2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(五)学生版

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（五）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．[2018·菏泽期末]已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-
B ．{}7
C ．{}1,3-
D ．{}1,7-
2．[2018·宁波期末]已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．[2018·赣州期末]元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）
A B C D 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
4．[2018·四川联考]已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的
直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12
B ．
2
C ．
34
D ．
5．[2018·吕梁一模]示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）
A ．()2,0-
B ．()1,0
C ．()10,0
D ．()14,0
6．[2018·南宁二中]()6
1211x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项是（ ）
A ．-5
B ．7
C ．-11
D ．13
7．[2018·铜仁四中]四面体A B C D -中，10AB CD ==，AC BD ==，
AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．50π
B ．100π
C ．200π
D ．300π
8．[2018·晋城一模]已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=对称，
） A
B
C
D
9．[2018·衡水金卷]如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）
A ．
B
．
C ．
D ．
10．[2018·闽侯四中]在ABC △中，点D 满足3
4
BD BC =
，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()2
21t λμ=-+的最小值是（ ） A
B
C
D
11．[2018·台州期末]
()()()1g x f x k x =-+在
(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[)1,3
B ．(]1,3
C ．[)2,3
D ．()3,+∞
12．[2018·湖北联考]的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交
A ，
B ，
C ，
D 四点，（ ）
A B C D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．[2018·天津期末]已知a ∈R ，i 为虚数单位，则a 的值为__________． 14．[2018·巴蜀中学]我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关
所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第12
34
第55关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将
题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为
x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________x ．
15．[2018·晋城一模]若x ，y 满足约束条件20
40 2x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩
≥≤≥，
______． 16．[2018·陕西一模]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
()
()2
22cos cos a
b c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．[2018·滁州期末]已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2，数列{}n b 的前n 项和n S ，求满足36
25
n S >的最小的n 的值． 18．[2018·房山期末]某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数；
（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]
130,150
中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望E X （）．
19．[2018·德州期末]已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，
60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点，F 是PC 上的点． （1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；
（2）当F 是PC 中点，且AB AP =时，求二面角F AE M --的余弦值．
20．[2018·广东联考]1F 与抛物线24y x =-的
焦点重合，椭圆E 的离心率为0的直线l ，交椭
圆E 于,A B ，且PA PB ⋅为定值． （1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值．
21．[2018·成都七中]已知函数()1
11e
x x f x x λ=+-+ （1）证明：当0λ=时，()0f x ≥；
（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．[2018·大庆一模]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，
取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线1C ：221x y +=，直线l ：()cos sin 4ρθθ-=．
（1）将曲线1C 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的22C ，请写出直线l ，和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线1l 经过点()1,2P 且1l l ∥，1l 与曲线2C 交于点,M N
23．[2018·湖师附中]选修4-5：不等式选讲 的解集为(),m n ． （1）求m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：16x y xy +≥．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（五）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C
8．C
9．C
10．C
11．A
12．C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．1
14
15
16．[)1,2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 【答案】（1）21n a n =-；（2）13．
【解析】（1）设{}n a 的公差为(0)d d ＞，由条件得()12
11327(2) 0a d a a d d d +=⎧
⎪+=⎨⎪>⎩
，
∴11
2
a d =⎧⎨=⎩，···········4分 ∴()12121n a n n =+-=-．···········6分 （2
···········8分 121n +
+
- 由
336
2125
n n >+得12n >．···········11分 ∴满足36
25
n S >
的最小值的n 的值为13．···········12分 18．（本小题满分12分）
【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．
【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：
()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，···········2分 ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，
∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=．···········4分 （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分 （3）X 的可能取值为0，1，2，则：···········7分
()30
52
37C C 20C 7P X ===；···········8分
()215237C C 4
1C 7P X ===；···········9分
()1252
37C C 12C 7
P X ===；···········10分
故X 的分布列为：
∴()2416
0127777E X =⨯+⨯+⨯=．··········12分
19．（本小题满分12分）
【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）连接AC ，
∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，
∴ABC △是正三角形，
∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥， 又AD BC ∥，∴AE AD ⊥，···········1分
∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，···········3分 又PA
AD A =，∴AE ⊥平面PAD ，···········4分
又AE ⊂平面AEF ，
∴平面AEF ⊥平面PAD ．·········
··5分
（2）解：由（1）得AE ，AD ，AP 两两垂直，
以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系； 不妨设2AB AP ==
，则AE = 则()0,0,0A
，)
C
，()0,2,0D ，()0,0,2P
，)
E
，
，()0,1,1M ，···········7分 ∴(
)
3,0,0AE =
，3AF ⎛=
，()0,1,1AM =， 设(),,x y z =m 是平面AEF 的一个法向量，
33AE x AF x ⋅=⋅=，取1z =，得()0,2,1=-m ，···········9分
同理可求，平面AME 的个法向量，()0,1,1=-n ，···········10分
观察可知，二面角的平面角为锐角， ∴二面角F AE M --的平面角的余弦值为···········12分 20．（本小题满分12分）
【答案】（1（2 【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分
又椭圆E 的离心率为
2
，得a =···········3分 于是有2
2
2
1b a c ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2
212
x y +=．···········4分
（2）设11,A x y （），22,B x y （）
，直线l 的方程为：x ty m =+， 由22
22
x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，21222
2m y y t -=+，···········6分
115(,)4PA x y =-，225
(,)4PB x y =-，
121255
()()44
PA PB x x y y ⋅=--+
2212125525
(1)()()4216
t y y tm t y y m m =++-++-+
222225
(2)(2)
5722216
m m t m m m t -+-+-=+--
+．···········8分 要使PA PB ⋅为定值，则22
5
22212
m m m -+--=
，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分
当1m =
时，2122
|)
2
t AB y y t +==+﹣，···········10分 点O 到直线AB
的距离d =
···········11分
OAB △
面积1
122
s t 2==+≤
． ∴当0t =，OAB △
面积的最大值为2
···········12分 21．（本小题满分12分）
【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）当0λ=时，()e 1x
f x x -=+-，
则()1e x
f x -'=-，···········1分
令()0f x '=，解得0x =
当0x <时，()0f x '<，∴()f x 在(),0-∞上是减函数；
当0x >时，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞上是增函数；···········3分 故()f x 在0x =处取得最小值()00f =，即()0f x ≥．···········4分 （2）由已知0x ≥，∴e 10x --≤． （i ）当0λ<时，若1
x λ
>-
，则
01
x
x λ<+，此时()0f x <，不符合题设条件； ···········5分
（ii ）当0λ≥时，若0x ≥，()()
e 10e 1e 101
x x x x
f x x x x λλ---=
+-⇔+-+-+≥≥， 令()()e 1e 1x x g x x x λ--=+-+-，则()()00f x g x ⇔≥≥，
而()()()()1e 1e e 1e 1e x x x x x g x x x λλλλ-----'=+---=---．···········6分
1）知，()e 1
0x
f x x -=+-≥，即e 1x x --≥， 它等价于e 1x x +≥，e 1x x -≤，
∴()()()()()()1e 1e 1e 1e e 1x x x x x g x x λλλλ----'=-------≥，
()()()()()
1e 11e 21e 10x x x λλλ---=----=--≥，
此时()g x 在[)0,+∞上是增函数，
∴()()00g x g =≥，即()0f x ≥．···········9分
1）知，e 1x x --≥，∴1e x x --≥
， ∴()()()()()()1e 1e 1e 1e 1x x x x g x x x x λλλλλ----'=---=-----
()()()()()
1e 11e 11e x x x x x x λλλλλλ---=---------≤ ()()
21e 1x x λλ-=---，
当21
0x λλ
-<<
时，()0g x '≤，此时()g x 在 ∴()()00g x g <=，即()0f x <，不符合题设条件．···········11分
综上：1
02
λ≤≤．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【答案】（1）4x y -=，22143
x y ''+=；
（2）2．
【解析】（1）因为l ：()cos sin 4ρθθ-=，所以l 的直角坐标方程为4x y -=；·········2分
设曲线2C 上任一点坐标为(),x y ''，则
代入1C
方程得：2
2
12x '⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2C
···········5分 （2）直线l ：4x y -=倾斜角为
4
π
，由题意可知， 直线1l （t 为参数），···········7分 联立直线1l 和曲线2C
的方程得，27
702t ++=．设方程的两根为12,t t ，则122t t =，
由直线参数t 的几何意义可知，···········10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 【答案】（1）1m =-，9n =；（2）证明见解析． 【解析】（1
得3 36x x x x ⎧⎨+-<+⎩≥或03
36x x <<⎧⎨<+⎩
或0 36x x x x ⎧⎨-+-<+⎩≤，···········3分
解得19x -<<，∴1m =-，9n =．···········5分 （2）由（1）知0x >，0y >，91x y +=，
112x =，14
y =时取等号，
+≥．···········10分x y xy
16。