【水印已去除】2019年山东省潍坊市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2019年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知R是实数集，，则N∩∁R M＝（）A．（1，2）B．[0，2]C．∅D．[1，2]
2．（5分）i为虚数单位，＝（）
A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i 3．（5分）点A（1，0），B（0，1），点C在第二象限内，已知∠AOC＝，||＝2，且
＝λ+μ，则λ，μ的值分别是（）
A．﹣1，B．﹣，1C．1，﹣D．，﹣1 4．（5分）双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+1＝0平行，则它的离心率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）等差数列{a n}前17项和S17＝51，则a5﹣a7+a9﹣a11+a13＝（）A．3B．6C．17D．51
6．（5分）如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）
A．B．C．S＝S+n D．S＝S+x n
7．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）
A．10000立方尺B．11000立方尺
C．12000立方尺D．13000立方尺
8．（5分）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（）A．﹣110B．﹣220C．220D．110
9．（5分）已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（）
A．∅B．（﹣3，）C．（﹣2，）D．（，3）10．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且
满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）
A．B．1C．D．2
11．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+ω）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后得函数g（x）＝cos2x的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称
C．关于点（）对称D．关于点（，0）对称
12．（5分）已知对任意x∈[]不等式＞x2恒成立（其中e＝2.71828…，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，e）C．（﹣∞，﹣2e）D．（）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．
13．（5分）艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A，B，C三个不同的演出场馆工作，每个演出场至少派一人．若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有种．
14．（5分）已知实数x，y满足条件，若z＝ax+y的最小值为﹣8，则实数a
＝．
15．（5分）设x＝1是函数的极值点，数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，b n＝log2a n+1，若[x]表示不超过x的最大整数，则
]＝．
16．（5分）定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）＝kx+b（k，b为常数），使得f （x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
现有如下函数：
①f（x）＝x3；
②f（x）＝2﹣x；
③；
④f（x）＝x+sin x．
则存在承托函数的f（x）的序号为．（填入满足题意的所有序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）若b＝，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；
（Ⅱ）设的取值范围．
18．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA ＝DC＝AC＝2，AA1＝3，E为棱A1C1的中点．
（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣C1的余弦值．
19．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表格中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算
y 关于x 的回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝﹣．
21．（12分）已知函数．
（I ）求f （x ）的极值；
（II ）若∃x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[1，2]使成立，求a 的取值范围； （
III
）
已
知
．
选考题：共10分．请考生在22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程是
，曲线C 的参数方程为
（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线OM ：θ＝β（其中）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于
点M ，求
的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．
（Ⅰ）若m＝1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）＝x有三个实根，求实数m的取值范围．
2019年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵M＝{x|＜1}＝{x|x＜0，或x＞2}，N＝{y|y＝}＝{y|y≥0 }，故有N∩∁R M＝{y|y≥0 }∩{x|x＜0，或x＞2}＝[0，+∞）∩（（﹣∞，0）∪（2，+∞））＝[0，2]，
故选：B．
2．【解答】解：＝＝＝＝﹣﹣i，
故选：D．
3．【解答】解：∵点A（1，0），B（0，1），
∴＝（1，0），＝（0，1），
∵∠AOC＝，||＝2，
∴＝（2cos，2sin）＝（﹣，1），
∵＝λ+μ，
∴（﹣，1）＝（λ，μ）
即λ＝﹣，μ＝1，
故选：B．
4．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为y＝±x，又由双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+1＝0平行，
则有＝2，即b＝2a，
则c＝＝a，
则双曲线的离心率e＝＝；
故选：A．
5．【解答】解：∵S17＝＝＝51
∴a1+8d＝3
∴a5﹣a7+a9﹣a11+a13＝a1+4d﹣a1﹣6d+a1+8d﹣a1﹣10d+a1+12d＝a1+8d＝
故选：A．
6．【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，
故应为：S＝S+x n
故选：D．
7．【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积V1＝3×2×2＝6，四棱锥的体积V2＝×1×3×2＝2，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
∴V＝V1+2V2＝10立方丈＝10000立方尺．
故选：A．
8．【解答】解：在的展开式中，所有项的二项式系数之和为2n＝4096，
则n＝12；
所以的展开式中，
通项公式为T r+1＝••＝（﹣1）r••，
令4﹣r＝0，
解得r＝3，
所以其常数项为（﹣1）3•＝﹣220．
故选：B．
9．【解答】解：∵f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），
令x＝x+1，
∴f（x）＝﹣f（﹣x），
∴函数f（x）为奇函数，
∵x≥0时，f（x）＝x3，
∴f（x）＝x3，x∈（﹣3，3），
∴f（x）+27f（1﹣x）＝x3+27（1﹣x）3＞0，
∴x3＞[3（x﹣1）]3，
∵f（x）＝x3为增函数，
∴x＞3（x﹣1），
∴﹣3＜x＜，
故选：C．
10．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF 由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos120°＝a2+b2+ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤＝，即的最大值为．故选：A．
11．【解答】解：由题意得将g（x）＝cos2x的图象向左平移个单位后得到f（x），即f（x）＝cos2（x+）＝cos（2x+），
∵f（）＝cos（2×+）＝cos≠±1，f（）＝cos（2×+）＝cos ≠±1，
f（﹣）＝cos（﹣2×+）＝cos（﹣π）＝﹣1≠0，
∴A，B，C都不正确，
f（）＝cos[2×（）+]＝cos（﹣）＝0，
则函数关于点（，0）对称，
故选：D．
12．【解答】解：由＞x2可得：，即
令f（x）＝，则f′（x）＝．
显然：0＜x＜e．
∴f（x）在x∈[，e]是递增函数，在[e，e2]是递减函数．
∴＝．
∴
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．
13．【解答】解：根据题意，将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有＝6种分组方法，
再将分好的3组对应3个场馆，有A33＝6种方法，
则共有6×6＝36种分配方案，其中甲乙在同一个馆的情况有A33＝6种，故满足条件的方法有36﹣6＝30种，
故答案为：30．
14．【解答】解：由约束条件作出可行域，
化目标函数z＝ax+y为y＝﹣ax+z，
若a＞0，可得当直线y＝﹣ax+z过O（0，0）时，z有最小值为0，不合题意；
若a＜0，可得当直线y＝﹣ax+z过C（4，0）时，z有最小值为4a，由4a＝﹣8，得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．【解答】解：f′（x）＝3a n+1x2﹣2a n x﹣a n+2．
∵x＝1是函数的极值点，
∴f′（1）＝3a n+1﹣2a n﹣a n+2＝0⇒a n+2﹣a n+1＝2（a n+1﹣a n）
⇒数列{a n+1﹣a n}时首项为1，公比为2的等比数列，
∴a n+1﹣a n＝2n﹣1
∴，…a，
＝2n．
∴b n＝log2a n+1＝n，
＝＝﹣．
∴]＝[2018（1﹣++……+﹣）]＝
＝2017．
故答案为：2017．
16．【解答】解：函数g（x）＝kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）
①f（x）＝x3的值域为R，所以不存在函数g（x）＝kx+b，使得函数f（x）的图象恒在
函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
②f（x）＝2﹣x＞0，所以y＝A（A≤0）都是函数f（x）的承托函数，故②存在承托函数；
③∵的值域为R，所以不存在函数g（x）＝kx+b，使得函数f（x）
的图象恒在函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
④f（x）＝x+sin x≥x﹣1，所以存在函数g（x）＝x﹣1，使得函数f（x）的图象恒在函数
g（x）的上方，故存在承托函数；
故答案为：②④
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵1﹣＝＝＝，化简可得：a2+c2﹣b2＝ac，则
＝1，
∴cos B＝＝，
又∵B∈（0，π），
∴B＝…3分
∵由正弦定理可得：，
∴△ABC的周长l＝a+b+c＝2（sin A+sin B+sin C）＝2sin A++2sin（﹣A）
＝3sin A+cos A+＝2sin（A+），…5分
∵0，
∴＜A+＜，当A+＝时，即A＝时，△ABC周长l取最大值3，由此可以得到△ABC为等边三角形，
∴S△ABC＝…7分
（Ⅱ）∵＝6sin A cos B+cos2A＝3sin A+1﹣2sin2A＝﹣2（sin A﹣）2+，…9分∵0，
∴0＜sin A≤1，
当sin A＝时，取得最大值，…11分
∴的取值范围为（1，]…12分
18．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，
AD，AA1所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A1（0，0，3），C1（1，，1），C（1，，0），B（﹣1，，0），E （，，0）
＝（﹣3，，0），＝（1，，0），＝（﹣，，3），
∵•＝﹣3+3＝0，＝﹣＝0，
∴A1C1⊥DB，A1C1⊥DE，又DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BDE l，
∴A1C1⊥平面BDE，又A1C1⊂平面AC1D，∴平面A1C1D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：＝（，0），＝（﹣1，，0）
设平面C1DE的一个法向量为＝（x，y，z），则
，令x＝，，
同理可得平面CDE的法向量＝（，1，），
∴cos＜＞＝＝＝
∵二面角为锐角二面角，∴二面角C﹣DE﹣C1的余弦值为．
19．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则有＝（x+c，y），＝（x﹣c，y），
＝x2+y2﹣c2＝，x∈[﹣a，a]，
由最小值为0，得1﹣c2＝0，
∴c＝1，a2＝2，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，y＝kx+n，
把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2＝0，
∵直线l1与椭圆C相切，∴△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝0，
化简，得m2＝1+2k2，
同理，n2＝1+2k2，
∴m2＝n2，若m＝n，则重合，不合题意，∴m＝﹣n，
设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，
则＝1，即|k2t2﹣m2|＝k2+1，
把1+2k2＝m2代入并去绝对值整理，得：
k2（t2﹣3）＝2或k2（t2﹣1）＝0，
前式不恒成立，而要使得后对任意的k∈R恒立，
则t2﹣1＝0，解得t＝±1．
当直线l1，l2的距离之积为（）（）＝1，
定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为（）（）＝1，
综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）．
20．【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，∴m＝2；
（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5；
（3）空白处填5．
由题意，＝3，＝3.8，x i y i＝69，＝55，∴b＝＝1.2，a＝
3.8﹣1.2×3＝0.2，
∴y关于x的回归方程为y＝1.2x+0.2．
21．【解答】（Ⅰ）解：∵，
∴f′（x）＝，
令f′（x）＝0，即k﹣lnx＝0，∴x＝e k，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜e k；令f′（x）＜0，可得x＞e k；
∴函数在（0，e k）上单调增，在（e k，+∞）上单调减
∴函数f（x）在x＝e k处取得极大值为f（e k）＝e﹣k．
（II）解：∵
∴
若，即x1∈（1，+∞）时，在[1，2]上为单调增函数，
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（1，+∞），使得，∴a＞1；
若，即x1∈（0，1]时，，在时，取得最小值为
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（0，1]，使得，∴a＞0；
综上知，a＞0
（III）证明：∵x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，
∴（x1+x2）（）＝2+≥2+2＝4＞0，
两式相乘，化简得x1+x2＞x1x2，
∴
选考题：共10分．请考生在22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是，∴，
∴直线l的极坐标方程是，
由，消参数得x2+（y﹣2）2＝4，
∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．…5分
（Ⅱ）将θ＝β分别带入ρ＝4sinθ，，得|OP|＝4sinβ，，∴，∵，
∴，∴，
∴的取值范围是．…10分
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（Ⅰ）∵m＝1时，f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|+1．
∴当x≤﹣2时，f（x）＝﹣3，不可能非负；
当﹣2＜x＜2时，f（x）＝2x+1，由f（x）≥0可解得，于是；
当x≥2时，f（x）＝5＞0恒成立．
所以不等式f（x）≥0的解集为．
（Ⅱ）由方程f（x）＝x可变形为m＝x+|x﹣2|﹣|x+2|．
令
作出图象如图所示．
于是由题意可得﹣2＜m＜2．。