刚体惯性力系的简化

代入式（a）得 再解式（b）、式（c）有
a g 3
Ff
P 2
P g
g 3
P 6
FN P cos
3P 2
P
f Ff 6 3 0.192
FN
3P 9
2
（b） （c）
例13-7 均质杆 AB 重 P，B 点放在地面上，A 点与轮铰接，轮在平面上纯
滚动，轮心做匀速直线运动，速度为 v，如图 13-11（a）所示。试 求在图示位置（A 位于最高点）时，AB 杆在 A，B 两点的受力情况 （B 与地面无摩擦）。
在工程实际中，刚体绕定轴转动有几种特殊情况。
（1）转轴过质心。此时 aC 0 ，FI 0 ，在 0 的情况下，惯性力系简 化为一个力偶。
（2）刚体做匀速转动，此时 0 ，在转轴不过质心的情况下，惯性力 系简化为一个合力。
（3）转轴过质心，刚体做匀速转动，aC 0 ， 0 ，则 FI 0 ，MIO 0 。
（a）
（b） 图13-11
（c）
解 （1）取AB杆为研究对象。
（2）受力分析。AB 杆上作用的主动力为重力 P，A 点有两个约束力 FAx 和 FAy ， B 点有法向约束力 FBN ，如图 13-11（b）所示。
（3）运动分析，加惯性力。由已知条件，AB 杆为瞬时平动，即 AB 0 ，对 AB
FI FIi (miai ) aC mi 设刚体质量为 M mi ，则
FI MaC （13-8）
于是得结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心 的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的 方向与加速度方向相反。
图13-5
刚体绕定轴转动
如果刚体有对称平面S，并且该平面与转轴z垂直，则惯性力系简化 为在对称平面内的平面力系。再将此平面力系向转轴与对称平面的交 点O简化，如图13-6所示。
电机作用的约束力向点 A 简化为一力偶 M 与一力 F（图中 FNx
和 FNy 为其分力）。
（3）运动分析，加惯性力。转子绕定轴 O 以角速度 匀速
转动，惯性力系简化为一个通过点 O 的力，大小为
FI
G g
e 2
图13-8
其方向与质心 C 的加速度 aC 相反。因 aC 沿 OC 连线指向中心 O，所以 FI 也沿 OC
)
)
0
；
F (τ) Ii
为切向
惯性力，
F (τ) Ii
mi ri
，则有
M IO ri (miri ) ( miri2 ) J z
（13-10）
式（13-9）和（13-10）表明，具有质量对称平面的刚体绕垂直于该平 面的轴转动时，惯性力系简化为在平面内的一个力和一个力偶，力 FI MaC ，力偶矩 MIO Jz ，如图 13-6 所示。
P g
l1
J R
由解题过程可见，附加动压力（或动约束力）决定于惯性力系。因此在列方程 时，可以不必考虑重力。
例13-6 半径为 r，重量为 P 的圆柱体，沿倾角 30 的斜面无初速地向下纯滚动，
如图 13-10 所示。试求：（1）开始滚动时，质心的加速度；（2）圆柱体与
斜面间的摩擦因数。
解（1）取圆柱体为研究对象。
刚体做平面运动
取质量对称面的平面图形，如图 13-7 所示。由运动学知，平面图形的运动 可分解为随基点的平动与绕基点的转动。取质心 C 为基点，C 轴通过质心且
垂直于平面图形。设质心的加速度为 aC ，绕质心转动的角加速度为 。则简
化到对称面的惯性力系分为两部分：刚体随质心平动的惯性力系简化为一个 通过质心的力，刚体绕质心转动的惯性力系简化为一个力偶。该力为
例13-4 如图 13-8 所示，电机的定子重 P，安装在水平的基础上，转轴 O 与水平面的距离
为 h；转子重 G，其重心为 C，偏心距 OC e ，运动开始时重心 C 在最低位置。今转
子以匀角速度 转动，求基础对电机的约束力。
解 （1）取电机整体为研究对象。
（2）受力分析。除受重力 P 和 G 外，基础及地脚螺钉对
解 （1）取梁和绞车、重物组成质点系为研究对象。
（2）受力分析。作用于质点系的力有重力 P、绞 车与梁一起的重力 G、约束力 FNA 和 FNB 。
（3）运动分析，加惯性力。重物做平动，其惯性力系的合
力通过重心，合力大小为 FI Pa/g ，方向与加速度方向相反； 由于绞盘的质心与轴心重合，则惯性力系简化为一力偶，力
（2）受力分析。作用在圆柱体上的主动力为重力 P，A 点有法向约束力 FN 和摩擦力 Ff 。
（3）运动分析，加惯性力。设圆柱体质心 C 的加速度为 a， 因圆柱体纯滚动， a/r ，惯性力的大小为 FI Pa/g ，作用在质心， 与 a 方向相反；惯性主矩 MIC JC Pr2 /(2g) 为相对质心的惯性力偶 矩，方向与 方向相反。
而背离点 O。
（4）列平衡方程，求解。根据达朗贝尔原理，作用于质点系的主动力、 约束力与惯性力在形式上a组成平衡力系，其平衡方程为
Fx 0 ，FNx FI sin 0 Fy 0 ，FNy P G FI cos 0 M A (F ) 0 ，M Gesin FIhsin 0
杆进行加速度分析，加速度矢量图如图 13-11（c）所示，因为 aBnA 0 ，故
0
aA
aBτA
cos 30 ， AB
aBA 4r
3v2 6r 2
aCτ A
aBτ A 2
3 v2 3r
aCx aCτA sin 30
3v2 6r
aCy
aCτA cos 30 aA
aA 2
v2 2
aC
aC2x aC2y
（4）列平衡方程，求解。选坐标系的x轴与斜面平 行，如图13-10所示，则
图13-10
M A (F ) 0 ，FIr Pr sin M IC 0
（a）
Fx 0 ，P sin FI Ff 0
Fy 0 ，FN P cos 0
由
FI
P g
a ，MIC
P 2g
r 2
Pr 2g
a
FNA
l1
1 l2
Pl2
Gl3
a
P g
l2
J R
1
P J
FNB
l1
l2
Pl2
G(l1
l2
l3 )
a
g
l1
R
上两式中前两项为支座静约束力，后一项为动约束力，则加速提升重物对支座A， B的附加动压力分别为
FNA
l1
a
l2
P g
l2
J R
FNB
l1
a l2
偶矩的大小为
MI
J
J
a R
方向如图13-9所示；其余不动的部分没有惯性力。
图13-9
（4）列平衡方程，求解。支座反力、重力、惯性力系在 形式上组成平衡力系，其平衡方程为
解得
MB (F ) 0， FNA(l1 l2 ) FI l2 P l2 G l3 MI 0 Fy 0，FNA FNB P G FI 0
FI FIi (miai ) MaC
力偶矩的大小为
（13-11）
M I MC (FIi ) JC
（13-12）
力偶矩的转向与角加速度的转向相反。式中， JC 是 刚体对于 C 轴的转动惯量。
图13-7
结论：具有质量对称平面的刚体，且平行于这平面运动时，刚体的惯 性力系可以简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心， 其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相 反；这个力偶的矩等于对通过质心且垂直于对称面的轴的转动惯量与角 加速度的乘积，其转向与角加速度转向相反。
3v2 3r
显然，aC 与 x 轴夹角 60 ，与 y 轴夹角 30 ，惯性力的大小为 F1 PaC /g ，
惯性力的方向与 aC 方向相反，如图 13-11（b）所示，惯性主矩大小为
JC AB ，方向与 AB 方向相反。
（4）列平衡方程，求解
Fx 0 ，FAx FI cos 60 0 Fy 0 ，FAy FNB P FI cos 30 0 M A (F ) 0 ， P 2r cos 30 FI 2r cos 60 FBN 4r cos 30 M IC 0
由于
JC
1 ml2 12
1 12
P g
Hale Waihona Puke 2r2sin 30
4 Pr 2 3g
M IC
2
3Pv2 9g
解得
FAx
3 P v2 6 gr
FAy
P 2
4Pv2 9gr
FNB
P 2
Pv2 18gr
理论力学
理论力学
刚体做平动
当刚体做平动时，每一瞬时刚体内各点的加速度相同，都等于刚体 质心的加速aC 即ai aC 。
将平动刚体内各点都加上惯性力，任一质点的惯性力为 FIi miai miaC 。各质点惯性力的方向相同，于是组成一个同向的 平行力系，如图 13-5 所示。将这个力系简化为通过质心的合力，即
因转子匀速转动， t ，代入上对方程组中，解得
FNx
G g
e 2
sin t
FNy
P
G
G g
e 2
cos t
M
Ge
sin
t
1
2h
g
例13-5 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重 G，如图 13-9
所示。绞盘（质心与轴心重合）与电机转子固结在一起，转动惯量为 J。今绞 车以加速度 a 提升重物。已知物重 P，绞盘半径为 R。求由于加速提升重物 而对支座 A，B 的附加动压力。
该惯性力系的主矢为
FI FIi (miai )
由质心坐标公式，有
miai MaC
则
FI MaC
该惯性力系向O点简化的主矩为
（13-9）
MIO
MO (FIi )
MO (FIi(τ) )
M
O
(
F (n Ii
)
)
图13-6
式中，
F (n) Ii
为法向惯性力，通过
O
点，且
M
O
(
F (n Ii