高中数学《任意角》教学课件

理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例 即可． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正 负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
5.1.1 任意角
[跟进训练]
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A．k·360°＋230°
B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70°
D．k·180°＋270°
B [∵ 610°＝360°＋250°，故选 B.]
5.1.1 任意角
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 任意角的概念 类型2 终边相同的角的表示及应用 类型3 象限角及区域角的表示
3.如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________.
图(1) [答案] 110° －70°
图(2)
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知识点 3 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与_原__点__重合，角的始边 与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的_终__边__在第几象限，就说这个角是 第几_象__限__角__；如果角的终边在_坐__标__轴__上__，那么就认为这个角不属于 任何一个象限．
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
2.下图中从 OA 旋转到 OB，OB1，OB2 时所成的角度分别是
________、________、________.
图(1) [答案] 390° －150° 60°
图(2)
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知识点 2 角的加法与减法 设 α，β 是任意两个角，－__α__为角 α 的相反角． (1)α＋β：把角 α 的_终__边__旋转角 β. (2)α－β：α－β＝_α_＋__(_－__β_) ___.
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知识点 4 终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝_α_＋__k_·3_6_0_°__，k∈Z}， 即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的 和．
5.1.1 任意角
5.1.1 任意角
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类型 1 任意角的概念 【例 1】 (1)下列结论： ①始边相同而终边不同的角一定不相等； ②小于 90°的角是第一象限角； ③钝角比第三象限角小； ④角 α 与－α 的终边关于 x 轴对称． 其中正确的结论为________(填序号)．
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2.“锐角”“第一象限角”“小于 90°的角”三者有何不 同？
[提示] 锐角是第一象限角也是小于 90°的角，而第一象限角可以 是锐角，也可以是大于 360°的角，还可以是负角，小于 90°的角可以是 锐角，也可以是零角或负角．
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[解] (1)与 α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴33116≤k＜63116(k∈Z)，故取 k＝4,5,6.
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3.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ [提示] 终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍；相等 的角，终边相同．
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5.与 610°角终边相同的角可以表示为(其中 k∈Z)( )
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1．(1)射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置，由 OB 位
置顺时针旋转 270°到达 OC 位置，则∠AOC＝( )
A．150°
B．－150°
C．390°
D．－390°
(2)若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为( )
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4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)第二象限角是钝角．( ) (3)225°是第三象限角．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√
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[跟进训练] 2．已知 α＝－1 845°，在与 α 终边相同的角中，求满足下列条件 的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角．
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类型 2 终边相同的角的表示及应用 【例 2】 (1)写出与 α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合 中适合不等式－720°≤β＜360°的元素 β 写出来； (2)写出终边落在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S，S 中适合不等式 －360°<β<360°的元素有哪些？
[解] 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角 α 终边相同的角的集合是
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
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学习任务
核心素养
1．了解任意角的概念，能正确区 通过正角和负角理解角的大小、
分正角、零角和负角．(重点) 旋转方向，通过角的终边所在的
2．理解象限角的意义，掌握终边 象限的讨论，培养数学抽象与逻
相同的角的意义与表示．(重点、 辑推理核心素养.
难点)
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NO.1 情境导学·探新知
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如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时． (1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过 360°？ (2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观 察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？ 如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
k＝4 时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5 时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6 时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
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(2)直线 y＝－x 过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线， 故在 0°～360°范围内终边在直线 y＝－x 上的角有两个：135°，315°.
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2．终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差 180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍．
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由于－360°<β<360°， 即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z. 解得－141<n<54，n∈Z.所以 n＝－2，－1,0,1. 所以集合 S 中适合不等式－360°<β<360°的元素为： 135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°； 135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°.
A．120°
B．－120°
C．－60°
D．60°
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(1)B (2)B [(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以 120° ＋(－270°)＝－150°，故选 B.
(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－142 ×360°＝－120°.]
1.终边和始边重合的角一定是零角吗？ [提示] 不一定，还有可能是±360°，±720°，…
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1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)大于 90°的角都是钝角．( ) (2)零角的终边与始边重合．( ) (3)从 13：00 到 13：10，分针转过的角度为 60°.( ) (4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
因此，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β ＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝ 135°＋n·180°，n∈Z}．
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(2)角的推广与分类——正角、负角和零角
类型
定义
图示
正角 按_逆__时__针__方向旋转形成的角
负角 按_顺__时__针__方向旋转形成的角 零角 射线 OA 没有作任何旋转，终边 OB 与 OA
重合
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1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β ＜360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当 所给角是负角时，采用连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 提醒：表示终边相同的角，k∈Z 这一条件不能少．
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(2)如图，射线 OA 先绕端点 O 逆时针方向旋转 60°到 OB 处，再按 顺时针方向旋转 820°至 OC 处，则 β＝__________.
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(1)①④ (2)－40° [(1)①正确；②错误；如 α＝－30°是第四象限 角；③错误，如 α＝－110°；④正确．
(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故 β＝－100°＋60°＝－40°.]
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知识点 1 任意角 (1)角的旋转定义 自然语言 角可以看成一条射线绕着它的_端__点__旋转所成的图形 符号语言 O 为顶点，射线 OA 为始边，OB 为终边，α＝∠AOB
图形语言
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