2017年安徽数学竞赛初赛答案

当 x y 时，显然有 f (x ,y )
1 f ( x, y ) 1
yx x y yx yx 1 1 1 2 ．---（20 分） 1 1 1 xx y y y y y y 1
上述最后一个不等式利用了结论：当 0 t 1 时， 1+t 1 t 2 . 最后由 f (1,1) 1, f (0,0) 2 可知 f ( x, y ) 的取值范围是 [1,2] ．------------------（23 分） 12．设递推数列 a n , bn , c n 满足 a n1 bn cn , bn1 cn a n , cn 1 a n bn , n N ． 证明：对于任意正整数 a1 , b1 , c1 ，存在正整数 k ，使得 ak 1 ak , bk 1 bk , ck 1 ck ． 证明： 对任意正整数 n, 用 An , Bn , C n 表示 an , bn , cn 的升序排列， 即 An , Bn , C n 是 an , bn , cn 的 重排列，且 An B n C n ． 下面证明：存在正整数 n, 使得 An , Bn , C n 至少有两个 相等，即 An B n C n 或者 An B n C n --------------------------------------（5 分） 若不然, 则对任意正整数 n 都有 An Bn Cn ，于是

2
BAC HCA ．故 B, C , D, H 共圆。
从而 B, C, D, E, H 五点共圆。---------------------------------------------------（20 分） 10．设 0 x

2
．证明： 0
x sin x 1 ． tan x sin x 3
2
上述无论哪一种情况，都验证了存在某个正整数 k=n+1,使得 ak 1 ak , bk 1 bk , ck 1 ck ----------------------------------------------------（23 分）
证明：首先证明: 当 0 x

2
时， tan x x sin x .
实际上，令 f (x ) x sin x ，则 f (0) 0, f (x ) 1 cos x 0 . 因此，f(x)在 0， 内单调增，故 f(x)>0，即 x sin x . 2 同理可证，tan x x . -----------------------------------------------------------（6 分）
2017 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 参考答案
一、填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简） 1． 135 5． 170 2． 5 6． 1 3 3． 6 10 7． ， 6 4．
6 3
4 n 3n 8． n (2 1) 2
二、解答题（第 9—10 题，每题 20 分，第 11—12 题，每题 23 分，共 86 分） 9．如图，设 H 是三角形 ABC 的垂心， D 在直线 AC 上， HA HD ，且四边形 ABEH 是 平行四边形．证明： B, C , D, E , H 五点共圆．
证明：由 AH BC 以及 AH / /BE 有 BE BC . -----------------------------------（5 分） 同理，由 HC AB 以及 HE / /AB 有 HE HC . 因此， B, C , E , H 都在以 EC 为直径的圆上．-------------------------------（10 分） 再由 BH AD 以及 HA HD 知， BH 垂直平分 AD 。-------------------（15 分） 因此， HBD HBA
1
g (x )
根据均值不等式，
1 1 3 g (x ) 2 cos x 3 3 cos x cos x cos2 x 3 0， cos2 x
g (x ) 0 当 且 仅 当 x g(x ) g(0) 0 ．

． 因 此 ， g(x ) 在 区 间 0, 上 单 调 增 ， 进 而 2 2
故要证原命题，只需证明
g(x ) tan x sin x 3(x sin x ) 0 ．-------------------------------（8 分）
易计算得
1 2 cos x 3 -----------（12 分） cos2 x
An An
2
,B n 2 ,C n 2 (0,C n An ,C n An ). ,B n 2 ,C n 2 (0,C n An ,C n An ).
（2） 如果 An B n C n ，则 An 1 ,B n 1,C n 1 (0,C n An ,C n An )，
An 1 min(B n An , C n B n ) 0 且 C n 1 C n An C n .
进而 C n 2 C n 1 An 1 C n 1 . 这样对任意正整数 k,
C 2k 1 C 1 k .
当 k C 1 时， C 2k 1 0 ，矛盾！因此，存在正整数 n 使得 An , Bn , C n 中至少有两个 相等。--------------------------------------------------------------------------------------（15 分） （1） 如果 An B n C n ，则 An 1 ,B n 1,C n 1 (0,C n An ,C n An ),
证毕. --------------------------------------------------------------------------------（20 分）
1 xy 1 xy 的取值范围． 2 1 x 1 y2
11．设 x, y [0,1] ，求 f ( x, y ) 解：当 x y 时，由于 2 f ( x, y )
1 xy 1 xy , [0,1] ，因此 1 x2 1 y2
1 xy 1 xy 1 xy 1 xy 2 1 ．------ -------------（10 分） 2 2 2 2 1 x 1 y 1 x 1 x 1 x2 1 xy 1 , 且有 x x 1 y y 1 ，由此 2 1x