新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
角
π 2
±
������的正弦(余弦) 函数值,分别等于角α的余弦(正弦)函数值,
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名改变,符号看象限.
目标导航
知识梳理
12
【做一做 2-1】 sin
-
19π 3
的值等于(
)
A.−
1 2
B.
−
3 2
C.
1 2
D.
3 2
答案:B
【做一做 2-2】 cos 300°的值是( )
sin (2������π-������)cos [(2������-1)π-������] sin [(2������ +1)π+������]cos (2������π+������)
=
sin (-������)cos (π+������) sin (π+������)cos ������
=
(-s-isnin���������)���(c-ocos s������������ )=-1.
= sisnin���������(���-ccooss������������)=-1.
综上可得,原式=-1.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
(方法二)由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得
sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α). 又sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
-1-
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解单位圆的对称性及特殊角的终边的对称关系. 2.能借助单位圆得出诱导公式. 3.会应用诱导公式对三角函数式进行化简、求值或证明. 4.能够解决简单的三角函数性质问题.
12
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.特殊角的终边的对称关系 (1)π+α的终边与角α的终边关于原点对称; (2)-α的终边与角α的终边关于x轴对称; (3)π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
°+330°)=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=
sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=
3 2
×
3 2
+
1 2
×
1 2
=
1.
(2)原式 =
cos
π 7
+
cos
6π 7
+
cos
2π 7
+
cos
5π 7
目标导航题型一题型二题三知识梳理典例透析
随堂演练
【变式训练4】 已知A,B,C为△ABC的三个内角,求 证:cos(2A+B+C)=-cos A.
证明:因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以A+B+C=π. 所以cos(2A+B+C)=cos(A+A+B+C)=cos(π+A)=-cos A.
=
-2cos������+5cos������ -3cos������-2cos������
=
3cos������ -5cos������
=
−
3 5
=
右边,∴
原式成立.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
反思三角恒等式的证明,有三种方式: (1)从左边着手,化简、变形得出右边式子; (2)从右边着手,化简、变形得出左边式子; (3)从左、右两边同时着手,都进行化简,同时等于第三个式子. 从思路上来讲,恒等式的哪一边较复杂,就应该从哪一边着手,减 少角的种类,减少函数名称.若两边的复杂程度相当,则对两边都化 简. 证明与化简的区别在于,证明有很强的目的性,每一步变形都要 朝着目标靠近.
=
(-sin������)(-cos������)(-sin������)(-sin������) (-cos������)sin������sin������cos������
=
−
csoins������������.
随堂演练
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二 利用诱导公式求值
2
2
(7)sin
π 2
-������
= cos ������, cos
π 2
-������
= sin ������.
随堂演练
12
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
名师点拨角α+2kπ(k∈Z),2π-α,-α,π±α的三角函数值,等于角α的同
名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名不变,符号看象限.
分析:解决本题有两种方法,方法一是对整数k分奇数、偶数讨论; 方法二是根据(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,并结 合诱导公式将题目中的角均转化为kπ+α,其中k∈Z.
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(方法一)当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z),则原式 =
(2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
(3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α.
(4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
(5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.
(6)sin π + ������ = cos ������, cos π + ������ = −sin ������.
12
目标导航
知识梳理
典例透析
【做一做1】 若角α,β的终边关于原点对称,则( )
A.α=β B.α=180°+β
C.α=k×360°+β(k∈Z) D.α=k×360°+180°+β(k∈Z)
答案:D
随堂演练
目标导航
知识梳理
典例透析
12
2.诱导公式
(1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z.
故原式 = -sin (������π+������)[-cos (������π+������)] = −1.
[-sin (������π+������)]cos (������π+������)
反思三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清楚地显示式 子中所有项之间的关系,其变形过程就是统一角、统一函数名称的 过程,所以对式子变形时,一方面要注意角与角之间的关系,另一方 面要根据不同的变形目的,对公式进行合理选择.化简的基本要求 是:(1)能求出值的求出值;(2)使三角函数名称尽量少;(3)使项数尽量 少;(4)使次数尽量低;(5)尽量使分母不含三角函数;(6)尽量使被开方 数(式)不含三角函数.
π-
π 3
·
-cos π + π = sin π·cos π = 3 × 1 = 3 ;
3
3
3 22 4
当
n
为偶数时,原式=sin
2 3
π·cos
4 3
π
=
sin
π-
π 3
·cos
π+π
3
=
sin
π 3
·
-cos
π 3
= − 3.
4
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思求已知角的函数值问题,主要是利用诱导公式把任意角的三角 函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角 的三角函数化为正角的三角函数,同时,要准确记忆特殊角的三角 函数值.
求证:
sin(π-������)+5cos(2π+������) 3cos(π-������)-sin(-������)
=
−
35.
分析利用诱导公式将条件等式化简后代入待证的等式即可.
证明∵sin(α-π)=2cos(2π-α), ∴-sin α=2cos α,∴sin α=-2cos α,
∴左边
=
sin������ +5cos������ -3cos������+sin������
【例 2】 求 sin 2������π + 2 π ·cos ������π + 4 π (������∈Z)的值.
3
3
分析:本题主要考查诱导公式的应用及分类讨论的思想,由于给
出的三角函数式中含有参数n,故需对n分奇数、偶数进行讨论.
解:当
n
为奇数时,原式=sin
2 3
π
·
-cos
4 3
π
= sin
π 3
-������
=
1 2
,
求
cos
π 6
+
������
的值;
(2)已知 cos
π 6
-������
=
3 2
,
求
cos
5π 6
+
������
的值.
分析首先对所求三角函数中的角与已知三角函数中的角作比
较,采用整体分析的方法,建立角与角之间的关系,如
π 3
-������
+
π 6
+
������
=
π 2
,
A.
1 2
B.
−
1 2
C.
3 2
D.
−
3 2
答案:A
典例透析
随堂演练
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型一 利用诱导公式化简
【例 1】
设
k
为整数,化简:
sin (������π-������)cos [(������-1)π-������] .
sin [(������+1)π+������]cos (������π+������)
典例透析
12345
2cos
-
16π 3
的值等于(
)
A.
1 2
B.
−
1 2
C.
3 2
D.
−
3 2
解析:cos
-
16π 3
=
+
cos
3π 7
+
cos
4π 7
=
cos
π 7
+
cos
π-
π 7
+
cos
2π 7
+
cos
π-
2π 7
+
cos
3π 7
+
cos
π-
3π 7
=
cos
π 7
-cos
π 7
+
cos
2π 7
-cos
2π 7
+
cos
3π 7
-cos
3π 7
=
0.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【例 3】 (1)已知 sin
π 6
-������
+
5π 6
+
������
= π, 然后运用诱导公式可以将问题
顺利地解决.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
解(1)∵
π 3
-������
+
π 6
+
������
=
π 2
,
∴
cos
π 6
+
������
= cos
π 2
-
π 3
-������
=
sin
π 3
-������
当 k 为奇数时,设 k=2m+1(m∈Z),则
原式 = sin [(2������+1)π-������]cos (2������π-������) = sin (π-������)cos (-������)
sin [(2������+2)π+������]cos [(2������+1)π+������] sin ������cos (π+������)
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】(1)求 sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1
050°)的值;
(2)计算:cos
π 7
+
cos
2π 7
+
cos
3π 7
+
cos
4π 7
+
cos
5π 7
+
cos
67π.
解(1)原式
=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)·sin(2×360
【变式训练 3】 已知 sin
π 4
+
������
=
3 2
,
则
sin
3π 4
-������
的值为
_______, cos
π 4
-������
的值为_______.
解析:∵
π
π 4
+ ������
π
+
34ππ-������
= π,
4 + ������ + 4 -������ = 2,
∴sin
3π 4
-������
= 12.
(2)cos
5π 6
+
������
= cos
π-
π 6
-������
=-cos
π 6
-������
= − 23.
反思观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的
三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角,这是解
决问题的关键点.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
12345
1.当α∈R时,下列各式中恒成立的是( )
A.sin
π + ������
2
= −cos ������B. sin(π − ������) = −sin ������