导数之构造函数解函数值不等式问题教师版

导数之构造函数解函数值不等式问题教师版
1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()05f =，则不等式()3e 2x
f x -->的解集为__________. 【答案】{}0x x >构造函数()()e 2e x x
g x f x =-，则该函数的定义域为R ，且()()0023g f =-=，所以，
()()()e 20x g x f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，则函数()g x 在R 上为增函数，由()3e 2x f x -->可得()e 2e 3x x
f x ->，即
()()0g x g >，解得0x >.因此，不等式()3e 2x f x -->的解集为{}0x x >.
2．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≥时，()1f x '>，则不等式(2)(21)3f x f x x +--≥-的解集为___________．
【答案】(],3-∞解：令()()g x f x x =-，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()()g x f x x f x x f x x g x -=---=-+=--=-⎡⎤⎣⎦，即函数()g x 为奇函数，
因为当0x ≥时，()1f x '>，所以当0x ≥时，()()''10g x f x =->，即函数()()g x f x x =-在区间[)0,∞+上单调递增，
因为函数()g x 为奇函数，所以函数()()g x f x x =-在R 上单调递增，
所以(2)(21)3f x f x x +--≥-等价于()()(2)2(21)21f x x f x x +-+≥---，即()()221g x g x +≥-， 所以221x x +≥-，解得3x ≤.
3．已知函数2()ln f x a x x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()
1212
2f x f x x x ->-，则实数a 的最小值为
______．
【答案】解：设12x x >，则对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有
()()
1212
2f x f x x x ->-等价于()()()12122f x f x x x ->-，
即()()112222f x x f x x ->-，令2()()2ln 2g x f x x x a x x =-=+-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()220a
g x x x
'=+
-≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≥-+在(0,)+∞上恒成立， 所以(
)
2
max
22a x x
≥-+，又()
2
2
max
1112222222x x ⎛⎫
-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭
，所以12a ≥，
所以实数a 的最小值为1
2.
4．定义在(,0)-∞的可导函数()f x ，其导数为()'f x 且3()()0f x xf x '+<，则不等式3(2022)(2022)8(2)0x f x f +++-<的解集为__________．
【答案】(2024,2022)--【解析】【分析】构造函数()()3
g x x f x =，则所要求解的不等式可化为()()20222g x g +<-，
利用题设条件判断()g x 的单调性即可求解
【详解】构造函数 ()()3
g x x f x =()()()()23g x x f x xf x +'='
当0x <时,()()30f x xf x '+<,20x >()0g x '∴<()g x ∴在(),0∞-上单调递减；
()()()()32022(2022)2022,282g x x f x g f +=++-=--∴由不等式()()3(2022)2022820x f x f +++-< 得
()()3
(2022)202282x f x f ++<--()()20222g x g ∴+<-
20222x ∴+>-且20220x +< 20242022x ∴-<<-;∴ 原不等式的解集为 ()2024,2022--.
5．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，
则使得
()
()
lg 0lg f x g x <的解集是________ 【答案】11(100,)100⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭,【解析】【分析】构造函数()()()f x h x g x =，求出()h x 的单调性及奇偶性，由
()
()
lg (lg )0lg f x h x g x =
<得到不等式，解不等式即可.
【详解】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]2
()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减， 又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减，
又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==，故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()
()
lg (lg )0lg f x h x g x =
<，
得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得
11100<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫
⋃+∞
⎪⎝⎭
,. 6．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，①当0x ≥时，()210f x x '++≥.
若不等式()()2
21331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为________.
【答案】{|x 2
3
x <-或0x >}【详解】设2()()g x f x x x =++，则()()210g x f x x ''=++≥，在0x ≥时成立，
所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，又由()()2f x f x x =--，得
222()()()2()()g x f x x x f x x x x f x x x g x -=-+-=++-=++=， ()g x 偶函数， 22(21)(21)(21)(21)(21)462
g x f x x x f x x x +=+++++=++++22(1)(1)(1)1(1)32g x f x x x f x x x +=+++++=++++，不等式()()2
21331f x x x f x +++>+变形为：
22(21)462(1)32f x x x f x x x ++++>++++，即(21)(1)g x g x +>+，所以(21)(1)g x g x +>+，所以211x x +>+，
22(21)(1)x x +>+，2320x x +>，23x <-或0x >．故答案为：{|x 2
3
x <-或0x >}．
7．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，且()22f =，则()e e 0x x
f -≥的解集是______．
【答案】(],ln 2∞-
【详解】令()()
f x
g x x
=，则()()()2f x x f x g x x -=''，因为定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，
所以()()
2
()0'-'=<f x x f x g x x 在()0,∞+上恒成立， 所以函数()()=f x g x x 在()0,∞+上单调递减；又()22f =，所以()()
2212f g ==，
由()e e 0x
x
f -≥得
()e 1e x x
f ≥，所以()()e
12x
g g ≥=故e
2x
≤，则ln 2x ≤，所以()e e 0x x
f -≥的解集是(],ln 2∞-
8．函数()f x 的定义域为R ，()15f =，若对任意的x ∈R ，都有()23x f x '<成立，则不等式()3
4f x x <+的解集为
___________.【答案】()1,+∞【详解】解：任意的x ∈R ，都有()2
3x f x '<，即()20
3f x x -<'
要解()3
4f x x <+，()15f =∴设3()()4h x f x x =--，则2()()30h x f x x ''=-<，
()h x ∴在R 上单调递减，又()()311140h f =--=而()()33()4014f x x f x x h ⇔--<=<+，即()()1h x h <
1x ∴>，即原不等式的解集为()1,+∞；故答案为：()1,+∞．
9．已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x
f x f x ⋅>的解集为______．
【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x
'''+⋅<⇔
+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦， 故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，
当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x x
f x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦， 而()()44x
h x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦
为奇函数，则当0x >时，当()440x f x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，
故当x ∈R 时，()440x
f x ⎡⎤⋅->⎣⎦
的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃． 故答案为：()(),10,1-∞-⋃
10．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为f
x ，若对任意实数x ，都有()()f x f x '>，且()02022f =，则不等
式()2022e 0x
f x -<的解集为______．
【答案】{}0x x <【解析】【分析】构造()
()e
x f x g x =
，利用导数及已知条件易证()g x 在R 上的递增，再由不等式等价于()(0)g x g <，根据单调性即得解集.【详解】由题设，令()
()e x f x g x =
，则()()()0e
x
f x f x
g x '-'=>，
所以()g x 在定义域上递增，又()2022e 0x
f x -<等价于0()(0)
()(0)e e
x f x f g x g =
<=，所以，由单调性知不等式解集为{|0}x x <.故答案为：{|0}x x <.
11．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，其导函数为()'f x ，当02
x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则
关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫
<⋅ ⎪⎝⎭
的解集为________________ .
【答案】,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
.证明出()g x 为奇函数且为减函数.
吧()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4
cos cos 4f f x x ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭<，即可解出.【详解】记函数()()cos f x g x x =
，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ()()cos()f x g x x --=
-.因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()
()()cos()cos f x f x g x g x x x
--=
=-=--， 所以()g x 为奇函数.则2()cos ()sin ()cos f x x f x x
g x x
'+'=.
当02
x π
<<
时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 为减函数.
又()g x 为奇函数，所以()g x 的图像关于原点对称，所以，在,02
π
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上()g x 为减函数.
关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4
cos cos 4f f x x ππ
⎛⎫ ⎪
⎝⎭<，即()()4g x g π<，
所以
4
2
x π
π
<<
.
12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '->，且()20f -=，则不等式()
0f x x
>的解集是___________.
【答案】(2,0)(2,)-+∞设()()''
2
()()()f x xf x f x g x g x x x
-=⇒=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->， 所以当0x >时，'()0,()g x g x >单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以当0x ≠时，
()()
()()f x f x g x g x x x
--=
=-=--，所以函数()g x 是奇函数，故当0x <时，函数()g x 也是增函数， 因为()20f -=，所以()20f =，所以()20g -=，()20g =，当0x >时，由()0(2)2g x g x >=⇒>， 当0x <时，由()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<，故答案为：(2,0)(2,)
-+∞。