2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷_3
2014年全国初中数学联合竞赛试题及详解
2014年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。
则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-? ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ì=-ïí=ïî，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。
＝（ ）ABCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D=，所以BD =DP =. 又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x +=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。
2014年初中数学联赛
2014 年全国初中数学联赛（初三年级组）试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．已知x, y为整数，且满足2 2 4 4(1 1 )( 1 1 ) 2 ( 1 1 )x y x y 3 x y. . . . . ，则x . y 的可能的值有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答】C. 由已知等式得2 2 4 42 2 4 42 3x y x y x yxy x y x y. . .. . . ，显然x, y均不为0，所以x . y ＝0或3xy . 2(x . y) .若3xy . 2(x . y) ，则(3x . 2)(3y . 2) . .4 .又x, y 为整数，可求得12,xy. . ... .，或21.xy. . ... .，所以x . y .1或x . y . .1.因此，x . y 的可能的值有3 个.2．已知非负实数x, y, z满足x . y . z . 1，则t . 2xy . yz . 2zx的最大值为（）A．4 7B．5 9C．9 16D． 1225【答】A.2 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( )24t . xy . yz . zx . x y . z . yz . x y . z . y . z2 (1 ) 1 (1 )24. x . x . . x 7 2 3 14 2 4. . x . x . 7 ( 3)2 44 7 7. . x . . ，易知：当3 7x . ，2 7y . z . 时，t . 2xy . yz . 2zx取得最大值4 7.3．在△ ABC中，AB . AC ，D为BC的中点，BE . AC于E ，交AD于P ，已知BP . 3，PE . 1，则AE ＝（）A．6 2B． 2 C． 3 D． 6【答】B.因为AD . BC ， BE . AC ，所以P,D,C, E 四点共圆，所以BD.BC . BP.BE .12 ，又BC . 2BD，所以BD . 6，所以DP . 3 .又易知△ AEP ∽△ BDP ，所以AEPE BD DP. ，从而可得1 62 3AE PE BDDP. . . . . .2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第1 页（共5 页）4．6 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3 张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）A．1 2B．2 5C．2 3D． 34【答】B.若取出的3 张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8 种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12 种取法.所以，从6 张不同的卡片中取出3 张，共有8＋12＝20 种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8 种.因此，所求概率为82 20 5. .5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t} . t .[t] .已知实数x满足3 3x 1 18x. . ，则{x} {1}x. .（）A．12B．3. 5 C． 1 (35) 2. D．1【答】D.设x 1 ax. . ，则3 2 2 2 3 2x 1 (x 1 )(x 1 1) (x 1)[(x 1) 3] a(a 3)x x x x x. . . . . . . . . . . ，所以a(a2 .3) .18，因式分解得(a . 3)(a2 . 3a . 6) . 0，所以a .3. 由x 1 3x. . 解得1 (3 5)2x . . ，显然0 {x} 1,0 {1}1 x. . . . ，所以{x} {1}x. . 1.6．在△ ABC中，.C . 90.，.A . 60.，AC .1，D在BC上，E 在AB 上，使得△ ADE 为等腰直角三角形, .ADE . 90. ,则BE的长为（）A．4 . 2 3 B．2 . 3 C． 1 ( 31) 2.D． 3 .1【答】A.过E作EF . BC于F ，易知△ ACD≌△DFE ，△EFB∽△ACB . 设EF . x，则BE . 2x，AE . 2 . 2x，DE . 2(1. x)，DF . AC .1，故12 . x2 . [ 2(1. x)]2，即x2 . 4x .1 . 0 .又0 . x .1，故可得x . 2 . 3 .故BE . 2x . 4 . 2 3 .二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．已知实数a,b, c满足a . b . c .1， 1 1 1 1a b c b c a c a b. . .. . . . . .，则abc . ____．【答】0.由题意知1 1 11 1 2c 1 2a 1 2b. . . . . .，所以(1. 2a)(1. 2b) . (1. 2b)(1. 2c) . (1. 2a)(1. 2c) . (1. 2a)(1. 2b)(1. 2c)整理得2 . 2(a . b . c) . 8abc，所以abc . 0.2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第2 页（共5页）FB C A2．使得不等式98 17 15nnk . ..对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144.由条件得788 9k n. . ，由k 的唯一性，得1 7 8 k n.. 且18 9 k n.. ，所以2 1 1 8 71 9 8 72k kn nn . .. . . . . ，所以n .144. 当n .144时，由7 88 9k n. . 可得126 . k .128，k可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P为等腰△ ABC内一点， AB . BC，.BPC .108.，D为AC 的中点， BD与PC交于点E，如果点P为△ ABE的内心，则.PAC . ．【答】48. .由题意可得.PEA ..PEB ..CED ..AED，而.PEA..PEB ..AED .180.，所以.PEA ..PEB ..CED ..AED . 60.，从而可得.PCA . 30. .又.BPC .108.，所以.PBE . 12.，从而.ABD . 24. .所以.BAD . 90.. 24. . 66.，1 ( ) 1 (66 30 ) 182 2.PAE . .BAD ..CAE . . . . . .，所以.PAC ..PAE ..CAE .18. .30. . 48. .4．已知正整数a,b, c满足:1. a . b . c，a . b . c .111，b2 . ac，则b . ．【答】36.设a, c的最大公约数为(a, c) . d ， 1 a . a d ， 1 c . c d ， 1 1 a ,c 均为正整数且1 1 (a ,c ) .1， 1 1 a . c ，则2 21 1 b . ac . d a c ，所以d2 | b2，从而d | b，设1 b . b d （ 1 b 为正整数），则有21 1 1 b . a c ，而1 1 (a ,c ) .1，所以1 1 a ,c 均为完全平方数，设2 21 1 a . m , c . n ，则1 b . mn，m, n均为正整数，且(m, n) .1，m. n .又a .b . c .111，故1 1 1 d(a . b . c ) .111，即d(m2 . n2 . mn) .111.注意到m2 . n2 . mn . 12 . 22 .1. 2 . 7，所以d .1或d . 3.若d .1，则m2 . n2 . mn .111，验算可知只有m .1,n .10满足等式，此时a.1，不符合题意，故舍去.若d . 3，则m2 . n2 . mn . 37，验算可知只有m . 3, n . 4满足等式，此时a . 27,b . 36, c . 48，符合题意.因此，所求的b . 36.2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第3 页（共5页）ED AB PC第二试一、（本题满分20 分）设实数a,b满足a2 (b2 .1) . b(b . 2a) . 40，a(b .1) . b . 8，求2 21 1a b. 的值．解由已知条件可得a2b2 . (a . b)2 . 40，ab . (a . b) . 8 .设a . b . x，ab . y ，则有x2 . y2 . 40，x . y . 8，联立解得(x, y) . (2,6)或(x, y) . (6, 2) .若(x, y) . (2,6)，即a . b . 2，ab . 6，则a,b是一元二次方程t2 . 2t . 6 .0的两根，但这个方程的判别式. . (.2)2 . 24 . .20 . 0，没有实数根；若(x, y) . (6, 2)，即a . b . 6，ab . 2，则a,b是一元二次方程t2 . 6t . 2 .0的两根，这个方程的判别式. . (.6)2 .8 . 28 . 0，它有实数根.所以2 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 ( )2 6 2 2 82a b a b aba b a b a b. . . . .. . . . . . 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足.ECD ..ACB, AC 的延长线与△ ABD的外接圆交于点F . 证明：.DFE . .AFB．证明由ABCD是平行四边形及已知条件知.ECD ..ACB . .DAF .又A、B、F、D 四点共圆，所以.BDC ..ABD . .AFD，所以△ECD∽△ DAF ，所以ED CD ABDF AFAF . . .又.EDF . .BDF . .BAF ，所以△EDF ∽△BAF ，故.DFE . .AFB .三．（本题满分25 分）设n是整数，如果存在整数x, y, z满足n . x3 . y3 . z3 .3xyz，则称n具有性质P .在1，5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解取x .1， y . z . 0，可得1 . 13 . 03 . 03 . 3.1. 0. 0，所以1具有性质P .取x . y . 2， z .1，可得5 . 23 . 23 .13 . 3. 2. 2.1，所以5具有性质P .为了一般地判断哪些数具有性质P，记f (x, y, z) . x3 . y3 . z3 . 3xyz，则f (x, y, z) . (x . y)3 . z3 .3xy(x . y) .3xyz. (x . y . z)3 .3(x . y)z(x . y . z) . 3xy(x . y . z)2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第4 页（共5 页）C FA BD E＝(x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx)1 ( )(2 2 2 )2. x . y . z x . y . z . xy . yz . zx1 ( )[( )2 ( )2 ( )2 ]2. x . y . z x . y . y . z . z . x . 即f (x, y, z) 1 ( )[( )2 ( )2 ( )2 ]2. x . y . z x . y . y . z . z . x ①不妨设x . y . z，如果x . y . 1, y . z . 0, x . z . 1，即x . z .1, y . z，则有f (x, y, z) . 3z .1；如果x . y . 0, y . z .1, x . z . 1，即x . y . z .1，则有f (x, y, z) . 3z . 2；如果x . y . 1, y . z . 1, x . z . 2，即x . z . 2, y . z .1，则有f (x, y, z) . 9(z .1)；由此可知，形如3k .1或3k . 2或9k （k为整数）的数都具有性质P .因此，1，5 和2014 都具有性质P .若2013 具有性质P ，则存在整数x, y, z使得2013 . (x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx) .注意到3 | 2013，从而可得3| (x . y . z)3，故3 | (x . y . z)，于是有9 | (x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx)，即9 | 2013 ，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013 不具有性质P .2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第5 页（共5 页）``。
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。
所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为A D B C ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0.A2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=.注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试D一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以ED CD ABDF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性FBD质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分。
2014年全国初中数学联赛初三组初赛试卷及答案
第2题图DACB第4题图DACB2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月7日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD 中，BD BC AB ==，︒=∠80ABC ，则ADC ∠等于（ ）A 、︒80B 、︒100C 、︒140D 、︒1603、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ）A 、04m <≤B 、3≥mC 、4≥mD 、34m <≤4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠60BAD ，︒=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么BD 的长度是（ ）A 、7B 、4C 、72D 、24 5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ）A 、2014B 、2014+aC 、4028D 、4028+a6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组B 、4组C 、5组D 、6组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角︒=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ．2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ．3、已知6=-y x ，922=-+-y xy xy x ，则22y xy xy x ---的值是 ．4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 ．三、（本大题满分20分）已知0422=-+a a ，2=-b a ，求ba 211++的值。
2014年全国初中数学竞赛试题
2014年全国初中数学竞赛试题考试时间：20014年4月7日上午9：30—11：30一、选择题：（共5小题，每小题7分，满分35分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）1、在平面直角坐标系中有两点A(-1,2),B(3,2),若C 是坐标轴上一点，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 的个数为（ ）。
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62、设123+=a ，则1343++a a a 的值为（ ）。
（A ）3 （B ）4 （C ）223+ （D ）3342+3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角)1800(o o <<a a ，我们称为一次操作。
若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角a 为（ ）。
（A ）o 72 （B ）o 144 （C ）o 108或o 144 （D ）o 72或o1444、若正整数n 满足n 的各位数字之和为2014，且5n 的各位数字之和为1007，则（ ）。
（A ）n 必为奇数 （B ）n 必为偶数（C ）n 可为奇数，也可为偶数 （D ）n 不存在5、一枚质地均匀的正方体骰子六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6，掷四次骰子，依次得到朝上的面上的数字分别为a,b,c,d ，则在a,a+b,a+b+c,a+b+c+d 中存在一个数字等于4的概率为（ ）。
（A ）129633 （B ）1296334 （C ）1296343 （D ）1296433二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6、若实数x,y 满足2633=+y x ，且6)(-=+y x xy ，则y x -= 。
7、如图，边长为1的正方形ABCD 中，E,F 分别为BC,CD 上的点，且△AEF 为正三角形，则△AEF 的面积为 。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准
初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及答案
2014 年全国初中数学比赛初赛试题及参照答案（比赛时间： 2014 年 3 月 2 日上午 9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每题 6 分，共 36 分）以下每题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，此中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）是倒数等于它自己的自然数，1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】 D．解：最大的负整数是－ 1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它自己的自然数是1，∴=1.∴==0.2.已知实数知足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】 A．解：两式相减得3．如图，将表面睁开图（图1）复原为正方体，按图 2 所示摆放，那么，图1中的线段 MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）【答】 C．解：将图 1 中的平面图折成正方体，MN和线段 c 重合.不如设图1中完整的正方形为完好面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，第一确立B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合 .4.已知二次函数的图象如下图，则以下7 个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4 个以上【答】 C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴. 当=1 时，，即.当=时，，即. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左侧，即，∴. 所以 7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt△OAB的极点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当 A 点在反比率函数（x>0）的图象上挪动时，B点坐标知足的函数分析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】 B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点 C、D在边AB上，且 AC=DB=1，点P是线段 CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F 分别为 MN、QR的中点，连结EF，设 EF的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点D 时，点挪动的路径长为【】G（A）1（B）2（C）3（D）6【答】 B．解：设 KH中点为 S，连结 PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为 PS的中点,即在点P 运动过程中，G一直为PS 的中点，所以G的运转轨迹为△ CSD的中位线,∵ CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点 G挪动的路径长为=2.二、填空题（共 6 小题，每题 6 分，共 36 分）7．已知，化简得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8.一个不透明的袋子中有除颜色外其他都同样的红、黄、蓝色玻璃球若干个，此中红色玻璃球有 6 个，黄色玻璃球有 9 个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以 P（摸出一个红色玻璃球） =.9.若，则=.【答】 8．解：∵，∴.则，即.∴10．如图，在 Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将 Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°获得 Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴A O=CO=，BO=DO=4，∴暗影部分面积 ==== .11．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，点 E 是 AD上一个动点，把△ BAE沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A1恰落在∠ BCD的均分线上时， CA1=.【答】．解：过 A1作 A1M⊥BC，垂足为 M，设 CM=A1 M=x，则 BM=4－x，在 Rt△A1BM中，，∴∴在等腰12．已知=，∴ x =A1M=，Rt△A1CM中，C A1=.a、b、c、d 是四个不一样的整数，且知足a+b+c+d=5，若m是对于x的方程（x－a）（ x－b）（ x－c）（ x－d）=2014中大于 a、b、c、d 的一个整数根，则m 的值为.【答】 20．解：∵（ m－a）（ m－b）（ m－c）（ m－d）=2014，且 a、b、c、 d 是四个不一样的整数，因为 m是大于 a、b、c、d 的一个整数根，∴（ m－ a）、（ m－b）、（ m－c）、（m－d）是四个不一样的正整数.∵2014=1×2×19×53，∴（ m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵ a+b+c+d=5，∴ m=20.三、解答题（第13 题 14 分，第 14 题 16 分，第 15 题 18 分，共 48 分）13. 某学校为九年级数学比赛获奖选手购置以下三种奖品，此中小笔录本每本大笔录本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购置的大笔录本的数目是钢笔数目的5 元，2 倍，共花销346 元，若使购置的奖品总数最多，则这三种奖品的购置数目各为多少？x y z.0 x≤69 0 y≤ 49 0 z≤34,4.x y z≥00z≤14z14 9 4.8z 14=2=28..z 9=26=18..z 4=50=8..5084 .1414.ABCD AD=8DE AB E BC F AE=6.1P AD A D DP x,AEHP y, y x 2 AE=2EB.BC DEAB OBC DE ABCD.141Rt52.7DE AB AB.10DE AB AB6.136 .1615.如图 1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA= AB=BC，∠AOC=60°，连结 OB，点 P 为线段 OB上一个动点，点 E为边 OC中点.（1）连结PA、PE，求证：PA=PE；（2）连结PC，若PC+PE=，试求AB的最大值；（3）在（ 2）在条件下，当AB取最大值时，如图 2，点M坐标为（ 0，－ 1），点D为线段 OC上一个动点，当 D点从 O点向 C点挪动时，直线 MD与梯形另一边交点为 N，设 D点横坐标为 m，当△ MNC为钝角三角形时，求 m的范围.解：（ 1）证明：如图1，连结 AE.5 分(2) ∵PC+PE=，∴ PC+PA=.明显有 OB=AC≤PC+PA=.7 分在 Rt△BOC中, 设AB=OA=BC=x，则 OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即 AB的最大值为2.10 分(3)当 AB取最大值时， AB=OA=BC=2，OC=4.分三种状况议论：①当 N点在 OA上时，如图2，若 CN⊥MN时，此时线段 OA上 N点下方的点（不包含N、O）均知足△ MNC为钝角三角形.过 N作 NF⊥x 轴，垂足为 F，∵A 点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则DF=a－m，NF=，FC=4－a.∵△ OMD∽△ FND∽△ FCN，∴.解得，，即当 0< <时，△ MNC为钝角三角形；14分②当 N点在 AB上时，不可以知足△ MNC为钝角三角形；15 分③当 N点在 BC上时，如图3，若 CN⊥MN时，此时 BC上 N点下方的点（不包含N、C）均知足△ MNC为钝角三角形.∴当<<4 时，△MNC为钝角三角形 .综上所述，当0< <或< <4 时，△MNC为钝角三角形 .12020-2-8。
初中数学联赛(初联)历年真题
2014年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47B ．59C ．916D ．1225 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）A ．2B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x+=，则1{}{}x x +=（ ）A ．12B ．3-C ．1(32- D ．16．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为（ ）A ．4-B ．2C ．11)2D 1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =__ __． 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.FB一．（本题满分20分）同（A ）卷第一题.二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P . （1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1- （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=o，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =AB=（ ）（A ）2 （B（C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）28 （D ）286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC V 中，60,75,10A C AB ∠=∠==oo，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF V 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
2014年全国初中数学竞赛精彩试题及问题详解
中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a =b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．22121+++-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC＝不一定是有理数．4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．200解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802B HC A B OC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ①即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()kj i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。
2014年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不．一定．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a =，b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC ∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25． 因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。
2014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案
2014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案本卷由蕲春县濒湖晨光学校石子据外来试题影相录制并解答，正确性不保一．选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍． A ．a ＋b b B ．b a ＋b C ．a ＋b b －a D ．a ＋b a －b【分析】a (v 甲＋v 乙)＝b (v 甲－v 乙)，由此可得C 正确． 2．方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解共有（ ）个． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【分析】分三种情况：①a 0＝1，a ≠0，x ＋3＝０，x ＝－3,此时x 2＋x －1＝5≠0；②1n ＝1，x 2＋x －1＝1，x ＝－2或1；③(－1)2n ＝1，x 2＋x －1＝－1，x ＝－1或0，但x ＝0时，不满足；故x ＝－3, －2, －1，1，选B ．3．已知A (－1，2)、B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点共有（ ）个． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【分析】本题参照图解的5种情况，选C ．4．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数分别为x 、y 、z ，则 1x ＋1y ＋1z 的值为（ ）．A ．1B ．23C ．12D ．13【分析】据平面密铺的定义，参与密铺的三个多边形各出一个内角，三内角之和为360°．即 (x －2)180° x ＋(y －2)180° x ＋(z －2)180° x ＝360°，或者先求外角再求内角，所列方程则为： 180°－360°x ＋180°－ 360°y ＋180°－ 360°z ＝360°，整理两者，均可得 1x ＋1y ＋1z ＝12；选C ． 5．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α（0°＜α＜180°），被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为（ ）． A ．72° B ．108°或144° C ． 144° D ．72°或144° 【分析】考虑两种情况，如下两图所示，本题选D ．第5二.填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．代数式x 2＋4 ＋(12－x )2＋9 的最小值是 ．【分析】考虑数形结合，运用勾股定理构图如下：AP ＋BP ≥AB ＝52＋122 ＝13．第6题图BA123x12－x32P’CPN M BA7．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于P ，交角为45°，若PE 2＋PF 2＝8，则AB ＝ ． 【分析】作OC ⊥EF 于C , FD ⊥AB 于D ,连接OE 、OF , 设OC ＝a , PD ＝b ,则PC ＝a , OP ＝2a , BF ＝b , PF ＝2b , CE ＝CF ＝a ＋2b , PE ＝2a ＋2b ，记OE ＝OF ＝R ，在△OCE 中，a 2＋(a ＋2b )2 ＝R 2，则R 2＝2a 2＋22ab ＋2b 2 ；又PE 2＋PF 2＝8，即(2a ＋2)2＋(2b )2＝8，所以a 2＋2ab ＋b 2 ＝2，故R ＝2，AB ＝2R ＝4． 8．已知a 、b 为正整数， a ＝b －2005，若关于x 的方程x 2－ax ＋b ＝0有正整数解，则a 的最小值是 ．【分析】由根与系数关系知：x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝b ，又a ＝b －2005，∴ x 1＋x 2 ＝x 1x 2－2005， x 1x 2－x 1－x 2＋1＝2006，∴(x 1－1)(x 2－1)＝1×2006＝2×1003＝2×17×59＝34×59，(x 1，x 2) ＝(2，2007)，(3，1004)，(35，60)，由此知a ＝x 1＋x 2＝2009，1007，95，则最小值是95． 9．双曲线y ＝k x 和y ＝1 x 在第一象限内的图象如图所示，P 在y ＝kx的图象上，PC ⊥x 轴于C ，交y ＝1 x 的图象于A ，PD ⊥y 轴于D ，交y ＝1 x 的图象于B ，当P 点在y ＝kx的图象上运动时， 下列结论：①△OBD 与△OAC 的面积相等；②四边形P AOB 的面积保持不变；③P A ＝PB ；④ 若A 是PC 的中点，则B 是DP 的中点．其中一定正确的的序号是 ．FEDCBA【分析】由k 的几何意义知S △OBD ＝S △OAC ＝ 12；S 四边形P AOB ＝k －1；仅当P （k ，k ）时，P A ＝PB ；令P （2a ，2b ），则A （2a ，b ），B （a ，2b ），由此知B 是DP 的中点． 故①②④ 均正确．10．如图，一个圆作滚动运动，它从A 位置开始，滚运与它相同的其他6个圆的上部，到达B 位置．则该圆共滚过 圈．【分析】设圆的半径为R ,则总路径长是120360·2π·2R ·2＋60360·2π·2R ·4＝163πR ，则共转了163πR ÷2πR ＝ 83（圈）． 三.解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）记△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【解】（1）△BEF 是等边三角形，理由如下：∵AE ＋DE ＝AE ＋CF ＝2，∴DE ＝CF ，又菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，∴△ABD 与△BCD 均为等边三角形，∴∠ABD ＝∠C ＝60°， BD ＝BC ， ∴△BDE ≌△BCF ，∴ BE ＝BF ，∠DBE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠DBF ＝60°， ∴∠DBE ＋∠DBF ＝60°，即∠EBF ＝60°，∴△BEF 是等边三角形． （2）∵△BEF 为等边三角形，∴S ＝3 4BF 2，当E →D ，F →C ，BF 最大，BF ＝2； 当BF ⊥CD 时，BF 最小，BF ＝ 3 ；故3 34≤S ≤ 3 ．12．预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数量少10个，但总金额仍多用29元；若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数量少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求x 、y 的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205而小于210，求x、y的值．【解】（1）设甲商品原单价为a元，乙商品原单价为b元，则ax＋by＝1500 ①(a＋1.5)(x－10)＋(b＋1)y＝1529 ②(a＋1)(x－5)＋(b＋1)y＝1563.5 ③联立可得0.5x＋y＝93，即y＝93－0.5x；（2）205＜2x＋y＜210，又y＝93－0.5x，∴7423＜x＜78，又x为整数，∴x＝75，76，77，但x＝75，77时，y不是整数，∴x＝76，y＝55．13．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程x2＋kx＋3x－1＝3x＋k的解，求实数k的取值范围．【解】原方程可化为2x2－3x－k－3＝0 ，首先考虑增根：k＝2x2－3x－3，令x＝1，则k＝－4；k＝－4时，2x2－3x＋1＝0，(2x－1)(x－1)＝0，x1＝12，x2＝1（增根舍去）令f(x)＝2x2－3x－k－3，∵a＝2＞0在x轴的正半轴上，于是分两种情况：ⅰ）△＝0时，k＝－338，此时x＝34；ⅱ）x1x2≤0，即－k＋32≤0，k≥－3．特别地，当k＝－3时，2x2－3x＝0，x1＝32，x2＝0（舍去）综上所述，k＝－4，－338或k≥－3．14．如图，A（0，1），B是y轴的负半轴上的一个动点，以AB为边作菱形ABCD，其对角线的交点M恰好落在x轴上．记D（x，y）．（1）求M点的坐标；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是（2）中函数图象上的动点，Q（0，t）是定点，是否存在平行于x轴的直线l，使得直线l被以线段PQ为直径的圆截得的弦长始终为定值？若存在，求t的取值范围和直线l的解析式（用含t的代数式表示）；若不存在，请说明理由．14x 2【解】（1）M (x2，0)；（2）作DE ⊥OA 于E ，则OE ＝y ，AE ＝1－y ，DE ＝x ，AD ＝AB ＝1＋y ，在Rt △ADE 中，(1－y )2＋x 2＝(1＋y )2，故 y ＝14x 2，由于B 是y 轴的负半轴上的一个动点，所以x ≠0； （3）设)4,(2m m p ，则圆心)812,2(2m t m E +，作EF ⊥MN 于F ，MN 就是直线l ：n y =被⊙E 所截得的弦长，则22222)812()2(m t n m EQ EN --+==，222)812(m t n EF --=，则在△EFN 中，222222)812()812()2(m t n m t n m FN -----+=22)1(41n nt m t n -+-+=，考虑到m 为变量，当1+=n t 时，1-=t n ，122-=-=t n nt FN ≥0，此时t ≥1，即12-=t MN ， 即当1-=t y 时，弦长12-=t MN （定值），t ≥1．原题上传后，李先传先生就第2现已作修正，并提示第3问的解法，用垂径定理解决弦长，从而避开圆的方程，根据提示，录排如上． 此法避免了圆的方程． 附第3问用圆的方程求解设)4,(2m m P ,则圆心为)82,2(2m t m +，圆的方程为 ])4([41)82()2(222222m t m m t y m x -+=--+-，化简，得041412222=+--+-t m yt y m y mx x设直线的方程为n y =，则041412222=+--+-t m nt n m n mx x ，设交点的横坐标为21,x x ，aac b x x 4221-=-，本处1=a ，则t m nt n m n m ac b x x 22222221444-++-=-=-=2244)1(n nt m t n -+-+考虑到m 为变量，当1+=n t 时，1-=t n ，)1(44221-==-t n x x ≥0，此时t ≥1，即当1-=t y 时，上式为定值，即弦长为1221-=-t x x ，t ≥1．本题经动态试验，选择二图上传，可见无论x 的取值范围如何，其结论都正确：对不同的t 值，弦长不同；对同一t 值，弦长一定；这一定值是相对于确定的t 值而言，寓动于静．MN = 2.82843厘米2MN = 2.82843厘米2本题第3问初次做感觉很难．。
2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及其解答
PAE 1 (BAD CAE) 1 (66 30) 18 ，
2
2
所以 PAC PAE CAE 18 30 48 .
EP
C
D
A
4．已知正整数 a, b, c 满足:1 a b c ， a b c 111， b2 ac ，则 b
．
【答】36.
设 a, c 的最大公约数为 (a, c) d ， a a1d ， c c1d ， a1, c1 均为正整数且 (a1, c1) 1， a1 c1，则
F
故12 x2 [ 2(1 x)]2 ，即 x2 4x 1 0 .又 0 x 1，故可得 x 2 3 .
A
B E
故 BE 2x 4 2 3 .
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．已知实数 a, b, c 满足 a b c 1， 1 1 1 1，则 abc ____． abc bca cab
8.
a2 b2 a2b2
a2b2
22
二．（本题满分 25 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且满足 ECD ACB ,
AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明： DFE AFB ．
D
证明 由 ABCD 是平行四边形及已知条件知 ECD ACB DAF .
【答】 0.
由题意知 1 1 1 1，所以 1 2c 1 2a 1 2b
(1 2a)(1 2b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
整理得 2 2(a b c) 8abc ，所以 abc 0.
2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第 2 页（共 6 页）
2014年全国初中数学联合竞赛试卷有答案
yz
2x( y
z)
1 (y
z) 2
4
2x(1 x)
1 (1
x)2
4
7 x2
3 x
1
4 24
7 (x
3)2
4
，
4 77
易知：当 x
3，y
z
2 时， t
2 xy
yz
2zx 取得最大值
4
.
7
7
7
12
D．
25
（）
3．在△ ABC 中， AB AC ，D 为 BC 的中点， BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3，PE 1 ，
2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第一试
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分）
11 1 1
21 1
1． 已知 x, y 为整数，且满足
( x
+
)( y
x2
+
y2 )
=
-
3 ( x4 -
y 4 ) ， 错误！未找到引用源。
则 x+y的
可能的值有（
）
A. 1 个 【答】 C.来自故21
2
x
[
2(1
2
x)] ，即
2
x
4x 1
0.又 0
x 1，故可得 x
2
3.
A
F
B E
故 BE 2x 4 2 3 .
2
则
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
＝
（）
6
A．
2
【答】 B .
2014年全国初中数学竞赛九年级预赛试题3.
2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题3第一试一. 选择题(每小题7分,共42分1、设a 为质数,并且278a +和287a +也都是质数,若记778,887x a y a =+=+,则在以下情况中,必定成立的是(.(A 、,x y 都是质数; (B 、,x y 都是合数;(C 、,x y 一个是质数,一个是合数; (D 、对不同的a ,以上各情况皆可能出现.2 .(A(B、 (C 、2; (D 、2-.3、2011201123+的末位数字是(. (A 、1; (B 、3; (C 、5; (D 、7.答案:C41=的解的情况是( .(A 、无解; (B 、恰有一解; (C 、恰有两个解; (D 、有无穷多个解.5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形,则图中全体正三角形的个数是(. (A 、24; (B 、36; (C 、38; (D 、76.6、设,a b 为整数,并且一元二次方程22(23(60x a b x a ab ++++++=有等根α, 而一元二次方程22(422(2210ax a b x a b +--+--=有等根β; 那么,以,αβ为根的整系数一元二次方程是( .(A 、22760x x ++=; (B 、2260x x +-=; (C 、2440x x ++=; (D 、2(0x a b x ab+++=.二、填空题(每小题分,共分1、直角三角形ABC ∆的三条边长分别为3,4,5,若将其内切圆挖去,则剩下部分的面积等于 .2、若3232573(4(4(4x x x x a x b x c +--=-+-+-+,则(,,a b c =( .3、如图,正方形ABCD 的边长为1,E 是CD 边外的一点,满足:CE ∥BD ,BE BD =,则CE = .4、绕圆周填写了十二个正整数,其中每个数取自{}1,2,3,4,5,6,7,8,9之中(每一个数都可以多次出现在圆周上,若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数,用S 表示圆周上所有十二个数的和,那么数S 所有可能的取值情况有种. 答案:9种.第二试一、(20分试确定,对于怎样的正整数a ,方程2254(3290x a x a -++-=有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解:将方程改写为 22(6(265x a x -+-=,二、(25分锐角三角形ABC ∆的外心为O ,外接圆半径为R ,延长,,AO BO CO ,分别与对边,,BC CA AB 交于,,D E F ;证明:1112AD BE CF R++=. 证:三、(分设为正整数,证明:1、如果k 是两个连续正整数的乘积,那么256k +也是两个连续正整数的乘积;2、如果256k +是两个连续正整数的乘积,那么k 也是两个连续正整数的乘积. 证明:MFE DOCBA。
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2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试
卷
（3月7日下午4：00—6：00）
班级：: 姓名：成绩：
题 号一二三四五合计
得 分
评卷人
复核人
考生注意：
1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；
2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；
3、解题书写不要超出装订线；
4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（）
A、9504元
B、9600元
C、9900元
D、10000元
2、如图，在凸四边形ABCD中，，，则等于（）
A、B、C、D、
第2题图
D
A
C
B
第4题图
D
A
C
B
3、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实
数m的取值范围是（）
A、B、C、D、
4、如图，梯形ABCD中，，，，且，那么BD的长度是（）
A、 B、4
C、D、
5、如果，那么的最小值是（）
A、2014
B、
C、4028
D、
6、方程的整数解有（）
D
F
E
O
A
C
B
A、3组
B、4组
C、5组
D、6组
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、如图，扇形AOB的圆心角，半径为5，正方形CDEF内接于该扇形，则正方形CDEF的边长为．
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x，y，则．
3、已知，，则的值是．
4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、
5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是．
三、（本大题满分20分）
已知，，求的值。
四、（本大题满分25分）
在中，，AE垂直于AB边上的中线CD，交BC于点E.（1）求证：
（2）若，，求边AC与BC的长。
D
E
A
C
B
五、（本大题满分25分）
已知二次函数的图像经过点A（，0）、B（，0）、C（2，m），且.
（1）求证：；
（2）若，求证：
2014年全国初中数学联赛（初三组）初赛
评分细则
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、B．
2、C．
3、D．
4、C．
5、A．
6、D．
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、．
2、 93 ．
3、 4 ．
4、．
三、（本大题满分20分）
解：由已知得，
所以．（10分）
显然，由得．（15分）
所以，
所以．（20分）
四、（本大题满分25分）
解：（1）因为CD是AB边上的中线，
所以CD＝DB，
∠ABC＝∠DCB＝∠CAE，
∠ACB＝∠ECA＝，
所以△ACB∽△ECA，（5分）
所以，
所以．（10分）
（2）因为CD是Rt△ABC的中线，
所以CD=AD=BD。
所以AB=6。
所以．（15分）
取BC中点F，连结DF，则DF//AC，∠DFC＝∠ECA＝，
所以△DFC∽△ECA，
所以．
所以，（20分）
故可解得，．（25分）
法2：因为CD是Rt△ABC的中线，
所以CD=AD=BD。
所以AB=6。
所以。
（15分）
由（1）知△ACB∽△ECA，
所以。
（20分）
故可解得，．（25分）
五、（本大题满分25分）
证：（1）由已知可得方程的两根为、，
所以，，所以，（5分）
由已知可得，当时二次函数的值随的增大而增大．所以二次函数在的函数值大于在的函数值．即．（10分）
法2：又由已知可得，
所以。
（5分）
又因为，
所以，，
所以．（10分）
（2）由已知得
令得，
令得，
所以。
（15分）
因为，所以，，
并且和不能同时成立，
所以．（20分）
又，所以．（25分）。