高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修13

1．n 次方根
定 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的__n_次__方___根____，其中
义 n＞1，且 n∈N*
n是 性 奇数 质 n是
偶数
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
x＞0 x＜0
x 仅有一个值，记为 __n_a___
n x 有两个值，且互为相反数，记为_±___a__
x 在实数范围内不存在
已知 a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 a2
B.3 a
C．( a)4 答案：C
5 D.
－a
81 的 4 次方根是( A．2 C．3 答案：D
) B．±2 D．±3
根式3 m－5化为分数指数幂为( )
A．m35
B．m－53
C．m－53
D．m53
答案：B 计算(π－3)0＋3－1×21412的结果为________．
根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形 式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写 出．
把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数 指数幂表示为根式的形式： (1)(a－b) －34 (a＞b)；(2) 5 （ab）2； (3) 3 （x－1）5；(4) 1 ；(5)(a－b)37.
3 （1－2a）3＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a， 故 2a－1≤0， 所以 a≤12. 答案：－∞，12
3．求下列各式的值．
8 (1)
（x－2）8；
(2) 3－2 2＋(3 1－ 2)3.
解：(1)8 （x－2）8＝|x－2|＝x2－－2x，，xx≥<22. ， (2)因为 3－2 2＝12－2 2＋( 2)2＝( 2－1)2，
3 a2
解：(1)(a－b) －34＝
1
；
4 （a－b）3
(2) 5 （ab）2＝(ab)25；
(3) 3 （x－1）5＝(x－1)53； (4) 1 ＝a－23；
3 a2
(5)(a－bBiblioteka 37＝7 （a－b）3.利用指数幂的性质化简求值
计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)2350＋2－2×214－12－(0.01)0.5； (2)2790.5＋0.1－2＋21207－23－3π0＋3478； (3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (4)23 a2÷46 a·b·3 b3.
【解】 (1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝29512＋110－2＋6247－23－3＋3478＝53＋100＋196－3＋3478＝ 100. (3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－13ac－1 ＝－3ac.
【解】 (1)对于①，－ x＝－x12，故①错误；对于②，当 y＜0
时，6 y2＞0，y13＜0，故②错误；对于③，x－43＝ 1 ＝ 4 x3
4
1x3(x
＞0)，故③正确；对于④，x－13＝ 1 ，故④错误．综上，故填 3 x
③.
(2)①3 a·4 a＝a13·a14＝a172； ②原式＝a12·a14·a18＝a78； ③原式＝a312·a12·b32＝a76b32.
6 A.
（－3）2＝3
（－3）
B.4 a4＝a
C.6 22＝3 2
D．a0＝1
解析：选
6 C.
（－3）2＝6 32＝3 3，4 a4＝|a|，a0＝1
的条件为
a≠0，故 A、B、D 错．
2．若 （2a－1）2＝ 3 （1－2a）3，则实数 a 的取值范围为 ________． 解析： （2a－1）2＝|2a－1|，
根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用 根式的性质进行化简． (2)注意点：
①正确区分(n a)n 与n an两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平 方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．
1．下列式子中正确的是( )
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当 n∈N*时，(n －3)n 都有意义．( )
(2) （π－4）2＝4－π.( )
(3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(4)分数指数幂 amn可以理解为mn 个 a 相乘．(
)
(5)0 的任何指数幂都等于 0.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
核心素养 数学抽象
数学运算
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
考点
学习目标
利用指数幂的 理解有理指数幂的含义及
性质化简求值 其运算性质
会根据已知条件，利用指数
条件求值问题 幂的运算性质、根式的性质
进行相关求值运算
核心素养 数学运算
数学运算
问题导学 预习课本 P48－53，思考以下问题： (1)n 次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)有理指数幂有哪些运算性质？
规定：amn＝__n_a_m__ (a＞0，m，n∈ N*，且 n＞1)
分数指 负分数指数幂
数幂
1
规定：a－mn ＝__a_mn___＝
n
1 am
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的正分数指数幂等于__0__，0 的负 0 的分数指数幂 分数指数幂__没__有__意__义____
4. 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋_s__ (a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝__a_r_s __ (a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝__a_rb_r__ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个确定的 _实__数___．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
计算：
(1)(－1.8)0＋32－2· 3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
解：(1)原式＝1＋232·28723－10＋932＝1＋232·322－10＋27＝
29－10＝19.
(2)原式＝412·0.12·23·a32·a32·b－b32 －32
解：xx2112＋－yy1212＝（x12＋yx12）21－（y12x221－y12） ＝（x＋y）x－－y2（xy）12.① 因为 x＋y＝12，xy＝9，②
所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
因为 x＜y，
所以 x－y＝－6 3.③
将②③式代入①式，
得xx1212－＋yy1212
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
考点
学习目标
理解方根和根式的概念，
根式的化简与求值 掌握根式的性质，会进行
简单的求 n 次方根的运算
理解整数指数幂和分数指
根式与分数指数幂的 数幂的意义，并能熟练掌
互化
握根式与分数指数幂之间
的相互转化
解析：原式＝1＋13×32＝1＋12＝32. 答案：32
根式的化简与求值
求下列各式的值． (1) 3 （－2）3； (2) 4 （－3）2； (3) 8 （3－π）8； (4) x2－2xy＋y2＋7 （y－x）7.
【解】 (1) 3 （－2）3＝－2；
(2) 4 （－3）2＝4 32＝ 3；
(3) 8 （3－π）8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ （x－y）2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x＜y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 所以原式＝02，（xy－≥xy， ），x＜y.
所以 3－2 2＋(3 1－ 2)3 ＝ （ 2－1）2＋1－ 2 ＝ 2－1＋1－ 2＝0.
根式与分数指数幂的互化
(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是 ________(只填序号)． ①－ x＝(－x)12(x＞0)； ②6 y2＝y13(y＜0)； ③x－43＝ 4 1x3(x＞0)； ④x－31＝－3 x(x≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中 a＞0，b＞0)． ① 3 a·4 a； ② a a a； ③(3 a)2· ab3.
＝2×1100×8＝245.
条件求值问题
已知 x12＋x－12＝3，求x－1＋2x＋3的值． 【解】 因为 x12＋x－12＝3， 所以(x12＋x－12)2＝9， 所以(x12)2＋2x12·x－12＋(x－12)2＝9， 所以 x＋2＋x－1＝9， 所以 x＋x－1＝7， 所以原式＝7＋2 3＝15.
9
2 .
答案：2 9 2
5．计算下列各式的值：
(1)
295＋2674－13－π0；
2
a3 b (2)
a－12·3
÷a－b1 b
ab－1－23.
解：(1)原式＝53＋624713－1 ＝53＋43313－1 ＝53＋43－1＝2.
(2)原式＝aa－23·12·bb1213÷ab－·1ba－2121－23 ＝aa－23·12·bb1213÷(a－1－12b－12－1) －23 ＝a 23＋12 b 12－13 ÷(a－32b－32)－23 ＝a76b16÷(ab)＝a b 76－1 16－1 ＝a16b.－56
)
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D．－ 1－4a
解析：选 B.因为 a<14，所以 4a－1<0，
所以 （4a－1）2＝|4a－1|＝1－4a.
4．已知
10x＝2，10y＝3，则
3x－4y
10 2 ＝________．
解析：103x－2 4y＝103x－4y12＝110034xy12＝233412＝32232＝2
■名师点拨
2．根式
n (1)定义：式子___a___叫做根式，这里
n
叫做__根__指__数__，a
叫做
__被__开__方__数__．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
①(n a)n＝__a__． ②n an＝__|__aa__| __， ，nn为 为奇 偶数 数， .
3．分数指数幂的意义
正分数指数幂
＝12－－62×3912＝－
3 3.
1．已知 x3＝9，则 x＝( A．3
C．±3
) B．－3 D.3 9
解析：选 D.由根式的定义知 x＝3 9.
4 2.
（－5）4运算的结果是(
)
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
解析：选
4 A.
（－5）4＝|－5|＝5.
3．若 a<14，则化简 （4a－1）2的结果是(
1．(变条件)若将条件“x12＋x－12＝3”改为“x12－x－12＝1”，如何 求值？
解：将 x12－x－12＝1 两边平方，得 x＋x－1－2＝1， 所以 x＋x－1＝3，则x＋x2－1＋3＝3＋2 3＝13.
2．(变问法)在本例条件下，如何求 x2＋x－2 的值？
解：将 x12＋x－12＝3 两边平方可得 x＋x－1＋2＝9，则 x＋x－1＝7， 两边再平方，得 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2＝47.
条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式 子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全 平方公式及其变形公式．
值．
已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x＜y，求xx1212－ ＋yy1212的
(4)原式＝2a23÷4a61b16·3b23
＝12a
21
－
36
·b－16·3b23＝32a12b43.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分 数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的 符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式 表示．