202X临沂市中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编

一、中考几何压轴题
1．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，ED 交直线AB 于点O ，连接BE ．
（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D 在边BC 上，猜想： ①AF 与BE 的数量关系是 ； ②∠ABE ＝ 度． （2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D 在边BC 上，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并给予证明． （3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D 在射线BC 上，且BD ＝3CD ，若AB ＝8，请直接写出BE 的长．
2．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．
（观察猜想）
（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________； （探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由； （拓展延伸）
（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求
BC
BN
的值． 3．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．
（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，
①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由． ②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．
（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EF
AB BE
==，请直接写出线段BM 与线段AE 的数量关系．
4．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 上的点，且FG AE ⊥，求证：FG AE =；
（2）类比应用：如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC =，FG AE ⊥，将矩形ABCD 沿FG 折叠使点A 落在E 点处，得到矩形FEPG ．
①若点E 为BC 的中点，试探究FG 与AF 的数量关系； ②拓展延伸：连CP ，当32n =时，210GF =，3
4
tan CGP ∠=，求CP 的长． 5．综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．
则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，
AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．
若2n =，则
AG BG =______，AGE BGF
S S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）．
6．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，5AB =，D 为底边BC 上一动点，连接
AD ，以AD 为斜边向左上方作等腰直角ADE ，连接BE ．
观察猜想：
（1）当点E 落在线段AB 上时，直接写出EB ，ED 的数量关系：EB _______ED ． 类比探究：
（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点D 运动过程中，当7BE =时，请直接写出线段CD 的长． 7．（1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ． 填空：①∠AEB 的度数为 ； ②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ． （2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题
如图3，在正方形ABCD 中，CD 2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
8．问题发现：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．
类比探究：
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角
α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；
拓展延伸：
（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP的长度．
9．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，3
AB=，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索
（1）将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B'落在MN上，折痕为EC，连接DB'，如图2．
①点B'在以点E为圆心，_________的长为半径的圆上；
②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
10．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法： （综合与实践）
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合，再将正方形纸片ABCD 展开，得到折痕MN ；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD 的右上角沿MC 折叠，得到点D 的对应的点为D ′； 操作三：如图3，将正方形纸片ABCD 的左上角沿MD ′折叠再展开，折痕MD ′与边AB 交于点P ； （问题解决）
请在图3中解决下列问题： （1）求证：BP ＝D ′P ； （2）AP ：BP ＝ ；
（拓展探究）
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD 的左下角沿CD ′折叠再展开，折痕CD ′与边AB 交于点Q ．再将正方形纸片ABCD 过点D ′折叠，使点A 落在AD 边上，点B 落在BC 边上，然后再将正方形纸片ABCD 展开，折痕EF 与边AD 交于点E ，与边BC 交于点F ，如图4．试探究：点Q 与点E 分别是边AB ，AD 的几等分点？请说明理由． 11．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明； （3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积； （4）拓展延伸：
在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
12．问题发现：（1）如图1，ABC 与DCE 同为等边三角形，连接,BD AE 则BD 与AE 的数量关系为________；直线BD 与AE 所夹的锐角为_________；
类比探究：（2）BC A △与DCE 同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：（3）ABC 中90,30BAC C ∠=︒∠=︒，DE 为ABC ∆的中位线，将CDE △绕点
C 逆时针自由旋转，已知2AB =，在自由旋转过程中，当A
D
E 、、在一条直线上时，请直
接写出AD 的值．
13．如图1，在菱形ABCD 中，4,120AD B ︒=∠=，点E ，F 分别是AC ，AB 上的点，且1
,232
AE AD AF =
=
①DE
CF
的值是_______；
②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是_______．
（2）类比探究：如图2，将绕AEF
∆点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸：
在AEF
∆绕点A旋转的过程中，当,,
D E F三点共线时，请直接写出CF的长．
14．综合与实践
问题情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接CF交线段AB于点G，交AD于点H、连接EG．
特例分析:
(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：AF=CD；
②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_______；
拓展探究:
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证
明；
(3)如图3，当点E 在线段AD 的延长线上，且AE=AB 时，EG
CF
的值为_______； 推广应用:
(4)当点E 在射线AD 上运动时，
AE m AD n =，则EG
CF
的值为______用含m.n 的式子表示)． 15．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，
（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；
（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．
16．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，
,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明
把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 17．如图（1），在矩形ABCD 中，8,6AB AD ==，点,E F 分别是边,DC DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ．
（1）问题发现
在图（1）中，CE
BG
_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CE
BG
的大小有无变化？请仅
就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形DFGE旋转至,,
B G E三点共线时，请直接写出线段CE的长．
18．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出
△PMN面积的最大值．
19．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE
△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
20．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中和△DCE 中，AB AC =，DC DE =，
60BAC CDE ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．填空：
①
AD
BE
的值为 ； ②∠ABE 的度数为 ．
（2）类比探究：如图2，在△ABC 中和△DCE 中，90BAC CDE ∠=∠=︒，30ABC DEC ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．请判断
AD
BE
的值及∠ABE 的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若3AB =，3
3
CD =
，请直接写出BE 的长．
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一、中考几何压轴题
1．（1）①AF ＝BE ，②90°；（2）AF ＝BE ，∠ABE ＝α．理由见解析；（3）BE 的长为2或4． 【分析】
（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC ＝45°，由平行线的性质可得∠FDB ＝ 解析：（1）①AF ＝BE ，②90°；（2）AF ＝BE ，∠ABE ＝α．理由见解析；（3）BE 的长为2或4． 【分析】
（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC ＝45°，由平行线的性质可得∠FDB ＝
∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；
②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；
（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得
△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；
（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在
BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得
1
==
4
AF CD
AB CB
、
1
==
2
AF CD
AB CB
，代入数
据求解即可；
【详解】
（1）问题发现：
如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°，
∴∠ADF＝∠EDB，
∵DA＝DE，DF＝DB
∴△ADF≌△EDB（SAS），
∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴∠ABE＝∠ADO＝90°
故答案为：①AF＝BE，②90°．
（2）拓展探究：
结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF ‖AC
∴∠ACB ＝∠FDB ＝α，∠CAB ＝∠DFB ，
∵AC ＝BC ，
∴∠ABC ＝∠CAB ，
∴∠ABC ＝∠DFB ，
∴DB ＝DF ，
∵∠ADF ＝∠ADE ﹣∠FDE ，∠EDB ＝∠FDB ﹣∠FDE ，
∴∠ADF ＝∠EDB ，
∵AD ＝DE ，DB ＝DF
∴△ADF ≌△EDB （SAS ），
∴AF ＝BE ，∠AFD ＝∠EBD
∵∠AFD ＝∠ABC +∠FDB ，∠DBE ＝∠ABD +∠ABE ，
∴∠ABE ＝∠FDB ＝α．
（3）解决问题
①如图（3）中，当点D 在BC 上时，
由（2）可知：BE ＝AF ，
∵DF ∥AC ， ∴1==4
AF CD AB CB ， ∵AB ＝8，
∴AF ＝2，
∴BE ＝AF ＝2，
②如图（4）中，当点D 在BC 的延长线上时，
∵AC ∥DF ， ∴1==2
AF CD AB CB ， ∵AB ＝8，
∴BE ＝AF ＝4，
故BE 的长为2或4．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角的性质和等角对等边的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及其性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理，涉及到的知识点较多，解题的关键是综合运用所学知识．
2．（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）【观察猜想】根据正方形ABCD ，得到AB=CB ，由等腰三角形BMN ，得到BM=BN ，可证明Rt △BAN ≌Rt △BCM （HL)，又根据E 是A
解析：（1）2CM BE =；CM BE ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）62-【分析】
（1）【观察猜想】根据正方形ABCD ，得到AB=CB ，由等腰三角形BMN ，得到BM=BN ，可证明Rt △BAN ≌Rt △BCM （HL)，又根据E 是AN 的中点，即可证明CM=2BE ，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM ，∠ABE+∠BMC=90∘即可证明CM ⊥BE ．
（2）【探究证明】延长BE 至F 使EF= BE ，连接AF ，先证明△AEF ≌△NEB ，再证明△FAB ≌MBC ，得到CM=BF=2BE ，∠BCM=∠ABF ，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB ⊥CM ；
（3）[拓展延伸] 由a=45°得到∠ABE= 15°，由前面可得∠BMC= 30°，过C 作CG ⊥MB 于G ，设CG 为m ，则2m ，3，所以3，最后求得
BC BN 的值． 【详解】
解:【观察猜想】(1)CM =2BE ；CM ⊥BE ；如图1所示
图1
∵正方形ABCD，
∴AB=CB，
∵等腰三角形BMN，
∴BM=BN，
∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，
∴∠BAN=∠BCM，
又∵E是AN的中点，
∴BE=AE=NE=1
AN，
2
∴CM=2BE，
∵BE=AE，
∴∠BAN=∠ABE，
∴∠ABE=∠BCM，
∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90∘
∴∠BPM=90∘
∴CM⊥BE．
【探究证明】
(2)CM = 2BE，CM ⊥ BE仍然成立．
如图2所示，延长BE至F使EF= BE，连接AF，
∵AE= EN，∠AEF=∠NEB，EF= BE，
∴△AEF≌△NEB
∴AF= BN，∠F=∠EBN，
∴AF//BN，AF= BM，
∴∠FAB+∠ABN = 180°，
∵∠MBN= ∠ABC= 90°，
∴∠NBC+∠ABN= 90°，
∴∠NBA+∠FAD= 90°，
∴∠CBN= ∠FAD
∴∠FAB=∠MBC ，
∵AB=BC ，
∴△FAB ≌MBC ，
∴CM=BF=2BE ，∠BCM=∠ABF ，
∵∠ABF+∠FBC=90°
∴∠BCM+∠EBC=90°，
∴EB ⊥CM ；
[拓展延伸] (3)由a=45°得 ∠MBA=∠ABN= 45°，
∵∠NBE= 2∠ABE ，
∴ ∠ABE= 15°，
由前面可得∠MCB=∠ABE= 15°，∠MBC= 135°，
∴∠BMC= 180°-15°-135°=30°，
如图3所示，过C 作CG ⊥MB 于G ，
图3
设CG 为m
则2，3，所以3， ∴2623BC m BM m m
-==- 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．
3．（1）；（2）①，理由见解析；②线段与所成的最小夹角为60；（3）．
【分析】
（1）根据已知求得AE =a+b ，CG =b-a ，根据线段中点的定义求得CM =，通过计算即可求解；
（2）①延长BM
解析：（1）12BM AE =；（2）①12
BM AE =，理由见解析；②线段BM 与AE 所成的最小夹角为60︒；（3）3BM AE =．
【分析】
（1）根据已知求得AE =a +b ，CG =b -a ，根据线段中点的定义求得CM =1122b a -，通过计算即可求解； （2）①延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，利用SAS 证明△CMB ≅△GMH 和△ABE ≅△HGB ，即可得到结论；
②延长MB 交AE 于N ，证明∠GBE =∠BNE =60︒，即可求解；
（3）延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，同理证明△CMB ≅△GMH ，再证明
△ABE ~△HGB ，即可求解．
【详解】
（1）12
BM AE =，理由如下： ∵菱形ABCD 与菱形 BEFG 的边长分别为a 和b ，
∴AE =AB +BE =a +b ，CG =BG -BC =b -a ，
∵点M 为CG 的中点，
∴CM =12CG =1122
b a -， ∴()1111122222
BM BC CM a b a a b a b =+=+-=+=+， ∴12
BM AE =； （2）①12BM AE =
，理由如下： 延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，如图：
∵点M 为CG 的中点，
∴CM =MG ，
∵∠CMB =∠GMH ，
∴△CMB ≅△GMH (SAS )，
∴∠BCM =∠HGM ，BC =HG ，
∴BC ∥GH ，
∴∠BGH +∠CBG =180︒，
∵菱形ABCD 与菱形 BEFG 中，∠ABC =120°，∠GBE =60°，
∴∠ABE +∠CBG =180︒，
∴∠ABE =∠BGH ，
∵AB =BC =HG ，BE =BG ，
∴△ABE ≅△HGB (SAS )，
∴AE = HB 12AE =； ②线段BM 与AE 所成的最小夹角为60︒，理由如下：
∵△ABE ≅△HGB ，
∴∠AEB =∠BHG ，
延长MB 交AE 于N ，
则∠MBE =∠BNE +∠AEB ，即∠HBG +∠GBE =∠BNE +∠AEB ，
∴∠GBE =∠BNE =60︒，
∴线段BM 与AE 所成的最小夹角为60︒； （3）32BM AE =，理由如下： 延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，如图：
同理可得：△CMB ≅△GMH (SAS )，
∴∠BCM =∠HGM ，BC =HG ，
∴BC ∥GH ，
∴∠BGH +∠CBG =180︒，
∵矩形ABCD 与矩形 BEFG 中，∠ABC =∠GBE =90°，
∴∠ABE +∠CBG =180︒，
∴∠ABE =∠BGH ，
∵
3BC EF AB BE == ∴3HG B AB G BE
== ∴△ABE ~△HGB ，
∴BH BG AE BE
== ∵12BM BH =
，
∴BM AE =． 【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）见解析；（2）①；②
【分析】
（1）过点作于，证，即可证得；
（2）①设，则，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再证明，可得，由此可得，进而可求得答案；
②过点P 作于点，先由①得，再证
解析：（1）见解析；（2）①AF FG =②CP = 【分析】
（1）过点G 作GH AB ⊥于H ，证ABE GHF ≅，即可证得FG AE =；
（2）①设AF EF x ==，则FB AB AF nBC x =-=-，利用勾股定理求得
2418n x BC AF n +=⋅=，再利用勾股定理表示出2221()4AE n BC =+，再证明ABE GHF ，可得AE AB AB n FG GH BC
===，由此可得222n FG AE =，进而可求得答案；
②过点P 作PM BC ⊥于点M ，先由①得32AE FG =
=∠BFE ＝∠CGP ，可得34
BE tan BFE BF ∠==，进而利用勾股定理可求得3BE =，4BF =，9AB =，最后根据BEF MPE △△，可得
EF BF BE PE ME MP ==，计算即可． 【详解】
（1）证明：如图，过点G 作GH AB ⊥于H ，则∠AHG ＝∠FHG ＝90°，
∵在正方形ABCD 中， ∴∠HAD ＝∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝AB ， ∴四边形AHGD 为矩形， ∴AD ＝HG ，
∴AB ＝HG ，
∵FG AE ⊥，
∴∠FQA ＝90°，
∴∠AFQ ＋∠BAE ＝90°， ∵∠FHG ＝90°，
∴∠AFQ ＋∠FGH ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FGH ， ∴在ABE △与GHF △中 BAE HGF AB HG
B FHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABE GHF ≅（ASA ）， ∴FG AE =；
()2①∵点E 为BC 的中点， ∴12
BE CE BC ==
， ∵折叠，
∴设AF EF x ==， ∴FB AB AF nBC x =-=-， 在Rt BFE 中，BF 2＋BE 2＝EF 2，
∴()2221()2nBC x BC x -+=， 解得：2418n x BC AF n
+=⋅=， 又∵222AE AB BE =+， ∴2221()4
AE n BC =+， 如图，过点G 作GH AB ⊥于H ，则∠AHG ＝∠FHG ＝90°，
∵在矩形ABCD 中， ∴∠HAD ＝∠BCD ＝∠B ＝90°， ∴四边形AHGD 为矩形， ∴BC ＝HG ，
∵∠FHG ＝90°，
∴∠AFQ ＋∠FGH ＝90°， ∵FG AE ⊥，
∴∠FQA ＝90°，
∴∠AFQ ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FGH ， 又∵∠FHG ＝∠D ＝90°， ∴
ABE GHF ， AE AB AB n FG GH BC
∴===， AE nFG ∴=，
222n FG AE ∴=，
22221()4
n FG n BC +∴=， 22
22414n FG BC n +∴=⋅， 又∵2418n AF BC n
+=⋅， 22
2
22(41)64n AF BC n +∴=⋅， ∴2224116
AF n FG +=， ∴241AF n FG += ②如图，过点P 作PM BC ⊥于点M ，
∵210GF =32n =
， ∴由①得33102
AE FG == ∵∠EPG ＝∠GCE ＝90°，∠EOC ＝∠GOP ，
∴∠CGP ＝∠OEC ，
∵∠FEP ＝∠B ＝90°，
∴∠OEC ＋∠BEF ＝90°，∠BFE ＋∠BEF ＝90°，
∴∠BFE ＝∠OEC ，
∴∠BFE ＝∠CGP ，
又∵34tan CGP ∠=
， ∴34
BE tan BFE BF ∠==， ∴设3BE x =，4BF x =，
则5EF AF x ==，9AB x =，
()()(2
2293310x x ∴+=， 解得：1x =，
3BE ∴=，4BF =，9AB =，
263
BC AB ∴==， 3CE ∴=，6PE AD ==，
90FEP FAD ∠=∠=︒，
BEF
MPE ∴， EF BF BE PE ME MP
∴==， 5436ME MP
∴==， 245ME ∴=，185MP =， 249355
CM ∴=-=，
CP ∴== 【点睛】
本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，题目综合性较强，有一定的难度，熟练掌握并灵活运用相关知识是解决本题的关键．
5．动手实践：，、、；（1）5，10；（2）见解析；（3）
【分析】
动手实践：由等腰Rt △AEF 与正方形ABCD 可得AF=AE ，AB=AD ，
∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE ，即可得
解析：动手实践：ABF ，F 、B 、C ；（1）5，10；（2）见解析；（3）3
【分析】
动手实践：由等腰Rt △AEF 与正方形ABCD 可得AF =AE ，AB =AD ，∠ABC =∠BAD =90°，可得出∠BAF =∠DAE ，即可得△ADE ≌△ABF ，根据全等三角形的性质可得∠ABF =∠D =90°，则∠ABF +∠ABC =180°，即F 、B 、C 三点共线；
（1）若n =2，则DC =2DE ，即点E 是CD 的中点，可证出△ADE ≌△ABF ，根据全等三角形的性质可得FB =DE =12CD =12AB ，再证出△FBG ∽△FCE ，可得13
BG FB CE FC ==，可得BG =13CE =16AB ，即可得出=5AG BG
，根据三角形的面积公式分别表示S △AGE 和S △BGF ，即可得出S △AGE 和S △BGF 的比值；
（2）若n =3，则DC =3DE ，由（1）得△ADE ≌△ABF ，根据全等三角形的性质可得
FB =DE =13CD =13AB ，再证出△FBG ∽△FCE ，可得4CE FC BG FB ==，可得4BG =CE =23
AB ，可得出BG ==16
AB ，即可得出结论； （3）根据AG 为GB 的6倍得AG =6GB ，则AG =67AB =67CD ，BG =17
CD ，由（1）得△FBG ∽△FCE ，则BG EC FB FC =，可得出BG •FC =EC •FB ，即17
CD （BF +BC ）=（DC -DE ）BF ，设
CD =x ，DE =a ，由DE =BF ，BC =CD 可得x 2-6ax +7a 2=0，解得：x =（a ，或x =（）
a ，即CD =（DE ，或CD =（DE ，n 或
【详解】
解：动手实践：∵等腰Rt △AEF 与正方形ABCD ，
∴AF =AE ，AB =AD ，∠ABC =∠BAD =90°，
∴∠BAF =∠DAE ，
∴△ADE ≌△ABF ，
∴∠ABF =∠D =90°，
∴∠ABF +∠ABC =180°，即F 、B 、C 三点共线，
故答案为：ABF ，F 、B 、C ；
（1）若n =2，则DC =2DE ，即点E 是CD 的中点，
：∵等腰Rt △AEF 与正方形ABCD ，
∴AF =AE ，AB =AD ，∠ABC =∠BAD =90°，
∴∠BAF =∠DAE ，
∴△ADE ≌△ABF ，
∴FB =DE =12CD =1
2AB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ∥CD ，
∴△FBG ∽△FCE ， ∴13BG FB CE FC ==， ∴BG =13
CE =16AB ， ∴AG =AB -BG =56
AB ， ∴=5AG BG
， ∵S △AGE =12AG •BC =12×56AB ×AB =512
AB 2， S △BGF =12BG •BF =12×16AB ×12AB =124
AB 2， ∴10AGE BGF
S S ∆∆=， 故答案为：5，10；
（2）证明：若n =3，则DC =3DE ，
由（1）得△ADE ≌△ABF ，
∴FB =DE =13CD =13
AB ， 由（1）得△FBG ∽△FCE ， ∴4CE FC BG FB
==， ∴4BG =CE =23
AB ， ∴BG =16
AB ， ∴AG =AB -BG =56
AB ， ∴AG =5GB ；
（3）∵AG 为GB 的6倍，
∴AG =6GB ，
∴AG =67AB =67CD ，BG =17
CD ，
由（1）得△FBG ∽△FCE ， ∴BG EC FB FC =， ∴BG •FC =EC •FB ，即17
CD （BF +BC ）=（DC -DE ）BF ， 设CD =x ，DE =a ，
∵DE =BF ，BC =CD ，
∴17
x （a +x ）=（x -a ）a ， 整理得：x 2-6ax +7a 2=0，
解得：x =（3+2）a ，或x =（3-2）a ，
即CD =（3+2）DE ，或CD =（3-2）DE ，
∴n =3+2或3-2．
故答案为：3+2或3-2．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 6．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）证明是等腰直角三角形即可．
（2）结论成立．取的中点，连接，．证明，推出，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，取的中点，连接．当
解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）
5262+或5262
- 【分析】
（1）证明BDE ∆是等腰直角三角形即可．
（2）结论成立．取BC 的中点F ，连接EF ，AF ．证明EAF DAC ∆∆∽，推出
45EFA DCA ∠=∠=︒，再证明()EFB EFA SAS ∆≅∆，可得结论． （3）分两种情形：如图(31)-中，取BC 的中点F ，连接AF ．当点D 在线段BF 上时，如图(32)-中，当点D 在线段CF 上时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图（1）中，
ABC ∆，AED ∆都是等腰直角三角形，
45B ∴∠=︒，90AED BED ∠=∠=︒，
45B BDE ∴∠=∠=︒，
EB ED ∴=，
故答案为：=．
（2）如图（2）中，结论成立．
理由：取BC 的中点F ，连接EF ，AF ．
AB AC =，90BAC ∠=︒，BF CF =，
AF BC ∴⊥，AF CF BF ==，2AC AF =，
ADE ∆，AFC ∆都是等腰直角三角形，
2AD AE ∴=，45EAD CAF ∠=∠=︒，
EAF DAC ∴∠=∠，22
AE AF AD AC ==， EAF DAC ∴∆∆∽，
45EFA DCA ∴∠=∠=︒，
45EFB EFA ∴∠=∠=︒，
FE FE =，FB FA =，
()EFB EFA SAS ∴∆≅∆，
BE AE ∴=，
AE DE =，
EB ED ∴=．
（3）如图(31)-中，取BC 的中点F ，连接AF ．当点D 在线段BF 上时，
5AB AC ==， 225552BC ∴=+=，
522
AF CF BF ∴===， 7BE DE AE ===，
214AD AE ∴==，
在Rt ADF 中，222561422
DF AD AF =-=-
=， 5262CD CF DF +∴=+=． 如图(32)-中，当点D 在线段CF 上时，同法可得，62
DF =，
526CD CF DF -∴=- 综上所述，CD 526+526- 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE ，证明见解析；（3），
【分析】
（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一
解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB =90°，AE =2CM +BE ，证明见解析；（3）31-31+ 【分析】
（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD =BE ，∠ADC =∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD =BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM =DM =ME ，从而证到AE =2CH +BE ．
（3）由PD =1可得：点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD =90°可得：点P 在以BD 为直径的圆上．显然，点P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1．∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，
∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，
∴∠ACD =∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，
∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴∠ADC =∠BEC ．
∵△DCE 为等边三角形，
∴∠CDE =∠CED =60°．
∵点A ，D ，E 在同一直线上，
∴∠ADC =120°，
∴∠BEC =120°，
∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD ≌△BCE ，
∴AD =BE ．
故答案为：AD =BE ．
（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．
理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，
∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，
∴∠ACD =∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）点A到BP 31
-31
+
．理由如下：
∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC2，∠BAD=90°，
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP3
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP =2AH +PD ， ∴3=2AH +1，
∴AH =312
-．
②当点P 在如图3②所示位置时，连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ，过点A 作AE ⊥AP ，交PB 的延长线于点E ，如图3②．
同理可得：BP =2AH ﹣PD ， ∴3=2AH ﹣1，
∴AH =312+． 综上所述：点A 到BP 的距离为312
-或312+． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
8．（1）120°，BD=AC ；（2）不成立，理由详见解析；（3）或．
【分析】
（1）过点D 作DE ⊥BC ，通过线段之间的转换得到AC 与DE 之间的关系，在直角三角形BDE 中通过BD 与DE 的关系，得到BD
解析：（1）120°，7AC ；（2）不成立，理由详见解析；（32或32
【分析】
（1）过点D 作DE ⊥BC ，通过线段之间的转换得到AC 与DE 之间的关系，在直角三角形BDE 中通过BD 与DE 的关系，得到BD,AC 之间的关系.
（2）类比（1）的解法，找线段之间的关系.
(3)分情况进行讨论，画出符合题意得图形进行求解.
【详解】
解：（1）如图3，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，设BC=m ．
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，由BC=AB·
tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m ，3， ∵AC=AD ，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m ， ∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt △DEC 中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m ，
∴CE=CD·cos60°=m ，DE=CE·tan60°3，∴在Rt △BED 中，()()2232m m +7m ， ∴BD AC 7m 7，故7AC ．故答案为：120°；7AC ． （2）不成立，理由如下：
设BC=n ，在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m ，22， ∵AC=AD ，∠CAD=90°，∴△CAD 为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，2， ∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt △BCD 中，()2
22n n +5n ， ∴BD AC 52n n
1010．答案为：90°；10．故结论不成立． （3）AP 2或32
∵PB=PC ，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A 、B 、C 、P 四点共圆，以线段BC 的中点为圆心构造⊙O ，如图4，图5，分类讨论如下：
①当点P 在直线BC 上方时，如图4，作PM ⊥AC ，垂足为M ，设PM=x ．
∵PB=PC ，∠BPC=90°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，
∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM=PM=x ，22x ，
在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∴222+452∴PC=BC·
sin45°10 在Rt △PMC 中，∵∠PMC=90°，PM=x ，10，CM=4-x ，∴()222410x x +-=， 解得：11x =，23x =（舍），∴2x 2
②当点P 在直线BC 的下方时，如图5，作PN ⊥AB 的延长线，垂足为N ，设PN=y ． 同上可得10△PAN 为等腰三角形，∴AN=PN=y ，∴BN=y-2，
在Rt △PNB 中，∵∠PNB=90°，PN=y ，BN=y-2，10，∴()222210y y +-=， 解得：13y =，21y =-（舍），∴2=32AP 2或32
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握类比思想解题是解决本题的关键．
9．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】
（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题
解析：（1）①BE ；②333；③等边，证明见解析；（2）①3；13 【分析】
（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=BC CD =，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E 为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB 为底的高最长即可，此时当B'E ⊥AB 时，△ABB'的面积最大；
②当E 、B′、C 三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ 取得最小值，且最小值为EC 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E ，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=32，
∠B=∠EB′C=90︒，
①点B′在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；
②B′M=MN - B′N=22MN B C NC '-- =2
23332⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =3332
-； ③B′D=222222B N ND B C NC ND BC BC CD +=-+===''，
∴△DB'C 为等边三角形；
故答案为：①BE ，②3332
-
，③等边； （2）①∵AB=3=3AE ，
∴AE=1，BE=2，
故点B'在以点E 为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB 为底的高最长即可，
∴当B'E ⊥AB 时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值1132322
AB E B =
⨯=⨯⨯='； ②∵∠AQP=∠AB'E ，
∴PQ ∥B'E ，
∵P 为AE 的中点，
∴Q 为AB'的中点， ∴PQ 为△AEB'的中位线，
∴PQ=12EB'，即12
EB'=2PQ ， ∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E 、B′、C 三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ 取得最小值，
且最小值为EC 的长，
∴EC=2222
+=+=，
BC BE
3213
∴B'C+2PQ的最小值为13．
故答案为：①3；②13．
【点睛】
本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
10．（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性
解析：（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1，连接PC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，。