
2021
1011
【解析】根据()1=(2,)n n n a S S n n N *
--≥∈,可以化简等式22
11n n n n n a S n a S ---=-为
n 111n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n
=则11n n n c c n -=⨯+，利用累乘法可求出21n c n =+，最后求出n a ，得21
121n n a b n n n ⎛⎫==⨯- ⎪+⎝⎭
根据裂项相消法可以求出2021T 的值. 【详解】
由(
)2
2
112,n n n n n a S n a S n n N +
---=-≥∈得()2211n
n
n n n a S
S n a ----=，
∴(
)
2
2
11n n n a n a --=，∴
n 111
n a a n
n n n -=⨯-+， 令n n a c n
=则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+由累乘法得121n a c n =+，
∴21n c n =
+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴2
2112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭
， ∴20211111112021
2(1)2(1)2232021202220221011
T =-+-++-=-=
L . 【点睛】
本题考查了公式()1=(2,)n n n a S S n n N *
--≥∈、累乘法、裂项相消法，考查了数学运
算能力.
三、解答题
17．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x <的解集；
（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) {|13}x x << (2) (2,4)
【解析】（1）()2f x <化为2452x x -+<，直接求解不等式的解集；
（2）问题不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，求出函数
2()45()f x x x x R =-+∈的最小值，解不等式即可.
【详解】
（1）由()2f x <得2430x x -+<，即13x <<， 所以()2f x <的解集为{|13}x x <<；
（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<， 由2
2
()45(2)1f x x x x =-+=-+ 得，()f x 的最小值为1，
所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，
所以实数m 的取值范围为(2,4). 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.
18．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，420S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若{}n b 为等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）122n +-
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，根据条件得到方程组解得； （2）首先求出{}n b 的通项公式，再由等比数列前n 项和公式计算可得. 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，
24a =Q ，420S =.
()
1144414202a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+
=⎪⎩
解得 12
2a d =⎧⎨=⎩
()112n a a n d n ∴=+-=
（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b a =，84b a =
131228
b b q =⎧∴⎨=⨯⎩解得122b q =⎧⎨=⎩，2n
n b ∴=
则()2
3
121222222212
n n
n n T +-=++++=
=--L
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项及前n 项和公式的应用，属于基础题. 19．如图：在平面四边形ABCD 中，已知B D π∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，
3BC =.
（1）求D ∠；
（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】(1) 3
D π
=
(2) 163
【解析】（1）分别在
，和ABC ∆中，运用余弦定理，求出2AC 的表达式，利用
B D π+=，这样可以求出D ∠的大小；
（2）由（1）可以求出B ∠的大小，利用面积公式结合ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形，求出四边形ABCD 的面积. 【详解】 （1）在
中，
由余弦定理得：
222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-.
在ABC ∆中，由余弦定理得：
222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -.
∴9898cos 3430cos D B -=-， ∵B D π+=，
∴cos cos()cos B D D π=-=-， ∴9898cos D -=3430cos D +， ∴1cos 2
D =， ∴3
D π
=
.
（2）由（1）得23
3
B π
ππ=-
=
， ∴ABCD ACD ABC S S S =+11sin sin 22AD CD D AB BC B =
⋅+⋅13772=⨯⨯+13
53322
⨯⨯⨯=【点睛】
本题考查了余弦定理、面积公式，重点考查了数学运算能力，方程思想. 20．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232
n
n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=L L ，且14b =，
2124a a =+.
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =+，4n
n b =；（2）()132489
n n
S n ++⨯-=
【解析】（1）首先求出12a =，从而得到{}n a 的通项公式，继而求出{}n b 的通项公式. （2）利用错位相减法求出前n 项和n S . 【详解】
解：（1）{}n a Q 为等差数列，{}n b 为等比数列，
满足1232n
n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=L L ，且14b =，
. 所以111
42a b ⋅==解得12a =，又2124a a =+，
所以23a =，所以1n a n =+
()
11232
n n n b b b b ⋅+∴⋅⋅⋅=L L ①
当2n ≥时，则()
112312
n n n b b b b ⋅--⋅⋅⋅=L L ②
①除以②得()
()
1
12
42n n n n n n b ??=
=
经检验当1n =时，4n n b =也成立， 所以4n n b = （2）由（1）知()14n n
n n c a b n =⋅=+⋅
()12324344414n n n S =⨯+⨯++∴⨯++⨯L ①; ()2341243444441n n n S +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ②;
①减②得()123412414141414314n n n
S n +=⨯+⨯-+⨯+⨯++⨯-+⨯L
(
)()1414414
134
n n n n S +--=+
-+⨯-
()1
144414333n n n S n ++=-+-+⨯-
()1
324
8333n n S n +-+=-
()132489
n n
n S ++⨯-=
∴ 【点睛】
本题考查数列通项公式的计算，以及错位相减法求和，属于中档题.
21．已知向量(sin ,1)m x ω=-u r
，1,2n x ω⎫
=-⎪⎭r （其中0>ω），设函数
()()2f x m m n =⋅+-u r u r r
，且函数()f x 的最小正周期为π.
（1）将函数()f x 的表达式化成()sin()f x k mx n ϕ=++（其中k 、m 、n 为常数）的形式；
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3
2125
B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且32BA B
C ⋅=u u u r u u u r
，又cos A a ，516b ，cos C
c 成等差数列，求ABC ∆的外接圆的面积. 【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
；
（2）625
36
π 【解析】（1）根据平面向量的数量积及三角恒等变换化简可得()sin 26f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，再由函数的最小正周期求出ω. （2）由3
2125B f π⎛⎫+=
⎪⎝
⎭求出sin B ，再由同角三角函数的基本关系求出cos B ，由32BA BC ⋅=u u u r u u u r ，可得40ac =，由
cos A
a
，516b ，cos C
c
成等差数列，利用正弦定理边角互化求出b ，最后由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】
解：（1）(sin ,1)m x ω=-u r Q
，1,2n x ω⎫
=-⎪⎭
r ，()()2f x m m n =⋅+-u r u r r
221
()2sin 1cos 22
f x m m n x x x ωωω∴=+⋅-=++-u r u r r
1cos 21()222x f x x ωω-∴=
+-
1
()2cos 222
f x x x ωω∴=
- ()sin 26f x x πω⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭，因为()f x 的最小正周期为π
22T π
πω
∴=
=，1ω∴= ()sin 26f x x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭
（2）32125B f π⎛⎫+=
⎪⎝⎭Q 3sin 221221265B B f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3sin 5
B ∴=
cos 5
4
B ∴=±
又32BA BC ⋅=u u u r u u u r
即cos 32ac B = 4
cos 5
B ∴=
，40ac = cos A
a Q
，516b ，cos C c 成等差数列 5cos cos 216A C b a c
∴⨯=+即()58cos cos ac b c A a C =+
()5sin sin 8sin sin cos sin cos A C B C A A C ∴=+ ()5sin sin 8sin sin A C B A C ∴=+
25sin sin 8sin A C B ∴=
即258ac b =
5b ∴=
2sin b R B =Q ，525
2335
R ∴==，25
6
R ∴= 2
2
25625636S R πππ
⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查三角函数的性质，正弦定理解三角形，属于中档题.
22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N +∈恒有
233123n n S a a a =+++L L 成立；数列{}n b 满足：11b =，且
()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
（1）求1a 、2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）①记212n n c b -=+，证明数列{}n c 为等比数列； ②若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T 的值.
【答案】（1）11a =，22a =，n a n =；（2）①证明见解析；②1009303592-+⨯ 【解析】（1）代入求出1a 、2a 的值，猜想{}n a 的通项公式为n a n =，再用数学归纳法证明即可；
（2）由11b =，且()2
211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⋅+∈
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭.即可得到一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+，从而可证数列{}n c 为等比数列，
再用分组求和的方法求出2019T . 【详解】 解：（1）232
331n
n S a a a =+++Q L L
当1n =时，2
31
1S a =解得11a =或10a =（舍去） 当2n =时，2
332
12S a a =+解得22a =
猜想数列{}n a 的通项公式为n a n =，则()12
n n n S +=
显然当1n =时成立， 假设当n k =时也成，即32
3312k k S a a a =+++L L ，
则1n k =+时，
()()()()2
2
22
22
1
111
122112
k k k k k k k k k k S
S a S S a a
S k k +++++=+=+⋅+=+⋅⋅+++
()()2
2
211k S k k k =++++ ()3
21k S k =++
231k k S a +=+
233311k a a a +=+++L L 得证
所以n a n =
（2）①11b =Q ，且()2
211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⋅+∈
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. ()211012b b ∴=++= ()321104b b =++= ()431015b b =++=
一般地，21
22n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+
所以()2121222n n b b +-+=+即21212
22
n n b b +-+=+
所以
{}212n b -+是公比为2的等比数列，
212n n c b -=+Q ，所以数列{}n c 为等比数列；
()1211222n n b b --∴+=+⋅
121232n n b --∴=-+⋅
12211
1322
n n n b b -+∴=
=-+⋅ 1
12
12232132n n n
n b n +--⎧-+⋅⎪
∴=⎨⎪-+⋅⎩
，为奇数，为偶数 ②()()()()01210092019
232232232232T =-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅L
()()()()0121008132132132132+-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅L
()()()01210081009210101100923232323232=-⨯+-⨯+⨯⋅+⋅+⋅++⋅+⋅L
()()1009
100912210101100963212-=-⨯+-⨯+⋅+⋅-
1009303592=-+⨯
【点睛】
本题考查利用n S 求n a ，递推公式证明数列是等比数列及分组求和，属于难题.。