安徽省九年级数学上学期第三次联考试题(含解析) 沪科版

安徽省2015-2016学年九年级数学上学期第三次联考试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中
1．抛物线y=2（x﹣1）2的对称轴是（）
A．1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=﹣1
2．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（）
A．对应边都成正比例的多边形相似
B．对应角都相等的多边形相似
C．等边三角形都相似
D．矩形都相似
4．已知二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（3，1）D．（3，﹣1）
5．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．D．
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点上，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则OB′等于（）
A．5 B．C．D．
7．已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）
A．2m•sinα B．2m•cosα C．2m•tanα D．2m•cotα
8．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．B．C．D．
9．如图，已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴正半轴交于B、C两点，BC=2，则b的值为（）
A．4 B．﹣4 C．±4D．﹣5
10．如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于点M，交DC于点N，设AE=x，BM=y，则y与x的大致图象是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．
12．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，则AB：
A′B′=．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CF B的值等于．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①点（﹣ab，c）在第四
象限；②a+b+c＜0；③＞1；④2a+b＞0．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：cos30°•tan60°﹣（sin45°）2．
16．根据下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C对应边的长，∠C=90°，c=8，∠A=60°．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
20．如图，点A、B分别在反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，∠B=30°，求y=的表达式．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
七、（本题满分12分）
22．如图，图甲中△ABC是等边三角形，其边长是3，图乙中△DEF是等腰直角三角形，∠F=90°，DF=EF=3．
（1）记S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，S1=•BC•sin∠B，S2=•sin∠D，请通过
计算说明S1与S3•S2与S4之间有着怎样的关系．
（2）在图丙中，∠P=α（α为锐角），OP=m，PQ=n，△O PQ的面积为S，请你根据第（1）小题的解答，直接写出S与m、n以及α之间的关系式，并给出证明．
八、（本题满分14分）
23．为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升．某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇．已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润 y1（百元）与销售数量x（箱）
的关系为y1=和，在乡镇销售平均每箱的利润y2（百元）与销售数量t
（箱）的关系为y2=：
（1）t与x的关系是；将y2转换为以x为自变量的函数，则y2= ；
（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元），当在城市销售量x（箱）的范围是0＜x≤20时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）
（3）经测算，在20＜x≤30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x的值．
2015-2016学年安徽省九年级（上）第三次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中
1．抛物线y=2（x﹣1）2的对称轴是（）
A．1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得函数的对称轴．
【解答】解：由y=2（x﹣1）2得对称轴是x=1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
2．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【解答】解：A、在△BCD中，sinα=，故A正确；
B、在Rt△ABC中sinα=，故B正确；
C、在Rt△ACD中，sinα=，故C正确；
D、在Rt△ACD中，cosα=，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．下列说法正确的是（）
A．对应边都成正比例的多边形相似
B．对应角都相等的多边形相似
C．等边三角形都相似
D．矩形都相似
【考点】相似图形．
【分析】分别利用相似多边形的对应边成比例，对应角相等，进而判断得出即可．
【解答】解：A．对应边都成正比例的多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
B．对应角都相等的多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
C．等边三角形都相似，正确；
D．矩形都相似，其对应边的比值不一定相等，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似图形，正确把握相似多边形的定义是解题关键．
4．已知二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（3，1）D．（3，﹣1）
【考点】二次函数的最值．
【分析】二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，
∴﹣h=1，
根据二次函数的顶点式方程y=a（x+3）2﹣h（a≠0）知，该函数的顶点坐标是：（﹣3，﹣h），
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
5．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由图可得∠A=∠A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．
【解答】解：∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，故A选项正确；
∴当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△ABC，故B选项正确；
∴当时，△ACP∽△ABC，故C选项正确；
∵若，还需知道∠ACP=∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D选项错误．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点上，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则OB′等于（）
A．5 B．C．D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似
比，进而得出OB′的长．
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为：1：3，
∵OC=3，OA=4，
∴OB=5，
∴OB′=×5=．
故选：B．
【点评】此题考查了位似变换与坐标与图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握数形结合思想的应用．
7．已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（）
A．2m•sinα B．2m•cosα C．2m•tanα D．2m•cotα
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，构建直角△ABD，通过解该直角三角形得到BD的长度，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求BC的长度．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=m，∠B=α，
∴cosα==，
则BD=m•cosα．
又∵AB=AC，
∴BC=2BD=2m•cosα．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确区分正弦余弦三角函数是解决问题的关键．
8．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．B．C．D．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出
∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE•sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
9．如图，已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴正半轴交于B、C两点，BC=2，则b的值为（）
A．4 B．﹣4 C．±4D．﹣5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】设C（m，0），B（n，0），则n﹣m=2，根据抛物线与x轴的交点问题得到m、n为方程x2+bx+3=0的两根，则利用根与系数的关系得到m+n=﹣b，mn=3，由于（n﹣m）2=4，则（m+n）2﹣4mn=4，即b2﹣4×3=4，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：设C（m，0），B（n，0），则m﹣n=2，
∵m、n为方程x2+bx+3=0的两根，
∴m+n=﹣b＞0，mn=3，
∵（n﹣m）2=4，
∴（m+n）2﹣4mn=4，
∴b2﹣4×3=4，解得b=4（舍去）或b=﹣4，
即b的值为﹣4．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
10．如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于点M，交DC于点N，设AE=x，BM=y，则y与x的大致图象是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据垂直平分线的性质得到BM=EM=y，求得AM=4﹣y，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵BE的中垂线交AB于点M，交DC于点N，
∴BM=EM=y，
∵AB=4，
∴AM=4﹣y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=90°，
∴AM2+AE2=EM2，
即（4﹣y）2+x2=y2，
∴y=x2+2，
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，2），自变量的取值范围是0＜x＜4．
故选C．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，先根据正方形的性质得到BE=MN，然后表示出y关于x 的二次函数，确定二次函数的大致图象．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，
∴∠A=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，则AB：A′B′= 2：3 ．
【考点】位似变换．
【分析】直接利用位似图形的对应边的比值相等，进而得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，
∴AB：A′B′=2：3．
故答案为：2：3．
【点评】本题主要考查了位似变换，利用位似图形的对应边的比相等，进而得出是解题关键．
13．如图，在R t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于．
【考点】解直角三角形．
【分析】设BC=x，易得AC=x，进而根据平行线的性质，可得FC=AC=．
在Rt△BFC中，根据三角函数的定义计算．
【解答】解：设BC=x，∵∠A=30°，∴AC=x．
又∵AE：EB=4：1，EF∥BC，
∴FC=AC=．
在Rt△BFC中，
tan∠CFB===．
【点评】本题考查平行线的性质的运用，注意结合三角函数的定义解题．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①点（﹣ab，c）在第四象限；②a+b+c＜0；③＞1；④2a+b＞0．其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【分析】①根据抛物线的开口可确定a的符号，根据抛物线的对称轴的位置可确定b的符号，根据抛物线与y的交点的位置可确定c的符号，从而得到﹣ab的符号，即可确定点（﹣ab，c）所在的象限；
②结合图象即可得到x=1时y=a+b+c的符号；
③结合图象可得x=﹣1时y=a﹣b+c的符号，再结合b＜0就可解决问题；
④结合图象可得x=﹣＜1，再结合a＞0就可解决问题．
【解答】解：①由抛物线的开口向上可得a＞0，
由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得x=﹣＞0，则b＜0，
由抛物线与y的交点在y轴的负半轴可得c＜0，
则有﹣ab＞0，
因而点（﹣ab，c）在第四象限；
②结合图象可得，当x=1时y=a+b+c＜0；
③结合图象可得，当x=﹣1时y=a﹣b+c＞0，即a+c＞b，
∵b＜0，∴＜1；
④结合图象可得，x=﹣＜1，
∵a＞0，∴﹣b＜2a，即2a+b＞0．
故答案为①②④．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：cos30°•tan60°﹣（sin45°）2．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式=×﹣
=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．根据下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C对应边的长，∠C=90°，c=8，∠A=60°．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据直角三角形的性质，得出∠B，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求出b，最后根据勾股定理求出a．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴b=c=×8=4，
∴a===12．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形的性质和勾股定理．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
【考点】位似变换．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF=HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH 是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．
【解答】解：是，
理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FE=AB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HG=CD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴EF=HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF=∠OAB，
同理∠OEH=∠OAD，
∴∠HEF=∠DAB，
同理，∠EFG=∠ABC，∠FGH=∠BCD，∠GHE=∠CDA， ====，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，
∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．
【点评】本题考查的是相似多边形的判定、三角形中位线定理，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴=，即=，
∴BC2﹣BC•AB﹣CD2=0，
解得，BC=CD，
∵BC、CD是正数，
∴=．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
【考点】作图-位似变换．
【专题】压轴题．
【分析】（1）沿l所在的直线翻折△ABC，再将对应三点向上平移1个单位，顺次连接各对应点即可；（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示．
【点评】此题考查了图形的平移变换及轴对称变换和位似变换；掌握画图的方法和图形的特点是关键；注意图形的变化应找到对应点或对应线段是怎么变化的．
20．如图，点A、B分别在反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，∠B=30°，求y=的表达式．
【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值，即OA与OB的比值，利用面积比等于相似比的平方，即可求出k值．
【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，
∴S△AOC=，S△OBD=||，
∴S△AOC：S△OBD=1：|k|，
∴（）2=1：|k|，
则在Rt△AOB中，tanB==，
∴1：|k|=1：3，
∴|k|=3
∵y=（x＞0）的图象在第四象限，
∴k=﹣3，
∴y=的表达式为：y=﹣．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，
设AH=5km，则PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km．
∴13k=26m．解得k=2．
∴AH=10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x，则x+10=24+DH．∴A C=DH=x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.0，
解得x=，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．
七、（本题满分12分）
22．如图，图甲中△ABC是等边三角形，其边长是3，图乙中△DEF是等腰直角三角形，∠F=90°，DF=EF=3．
（1）记S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，S1=•BC•sin∠B，S2=•sin∠D，请通过
计算说明S1与S3•S2与S4之间有着怎样的关系．
（2）在图丙中，∠P=α（α为锐角），OP=m，PQ=n，△OPQ的面积为S，请你根据第（1）小题的解答，直接写出S与m、n以及α之间的关系式，并给出证明．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，如图甲，在Rt△ABD中，利用正弦定义得到AD=AB•sinB，则根据三角形面积公式得到△ABC的面积=•AD•BC=•AB•BC•sinB，于是得到S1=S3；
如图乙，同样方法可得S2=S4；
（2）作OH⊥PQ于H，如图丙，在Rt△OPH中利用正弦定义得到OH=OP•sinP=m•sinα，然后根据三角形面积公式可得△OPQ的面积S=•OH•PQ=•m•n•sinα．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，如图甲，
在Rt△ABD中，∵sinB=，
∴AD=AB•sinB，
∴△ABC的面积=•AD•BC=•AB•BC•sinB，
∴S1=S3；
如图乙，在Rt△DEF中，
∵sinD=，
∴EF=DE•sinD，
∴△DEF的面积=•EF•DF=•DE•DF•sinD，
∴S2=S4；
（2）作OH⊥PQ于H，如图丙，
在Rt△OPH中，∵sinP=，
∴OH=OP•sinP=m•sinα，
∴△OPQ的面积=•OH•PQ=•m•n•sinα，
即S=mn•sinα．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．
八、（本题满分14分）
23．为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升．某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇．已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润 y1（百元）与销售数量x（箱）
的关系为y1=和，在乡镇销售平均每箱的利润y2（百元）与销售数量t
（箱）的关系为y2=：
（1）t与x的关系是t=60﹣x ；将y2转换为以x为自变量的函数，则y2=
；
（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元），当在城市销售量x（箱）的范围是0＜x≤20时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）
（3）经测算，在20＜x≤30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x的值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇，表示出t与x的关系即可，进而代入
y2求出即可；
（2）利用（1）中所求结合自变量取值范围得出W与x的函数关系式即可；
（3）利用（1）中所求结合自变量取值范围得出W与x的函数关系式，进而利用函数增减性求出函数最值即可．
【解答】解：（1）∵某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇，在城市销售数量x（箱），∴在乡镇销售数量t（箱）的关系为：t=60﹣x，
∴y2=．
故答案为：t=60﹣x，；
（2）综合y1=和（1）中 y2，当对应的x范围是0＜x≤20 时，
W1=（x+5）x+（x+4）（60﹣x）
=x2+5x+240；
（3）当20＜x≤30 时，
W2=（﹣x+75）x+（x+4）（60﹣x）
=﹣x2+75x+240，
∵x=﹣=＞30，
∴W在20＜x≤30随x增大而增大，
∴最大值x=30时取得，
∴W最大=832.5（百元）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法等知识，得出W与x的函数解析式是解题关键．。