2020年高考数学(理)抢分秘籍14 选考内容(解析版)

秘籍14 选考内容
1.在平面直角坐标系中，坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（
2√33
，π
2）．圆C 的参数方程为{x =2+2cosθ
y =−3+2sinθ
，（θ为参数）．
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系． 【解答】：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，0），（
2√33
，π
2），
所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0，2√3
3
），P 为线段MN 的中点（1，√3
3
），
直线OP 的平面直角坐标方程y=√3
3x ；
（Ⅱ）圆C 的参数方程{x =2+2cosθy =−3+2sinθ（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2
=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，
直线l 上两点M ，N 的直角坐标分别为M （2，0），N （0，2√3
3
），方程为x+√3y ﹣2=0，
圆心到直线的距离为：
|2−3√3−2|√12+(√3)
2=3√3
2＞2， 所以，直线l 与圆C 相离．
极坐标与直角坐标的互化方法
（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x 轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．
（2）互化公式：设M 是平面内任一点，它的直角坐标是（x ，y ），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan (0)x y y
x x ρθ⎧=+⎪
⎨=≠⎪
⎩
．
2.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =t
+
1
y =2t +6（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2
﹣4ρcos θ+3=0． （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最大值和最小值． 【解答】：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为{x =t +1
y =2t +6（其中t 为参数），
∴直线l 的普通方程为y=2x+4，
∵曲线C 的极坐标方程为ρ2
﹣4ρcos θ+3=0．ρ2
=x 2
+y 2
，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ， ∴曲线C 的普通方程为x 2
+y 2﹣4x+3=0．
（Ⅱ）如图，过圆心C 作l 的垂线m ，交圆于A 、B 两点，
则A 点到直线l 的距离最小，B 点到直线l 的距离最大，记垂足为Q ， 则|CQ|=√5=
8√5
5
，∴圆上点P 到l 的距离的最小值为|AQ|=
8√55﹣1，最大值为|BQ|=8√5
5
+1．
1．参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变
量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩
（
），（）就是曲线的参数方程．
（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．
（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆
以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋r cos α，
y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．
当圆心在（0，0）时，方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos α，
y ＝r sin α，其中α是参数．
（2）椭圆
椭圆x 2a 2＋y 2
b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．
椭圆x 2b 2＋y 2
a 2=1（a >
b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，
其中φ是参数．
（3）直线
经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．
3．已知函数f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2
﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．
【解答】：（1）∵f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−1
2x −1，−1≤x ≤23，x ＞2
，f （x ）≥1，
∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x|x ≥1}．
（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2
+x ≥m 成立，
即m ≤[f （x ）﹣x 2+x]max ，设g （x ）=f （x ）﹣x 2
+x ．
由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1
−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2
，
当x ≤﹣1时，g （x ）=﹣x 2
+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=1
2＞﹣1， ∴g （x ）≤g （﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x ＜2时，g （x ）=﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=3
2∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=﹣94+92﹣1=5
4；
当x ≥2时，g （x ）=﹣x 2
+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=1
2＜2，∴g （x ）≤g （2）=﹣4+2+3=1； 综上，g （x ）max =5
4
，∴m 的取值范围为（﹣∞，5
4
]．
1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法
（1）若c >0，则|ax ＋b |≤c ⇔–c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋
b ≥
c 或ax ＋b ≤–c ，然后根据a ，b 的取值求解即可；
（2）若c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R ． 2．|x –a |＋|x –b |≥c ，|x –a |＋|x –b |≤c （c >0）型不等式的解法
零点分区间法
零点分区间法的一般步骤为：
①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．
几何法（利用|x –a|
的几何意义）
由于|x –a|+|x –b|与|x –a|–|x –b|分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点
的距离之和与距离之差，因此对形如|x –a|+|x –b|≤c （c >0）或|x –a|–|x –b|≥c （c >0）
的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
数形结合法
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函
数的零点并画出函数图象是解题的关键．
3．|f （x ）|>g （x ），|f （x ）|<g （x ）（g （x ）>0）型不等式的解法： ①|f （x ）|>g （x ）⇔f （x ）>g （x ）或f （x ）<–g （x ）； ②|f （x ）|<g （x ）⇔–g （x ）<f （x ）<g （x ）．
4．设函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|x+2|，若﹣2＜f （a ）＜0，﹣2＜f （b ）＜0． （1）证明：|a+b|＜1；
（2）比较2|a ﹣b|与|1﹣4ab|的大小．
【解答】：（1）f(x)={3，x ＜−2
−2x −1，−2≤x ＜1−3，x ≥1
，由{
−2≤x ＜1
−2＜−2x −1＜0
得−12＜x ＜1
2．
从而−1
2
＜a ＜1
2
，−1
2
＜b ＜1
2
，即|b|≤1
2
．|b|＜1
2
；
所以|a +b|≤|a|+|b|＜12
+1
2
=1．
（2）（2|a ﹣b|）2﹣|1﹣4ab|2
=（4a 2﹣1）（4b 2
﹣1）． 由（1）得a 2＜14，b 2＜1
4，
所以（4a 2
﹣1）（4b 2
﹣1）＞0，故2|a ﹣b|＞|1﹣4ab|．
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． （1）如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；
（2）如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；（3）如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．
在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．
1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4√2
ρcos（θ﹣π
4
）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．
【解答】：（1）由ρ2−4√2ρcos(θ−π
4)+6=0，得ρ2−4√2ρ(cosθcosπ
4
+sinθsinπ
4
)+6=0，
即ρ2−4√2ρ(√2
2cosθ+√2
2
sinθ)+6=0，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，
即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=√2cosα，y﹣2=√2sinα．
得圆的参数方程为{x=2+√2cosα
y=2+√2sinα
（α为参数）；
（2）由（1）得：x+y=4+√2(cosα+sinα)=4+2sin（α+π
4
），
∴当sin（α+π
4
）=1时，x+y的最大值为6，
当sin（α+π
4
）=﹣1时，x+y的最小值为2．
故x+y的最大值和最小值分别是6和2．
1．将参数方程化为普通方程的方法
（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin2θ+cos2θ=1等；
（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况．
2．将普通方程化为参数方程的方法
只要适当选取参数t ，确定x =f （t ），再代入普通方程，求得y =g （t ），即可化为参数方程x f t y g t =⎧⎨=⎩
（
），（）．注
意参数t 的意义和取值范围．
选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数． 3．化参数方程为普通方程的基本思路
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式”．一般与极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法，结合图形，合理转化，加以求解．
2.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cos θ+sin θ）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）直线l ：{x =1
2t
y =1+√3
2t （t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|． 【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cos θ+sin θ） ∴ρ2
=2ρcos θ+2ρsin θ，∴x 2
+y 2
=2x+2y 即（x ﹣1）2
+（y ﹣1）2
=2
（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2
﹣t ﹣1=0， 所以|AB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=√1+4=√5
1．求解与极坐标有关问题的主要方法
（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；
（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
2．对于直线l 的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at
y ＝y 0＋bt （t 为参数）
易忽视只有满足a 2＋b 2=1时t 才有几何意义．
3．已知函数()|22|5f x x =+-.
（1）解不等式：()|1|f x x ≥-;
（2）已知1m ≥-,若函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形,求实数m 的取值范围. 【解析】（1）依题意,|22|5|1|x x +-≥-,
①当1x <-时,原式化为2251x x ---≥-,解得8x ≤-; ②当11x -≤≤时,原式化为2251x x +-≥-,解得4
3
x ≥,∵11x -≤≤,∴此时原不等式无解; ③当1x >时,原式化为2251x x +-≥-,解得2x ≥. 综上所述,不等式()|1|f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . （2）依题意,()(1)|22|5(|1|5)|1|0g m g m m m --=+--+-=+≥, 故()(1)g m g ≥-,当且仅当1m =-时取等号. 若1m =-,则()3|1|5g x x =+-满足题意;
若1m >-,则33,,
()|||22|53,1,37,1,
x m x m g x x m x x m x m x m x --≥⎧⎪
=-++-=+--≤<⎨⎪-+-<-⎩
因为()(1)g m g >-,此时函数()g x 的图象和x 轴围成一个三角形等价于()230,
(1)40,g m m g m =-≥⎧⎨-=-<⎩
解得3[,4)2m ∈.综上所述,实数m 的取值范围为3
[,4){1}2
-U .
1．可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f （x ）=|x –a |＋|x –b |或f （x ）=|x –a |–|x –b |的最值． 2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：
f （x ）>a 恒成立⇔f （x ）min >a ；f （x ）<a 恒成立⇔f （x ）max <a ；f （x ）>a 有解⇔f （x ）max >a ；f （x ）<a 有解⇔f （x ）min <a ；f （x ）>a 无解⇔f （x ）max ≤a ；f （x ）<a 无解⇔f （x ）min ≥a ．
4．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．
【解答】：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|；
则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6；
①当x≥2时，原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6，解得：x≥3；
≤x＜2时，原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6，解得：x≥5．此时不等式无解；
②当1
2
③当x＜1
时，原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6，解得：x≤﹣1；
2
∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；
（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|；
即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立；
而|2x+a|+2|x﹣2|=|2x+a|+|2x﹣4|≥|（2x+a）﹣（2x﹣4）|=|a+4|；
∴|a+4|≥3a2；∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2；
或a∈∅；
解得−1≤a≤4
3
]．
所以a的取值范围是[−1，4
3
1．不等式恒成立问题
不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为φ的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x）>m的解集为φ，则f（x）≤m恒成立．
2．不等式能成立问题
（1）在区间D上存在实数x使不等式f（x）>A成立，等价于在区间D上f（x）max>A；
（2）在区间D上存在实数x使不等式f（x）<B成立，等价于在区间D上f（x）min<B．
3．不等式恰成立问题
（1）不等式f（x）>A在区间D上恰成立，等价于不等式f（x）>A的解集为D；
（2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ．
5．设函数f （x ）=|3x ﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f （x ）﹣f （2﹣x ）＞x ； （Ⅱ）若a+b=2，证明：f （a 2
）+f （b 2
）≥4．
【解答】：（Ⅰ）不等式f （x ）﹣f （2﹣x ）＞x ⇔|3x ﹣1|﹣|3x ﹣5|＞x ． 可化为{x ＞13−4＞x 或{13≤x ≤536x −6＞x 或{x ＞5
34＞x ，⇒x ∈∅，或65＜x ≤53或53＜x ＜4．
∴原不等式解集为（6
5，4]． （Ⅱ）证明：∵a+b=2，∴
a 2+
b 2
2
≥(
a+b 2
)2
=1，即a 2+b 2
≥2，
f （a 2
）+f （b 2
）=|3a 2
﹣1|+|3b 2
﹣1|≥|3（a 2
+b 2
）﹣2|≥3×2﹣2=4．
利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法
（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“一正、二定、三相等”三个条件．
（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．
1. 点 P(1,−√3)，则它的极坐标是 ( )
A. (2,π
3
) B. (2,
4π
3) C. (2,−π
3
)
D. (2,−
4π3
)
2. 把方程 xy =2 化为以 t 为参数的参数方程是 ( )
A. {x =2t 1
2
,
y =t 1
2
B. {x =sint,y =2sint
C. {x =2cost,y =
1cost D. {x =tant,
y =
2tant
3. 将点 M 的极坐标 (4,π
6) 化成直角坐标为 ( )
A. (2,2√3)
B. (2√3,2)
C. (2√2,2√2)
D. (−2√3,2)
4. 曲线 y =x 2 的一种参数方程是 ( )
A. {x =t 2,y =t 4
B. {x =sint,y =sin 2t
C. {x =√t,y =t
D. {
x =t,y =t 2 5. 已知点 P 的极坐标是 (1,π
3)，则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( )
A. ρ=1
B. ρ=cosθ
C. ρ=−
1cosθ
D. ρ=
1
2cosθ
6. 在同一平面的直角坐标系中，直线 x −2y =2 经过伸缩变换 {xʹ=x
yʹ=4y 后，得到的直线方程为 ( )
A. 2xʹ+yʹ=4
B. 2xʹ−yʹ=4
C. xʹ+2yʹ=4
D. xʹ−2yʹ=4
7. 直线 l 的参数方程为 {x =−√3t,y =1+3t (t 为参数)，则 l 的倾斜角大小为 ( )
A. π
6 B . π
3 C.
2π
3
D.
5π6
8. 在极坐标系中，直线 ρ(√3cosθ−sinθ)=2 与圆 ρ=4sinθ 的交点的极坐标为 ( )
A. (2,π
6) B. (2,π
3) C. (4,π
6) D. (4,π
3
)
9. 极坐标方程 (ρ−3)(θ−π
2)=0(ρ≥0) 表示的图形是 ( )
A. 两个圆
B. 一条直线和一条射线
C. 两条直线
D. 一个圆和一条射线
10. 已知直线 {x =2+t,
y =1+t （t 为参数）与曲线 M ：ρ=2cosθ 交于 P ，Q 两点，则 ∣PQ∣
∣= ( )
A. 1
B. √2
C. 2 D . 2√2
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =1+cosα,
y =sinα
（α 为参数）．若以射线 Ox 为极轴
建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ( )
A. ρ=sinθ
B. ρ=2sinθ
C. ρ=cosθ
D. ρ=2cosθ
12. 在极坐标系中，圆 ρ=sinθ 的圆心的极坐标是 ( )
A. (1,π
2) B. (1,0) C. (12,π
2) D. (1
2
,0)
13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为
ρcos (θ−π
3)=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程．
14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosφ,
y =2sinφ
（φ 为参数），以 O 为极点，x 轴非负
半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是 2ρsin (θ+π
3)=3√3，射线 OM ：θ=π
3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．
15. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,
y =4sinθ
（θ 为参数），直线 l 的参数方程为
{x =1+tcosα,y =2+tsinα
（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l 的斜率．
16.在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cos θ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l ：{x =tcos π
3
y =√3+tsin π3
（t 是参数）
，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．
（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P （0，√3），求1
|PA|+1
|PB|．
17.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθ
y =1+rsinθ（θ为参数，r ＞0），曲线N 的参数方程为
{x =2√5
5t y =1+√5
5t
（t 为参数，且t ≠0）．
（1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为A ，B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为4
3，求r 的值．
18．已知函数()|1||24|f x x x =++-.
（1）解不等式：2
()f x x >；
（2）若关于x 的不等式2
()|2|f x x x m <-++在[0,3]上无解，求实数m 的取值范围.
19．已知函数()||f x x m =-，()||g x x n =+，其中0,0m n >>.
（1）若函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，求不等式)()2(x f x f ≤+的解集； （2）若函数)()()(x g x f x h +=的最小值为1，求n
m 1
1+的最小值及其相应的m 和n 的值.
20．已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1．
（1）若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；
（2）若 4a +1
b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x 的取值范围．
21．已知函数f （x ）=|x +1|–|x –2|．
（1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．
1. C
2. D
3. B 【解析】点 M 的极坐标 (4,π
6) 化为直角坐标为 (4cos π
6,4sin π
6)，即 (2√3,2)． 4. D 5. D
【解析】P 点坐标为 (12,√3
2
)，所以垂直于极轴的直线方程为 x =12
，所以极坐标方程为 ρ⋅cosθ=1
2
．
6. B 【解析】由 {xʹ=x yʹ=4y 得 {x =xʹy =yʹ4，代入直线 x −2y =2 得 xʹ−2×yʹ
4=2，即 2xʹ−yʹ=4． 7. C 8. A
9. D
【解析】因为 (ρ−3)(θ−π
2)=0(ρ≥0)，所以 ρ=3 或 θ=π
2
，所以 x 2+y 2=9 或 y 轴正半轴， 所以极坐标方程 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0) 表示的图形是一个圆和一条射线． 10. C 11. D 12. C
13.【解析】（1） 由 ρcos (θ−π
3)=1，得 ρ(1
2cosθ+√3
2
sinθ)=1．
从而 C 的直角坐标方程为 1
2x +
√3
2y =1．即 x +√3y =2．
当 θ=0 时，ρ=2，所以 M (2,0)， 当 θ=π
2 时，ρ=
2√33
，所以 N (
2√33,π
2
)． （2） M 点的直角坐标为 (2,0)，N 点的直角坐标为 (0,2√3
3
)． 所以 P 点的直角坐标为 (1,
√3
3
)，则 P 点的极点标为 (
2√33,π
6
)， 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=π6
(ρ∈R )．
14.【解析】（1） 圆 C 的普通方程为 (x −2)2+y 2=4， 又 x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ． （2） 设 P (ρ1,θ1)，则由 {
ρ=4cosθ,
θ=π3,
⇒ {
ρ1=2,θ1=π3. 设 Q (ρ2,θ2)，则由 {ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3,
θ=π
3, 解得 {ρ2=3,θ2=π3. 所以 ∣PQ ∣=1． 15.【解析】（1） 曲线 C 的直角坐标方程为
x 24
+y 2
16=1．
当 cosα≠0 时，l 的直角坐标方程为 y =tanα⋅x +2−tanα， 当 cosα=0 时，l 的直角坐标方程为 x =1．
（2） 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cosα+sinα)t −8=0, ⋯⋯①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以 ① 有两个解，设为 t 1，t 2，则 t 1+t 2=0．
又由 ① 得 t 1+t 2=−
4(2cosα+sinα)1+3cos 2α
，故 2cosα+sinα=0，
于是直线 l 的斜率 k =tanα=−2．
16.【解析】：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2
+y 2
﹣2x=0即（x ﹣1）2
+y 2
=1． ∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2
4+y 2=1，
∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣√3，0），（√3，0），长轴长为4的椭圆.
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程x 2
4+y 2=1中，得13
4t 2+12t +8=0． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1+t 2=﹣48
13
，t 1t 2=32
13
，
∴
1
|PA|+
1
|PB|
=|
t 1+t 2t 1t 2
=32
．
17.【解析】：（1）曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθy =1+rsinθ（θ为参数，r ＞0），
将{x =2√5
5
t
y =1+√5
5t
消去参数t ，得x ﹣2y+2=0（x ≠0）．
曲线N 的参数方程为{x =2√5
5t
y =1+√5
5
t
（t 为参数，且t ≠0）．
由{x −2y +2=0
y =kx ，得{x =2
2k−1y =
2k 2k−1． 故曲线N 的参数方程为{x =2
2k−1
y =2k 2k−1（k 为参数，且k ≠1
2
）． （2）曲线M 的普通方程为（x ﹣2）2
+（y ﹣1）2
=r 2
，
将{x =2
2k−1y =2k 2k−1代入（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=r 2并整理得（16﹣4r 2）k 2+（4r 2﹣32）k+17﹣r 2=0，
因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为4
3，所以17−r 2
16−4r 2=4
3，解得r 2
=1，又r ＞0，所以r=1． 将r=1代入（16﹣4r 2
）k 2
+（4r 2
﹣32）k+17﹣r 2
=0，得12k 2
﹣28k+16=0，△＞0， 故r=1．
18．【解析】（1）依题意，
2|1||24|x x x ++->，
当1x <-时，原式化为2142x x x --+->，即2
330x x +-<，解得
312
x --<<-；
当12x -≤≤时，原式化为2142x x x ++->，即250x x +-<，解得112
x --≤<； 当2x >时，原式化为2124x x x ++->，即2330x x -+<，无解.
综上所述，所求不等式的解集为31(
)22
---+. （2）由题意可知，[0,3]x ∈时，2
|1||2|x x x m ++-≥+恒成立．
当02x ≤≤时，23x m +≤，得2
min (3)1m x ≤-=-； 当23x ≤≤时，221x m x +≤-，得2
min (+21)4m x x ≤--=-.
综上所述，实数m 的取值范围为(,4]-∞-．
19．【解析】（1）Θ函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，2=∴m ，∴()|2|f x x =-，
∴不等式)()2(x f x f ≤+可化为||x ≤|2|x -，即22)2(-≤x x ，
化简得044≥+-x ，解得1≤x ，∴不等式)()2(x f x f ≤+的解集为{|1}x x ≤. （2）Θ()||f x x m =-，()||g x x n =+，∴)(x h ||||x m x n =-++， 由绝对值不等式的性质可得|||||()()|x m x n x m x n m n -++≥--+=+，
∴函数)()()(x g x f x h +=的最小值为n m +，∴1=+n m ，
由mn n m 2≥+得41≤
mn ，∴41
11≥=+=
+mn
mn n m n m ， 当且仅当⎩⎨⎧=+=1
n m n m ，即21==n m 时等号成立，∴n m 11+的最小值为4，此时21
==n m .
20.【解析】：（1）∵a ＞0，b ＞0，且a+b=1，∴ab ≤（
a+b 2
）2=14，当且仅当a=b=1
2时“=”成立，
由ab ≤m 恒成立，故m ≥1
4；
（2）∵a ，b ∈（0，+∞），a+b=1，∴4a +1
b =（4a +1
b ）（a+b ）=5+4b a +a
b ≥5+2√4b
a ⋅a
b =9， 故若 4a +1
b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立，则|2x ﹣1|﹣|x+2|≤9， 当x ≤﹣2时，不等式化为1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x ≤﹣2， 当﹣2＜x ＜1
2，不等式化为1﹣2x ﹣x ﹣2≤9，解得﹣2＜x ＜1
2，
当x ≥12
时，不等式化为2x ﹣1﹣x ﹣2≤9，解得1
2
≤x ≤12，
综上所述x 的取值范围为[﹣6，12]．
21．【解析】（1）∵f （x ）=|x +1|–|x –2|=31211232x x x x -<-⎧⎪
--≤≤⎨⎪⎩
，，
，＞， ∵f （x ）≥1，∴当–1≤x ≤2时，2x –1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，3≥1恒成立，故x >2． 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．
（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，则存在x ∈R 使得f （x ）–x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）–x 2+x ]max ，设g （x ）=f （x ）–x 2+x ．
由（1）知，g （x ）=22231
311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪
-+--<<⎨⎪-++≥⎩
，，，，
当x ≤–1时，g （x ）=–x 2+x –3，其开口向下，对称轴方程为x =1
2
>–1， ∴g （x ）≤g （–1）=–1–1–3=–5；
当–1<x <2时，g （x ）=–x 2+3x –1，其开口向下，对称轴方程为x =3
2∈（–1，2）， ∴g （x ）≤g （
32）=–94+92–1=54
； 当x ≥2时，g （x ）=–x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =1
2
<2，∴g （x ）≤g （2）=–4+2+3=1； 综上，g （x ）max =
54，∴m 的取值范围为（–∞，5
4
]．。