2019高考数学一轮复习第6章数列专题研究3数列的综合应用练习理
2019版高考数学理科 课标版一轮复习题组训练：第6章第4讲 数列求和、数列的综合应用 含解析 精品
第四讲数列求和、数列的综合应用题组1等差、等比数列的综合应用1.[2014新课标全国Ⅱ,5,5分]等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-2.[2017北京,10,5分][理]若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.3.[2015湖南,14,5分][理]设S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.4.[2014安徽,12,5分][理]数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.5.[2014天津,11,5分][理]设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.6.[2016北京,15,13分]已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.7.[2016天津,18,13分][理]已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n 是a n和a n+1的等比中项.(Ⅰ)设c n=-,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(Ⅱ)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:<.题组2数列的实际应用8.[2017全国卷Ⅰ,12,5分][理]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110题组3数列与其他知识的综合9.[2016浙江,8,5分]如图6-4-1,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()图6-4-1A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列10.[2015福建,8,5分][理]若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.911.[2016四川,19,12分][理]已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(Ⅰ)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;.(Ⅱ)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>--12.[2015安徽,18,12分][理]设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)求数列{x n}的通项公式;(Ⅱ)记T n=…-,证明:T n≥.A组基础题1.[2018武汉市部分学校调研,3]已知等比数列{a n}中,3a2,2a3,a4成等差数列,设S n为数列{a n}的前n项和,则等于()A. B.3或 C.3 D.2.[2017东北三省四市一模,5]已知数列{a n}为等差数列,数列{b n}为等比数列,且满足a2 016+a2=π,b20b21=4,则tan =() 017A. B. C.1 D.-13.[2017石家庄市一模,8]已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{a n}的前100项的和为()A.-200B.-100C.0D.-504.[2018长春市高三第一次质量监测,17]已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1+n-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2(a n-1),求证:+++…+<1.5.[2017南昌市三模,17]已知数列{a n}满足+++…+=n2+n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=-,求数列{b n}的前n项和S n.B组提升题6.[2018洛阳市尖子生高三第一次联考,16]已知数列{a n}满足na n+2-(n+2)a n=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若a n<a n+1对任意的n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是.7.[2017宁夏银川市高中教学质量检测,16]我们把满足x n+1=x n-的数列{x n}叫作牛顿数列.已知函数f(x)=x2-1,数列{x n}为牛顿数列,设a n=ln -,已知a1=2,则a3=.8.[2017陕西省六校第三次适应性训练,16]已知数列{a n}满足a1=,a n+1-1=a n(a n-1)(n∈N*),且S n=++…+,则S n的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为.9.[2017长沙市五月模拟,17]设数列{a n}的前n项和是S n,若点A n(n,)在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=,求数列{b n}的前n项和T n的最小值.10.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,17]已知各项均为正数的等差数列{a n}满足a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,设{a n}的前n项和为S n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为T n,求证:T n<3.答案1.A因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以S n=na1+-d=n(n+1).故选A.2.1设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,则a4=-1+3d=8,解得d=3;b4=-1·q3=8,解得q=-2.所以a2=-1+3=2,b2=-1×(-2)=2,所以=1.3.3n-1由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,得公比q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.4.1解法一因为数列{a n}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列,又a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常数列,故q=1.解法二因为数列{a n}是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),化简得d2+4d+4=0,解得d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.5.-由已知得S1·S4=,即a1·(4a1-6)=(2a1-1)2,解得a1=-.6.(Ⅰ)等比数列{b n}的公比q===3,所以b 1==1,b 4=b 3q=27.设等差数列{a n }的公差为d.因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27,所以1+13d=27,即d=2. 所以a n =2n-1(n=1,2,3,… . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n =2n-1,b n =3n-1, 因此c n =a n +b n =2n-1+3n-1. 从而数列{c n }的前n 项和 S n =1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =-+ --=n 2+-.7.(Ⅰ)由题意得 =a n a n+1,有c n = -=a n+1a n+2-a n a n+1=2da n+1,因此c n+1-c n =2d (a n+2-a n+1)=2d 2,所以数列{c n }是等差数列.(Ⅱ)T n =(- + )+(- + )+…+(- -+ ) =2d (a 2+a 4+…+a 2n ) =2d ·=2d 2n (n+1).所以∑=nk kT 11=∑=+nk k k d 12)1(121=∑=+-n k k k d 1211121）（= ·(1- )<. 8.A 设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n 组的项数为n ,前n 组的项数和为.由题意可知,N>100,令>100,∴n ≥14,n ∈N *,即N 出现在第13组之后.易得第n 组的所有项的和为 -- =2n -1,前n 组的所有项的和为- --n=2n+1-n-2.设满足条件的N 在第k+1(k ∈N *,k ≥13 组,且第N 项为第k+1组的第t (t ∈N *)个数,第k+1组的前t 项的和 2t -1应与-k-2互为相反数,即2t -1=k+2,∴2t =k+3,∴t=log 2(k+3),∴当t=4,k=13时,N=+4=95<100,不满足题意,当t=5,k=29时,N=+5=440,当t>5时,N>440,故选A.9.A如图D 6-4-1,图D 6-4-1记h n为△A n B n B n+1的边B n B n+1上的高(n∈N*),设锐角的大小为θ,根据图象可知,h n+1=h n+|A n A n+1|sin θ,又|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,∴S n+1-S n=|B n+1B n+2|·h n+1-|B n B n+1|·h n=|B n B n+1|·(h n+1-h n)=|B n B n+1|·|A n A n+1|sin θ.根据题意知,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,∴|B n B n+1|·|A n A n+1|sin θ为常数,∴{S n}为等差数列,故选A.10.D因为a,b为函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,所以-,,,所以a>0,b>0,所以当-2在中间时,a,b,-2这三个数不可能成等差数列,且只有当-2在中间时,a,b,-2这三个数才能成等比数列.经分析知,a,b,-2或b,a,-2或-2,a,b或-2,b,a成等差数列,a,-2,b或b,-2,a成等比数列.不妨取数列a,b,-2成等差数列,数列a,-2,b成等比数列,则有-,,解得,或-,-(舍去),所以,,所以p+q=9.故选D.11.(Ⅰ)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,得2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n==-.由e2==得q=.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以->q k-1(k∈N*).,于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=--故e1+e2+…+e n>-.-12.(Ⅰ)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)中的计算结果知T n=…-=()2()2… -)2.当n=1时,T1=.=(-)2=->--=-=-,当n≥2时,因为-所以T n>()2×××…×-=.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.A组基础题1.B设等比数列{a n}的公比为q,由3a2,2a3,a4成等差数列,得3a2+a4=4a3⇒3a2+a2q2=4a2q⇒a2(q2-4q+3)=0⇒a2=0(舍去)或q2-4q+3=0,∴q=3或q=1.当q=3时,S 3=- -,= -- = - - = -- =; 当q=1时,数列{a n }是常数列,a 1=a 2=a 3,此时==3.综上,故选B .2.A 依题意得a 1+a 4 032=a 2 016+a 2 017=π,b 19b 22=b 20b 21=4,所以tan=tan =,选A .3.B 因为函数y=f (x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f (x )的图象关于直线x=-1对称.又函数f (x )在(-1,+∞)上单调,数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)=f (a 51),所以a 50+a 51=-2,所以S 100==50(a 50+a 51)=-100,故选B .4.(1)由 - , -- - ,得a n =S n -S n-1=2n +1(n ≥2 . 当n=1时,a 1=S 1=3,也适合a n =2n +1.综上,a n =2n +1. (2)由(1)知,b n =log 2(a n -1)=log 22n =n. 所+++…+= + + +…+ =(1- )+( - )+( - )+…+( - )=1-<1.5.(1) +++…+=n 2+n ①,∴当n ≥2时, + ++…+- -=(n-1)2+n-1 ②,①-②得,=2n (n ≥2 ,∴a n =n ·2n+1(n ≥2 .又当n=1时,=1+1,a 1=4也适合a n =n ·2n+1,∴a n =n ·2n+1.(2)由(1)得,b n =-=n (-2)n ,∴S n =1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n×(-2)n ③,-2S n =1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+(n-1)×(-2)n +n×(-2)n+1 ④,③-④得,3S n =(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n -n×(-2)n+1=- - --n×(-2)n+1,∴S n =--.B组提升题6.[0,+∞)由na n+2-(n+2)a n=λ(n2+2n)=λn(n+2)得-=λ,所以数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,因为a1=1,a2=2,所以当n为奇数时,=1+λ(-1)=-λ+1,所以a n=-λ+n;当n为偶数时,=1+λ(-1)=-λ+1,所以a n=-λ+n.当n为奇数时,由a n<a n+1得-λ+n<-λ+n+1,即λ(n-1)>-2,若n=1,则λ∈R,若n>1,则λ>--,所以λ≥0;当n为偶数时,由a n<a n+1得-λ+n<-λ+n+1,即3λn>-2,所以λ>-,即λ≥0.综上,实数λ的取值范围为[0,+∞).7.8由f(x)=x2-1,得f'(x)=2x,则x n+1=x n--=,所以x n+1-1=-,x n+1+1=,所以-=-,所以ln-=ln-=2ln-,即an+1=2a n,所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列,则a3=2×22=8.8.7因为数列{a n}满足a1=,a n+1-1=a n(a n-1)(n∈N*),所以a n+1-a n=->0,a n+1>a n,因此数列{a n}单调递增.由a1=,a n+1-1=a n(a n-1),得a2-1=×(-1),a2=,同理a3=,a4=,-=>1,-=<1,所以当n≥4时,0<-<1.另一方面由a n+1-1=a n(a n-1),得=---,所以S n=++…+=(---)+(---)+…+(---)=3--.所以当n=1时,S1==,其整数部分为0;当n=2时,S2=+=1+,其整数部分为1;当n≥3时,S n=3--∈(2,3),其整数部分为2.综上,S n的整数部分的所有可能值构成的集合为{0,1,2},其真子集的个数为23-1=7.9.(1)因为点A n(n,)在函数f(x)=-x+c的图象上运动,所以=-n+c,所以S n=-n2+cn.因为a1=3,所以c=4,所以S n=-n2+4n,所以a n=S n-S n-1=-2n+5(n≥2 .又a1=3满足a n=-2n+5,所以数列{a n}的通项公式a n=-2n+5(n≥1 .(2)由(1)知,b n==-2a n+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,所以数列{b n}为等差数列,所以T n==2n2-3n.则当n=1时,T n取最小值,最小值为T1=-1,所以数列{b n}的前n项和T n的最小值为-1.10.(1)根据题意,设等差数列{a n}的公差为d,∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1>0,∴,,解得a1=2,d=2,∴数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)知a1=d=2,则S n=2n+-×2=n2+n,设b n=,则b n==.∴T n=++…+-+①,T n=++…++②,①-②得,T n=+++…+-,∴T n=2+++…+--=2+----=3---<3.∴T n<3.。
2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。
2019年高考数学(理)一轮复习第六章 数列习题及答案
第六章⎪⎪⎪列第一节列的概念与简单表示突破点(一) 列的通项公式1．列的定义按照一定顺序排列的一列称为列．列中的每一个叫做这个列的项，列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的称为这个列的第一项(通常也叫做首项)．2．列的通项公式如果列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个列的通项公式．3．列的递推公式如果已知列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意列均成立．本节主要包括2个知识点： 1.列的通项公式；2.列的单调性.[例1] 写出下面各列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….[解] (1)各项减去1后为正偶，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇项为负，偶项为正，故通项公式中含因式(－1)n ；各项绝对值的分母组成列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的列中，奇项为1，偶项为3，即奇项为2－1，偶项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇，3n ，n 为正偶.(4)将列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n＝13(10n－1)．[方法技巧]由列的前几项求通项公式的思路方法给出列的前几项求通项时，需要注意观察列中各项与其序号之间的关系，在所给列的前几项中，先看看哪些部分是变的，哪些是不变的，再探索各项中变部分与序号间的关系，主要从以下几个方面考虑：(1)分式形式的列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n ＋1或(－1)n－1调控．(3)熟悉一些常见列的通项公式．(4)对于较复杂列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将列的各项分解成若干个常见列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．利用a n与S n的关系求通项[例2] n n n(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a 1也适合此等式，所以{a n }的通项公式为a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2×3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． 所以当b ＝－1时，a n ＝2×3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.[方法技巧]已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段写．利用递推关系求通项[例3] (1)已知列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，则a n ＝________；(2)若列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则通项a n ＝________；(3)若列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________； (4)若列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________.[解析] (1)由条件知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， 则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n －1－1n ，即a n －a 1＝1－1n ，又∵a 1＝12，∴a n ＝1－1n ＋12＝32－1n.(2)由a n ＋1＝nn ＋1a n (a n ≠0)，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n＋1＝2a n －t ，则t ＝－3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，b n ≠0，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1， 即a n ＝2n ＋1－3.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差列． ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1. [答案] (1)32－1n (2)23n (3)2n ＋1－3 (4)2n ＋1[方法技巧]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系法确定)，可转为等比列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)的列，可通过两边同时取倒的方法构造新列求解．(5)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇，1，n 为偶，②a n ＝1＋－n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给列的通项公式．2.[考点一]列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n(n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *)解析：选D 所给列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，…，通过对比各选项，可知选D.3.[考点二]已知列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.4.[考点三]设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，求列{a n }的通项公式．解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．5.[考点三]若列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求列{a n }的通项公式．解：由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.又因为当n ＝1时满足此式，所以a n ＝2n －1.突破点(二) 列的单调性列的分类[例1] 已知列{a n }的前n 项和为S n ，常λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整n 都成立．(1)求列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1， 即a 1(λa 1－2)＝0.若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而列{a n }是等比列， 所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ.综上，当a 1＝0时，a n ＝0； 当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以列{b n }是单调递减的等差列(公差为－lg 2)． 则b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0，故当n ＝6时，列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项的和最大．[方法技巧]1．判断列单调性的两种方法 (1)作差比较法a n ＋1－a n >0⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1－a n <0⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1－a n ＝0⇔列{a n }是常列．(2)作商比较法①当a n >0时，a n ＋1a n >1⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1a n<1⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1a n＝1⇔列{a n }是常列．②当a n <0时，a n ＋1a n >1⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1a n<1⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1a n＝1⇔列{a n }是常列．2．求列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到列的最小项．利用列的单调性求参的取值范围[例2] 已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增列，则实a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3)D ．(1,3)[解析]因为{a n }是递增列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，－a＋2≤a ，解得83≤a ＜3，所以实a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3.[答案] B[方法技巧]已知列的单调性求参取值范围的两种方法(1)利用列的单调性构建不等式，然后将其转为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参将其转为最值问题处．(2)利用列与函之间的特殊关系，将列的单调性转为相应函的单调性，利用函的性质求解参的取值范围，但要注意列通项中n 的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]设a n ＝－3n 2＋15n －18，则列{a n }中的最大项的值是( )A.163 B.133 C ．4D ．0解析：选D a n ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函性质，得当n ＝2或n＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.2.[考点一]若列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则列{a n }的前n 项和值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则a n 是递减列．设{a n }的前k项和值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.3.[考点二]已知{a n }是递增列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实λ的取值范围是________．解析：∵对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ. 又∵{a n }是递增列，∴a n ＋1－a n >0，且当n ＝1时，a n ＋1－a n 最小， ∴a n ＋1－a n ≥a 2－a 1＝3＋λ>0，∴λ>－3. 答案：(－3，＋∞)4.[考点一、二]已知列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设S n 是列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n, a 8＝2，则a 1 ＝________.解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出列{a n }是一个周期列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12. 答案：123．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2016·全国丙卷)已知各项都为正的列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因此{a n}的各项都为正，所以a n＋1a n＝12.故{a n}是首项为1，公比为12的等比列，因此a n＝12n－1.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n＝( )A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3解析：选 B 由已知得，列可写成11，23，35，…，故该列的一个通项公式为n2n－1.2．设列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，则a4的值为( )A．4 B．6 C．8 D．10解析：选C a4＝S4－S3＝20－12＝8.3．已知列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N*)，则a10＝( ) A．64 B．32 C．16 D．8解析：选B ∵a n＋1a n＝2n，∴a n＋2a n＋1＝2n＋1，两式相除得a n＋2a n＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.则a10a8·a8a6·a6a4·a4a2＝24，即a10＝25＝32.4．在列{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3 a5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 5．现定义a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为________．解析：令5n＝t >0，考虑函y ＝t ＋1t，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函t ＝5x，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：110[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33解析：选C 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.3115解析：选A 令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116. 3．在各项均为正的列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正的列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C. 5．在列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2 015＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.6．如果列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个列的第10项等于( )A.1210 B.129 C.15D.110解析：选C ∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a na n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15. 二、填空题7．已知列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________．解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31. 答案：318．在列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该列的第10项．答案：109．已知列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n－p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－p ，且列{b n }是单调递增列，则实p 的取值范围为________．解析：由题中条件，可得1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝21a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比列，所以1a n ＋1＝2n ，可得b n ＋1＝2n (n －p )，则b n ＝2n －1(n －1－p )(n ∈N *)，由列{b n }是单调递增列，得2n (n－p )>2n －1(n －1－p )，则p <n ＋1恒成立，又n ＋1的最小值为2，则p 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)10．设{a n }是首项为1的正项列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n，∵a 1＝1，∴a n ＝1n.答案：1n三、解答题11．已知S n 为正项列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故列{a n }是首项为1，公差为1的等差列，故a n ＝n . 12．已知列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则列中有多少项是负？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3， 所以列中有两项是负，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该列是一个递增列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实k 的取值范围为(－3，＋∞)． 第二节等差列及其前n 项和突破点(一) 等差列的性质及基本量的计算1．等差列的有关概念(1)定义：如果一个列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列就叫做等差列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常)．(2)等差中项：列a ，A ，b 成等差列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .本节主要包括3个知识点：1.等差列的性质及基本量的计算；2.等差列前n 项和及性质的应用；3.等差列的判定与证明.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n n－2d＝n a1＋a n2.3．等差列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差列，公差为d，则{a2n}也是等差列，公差为2d.(4)若{a n}是等差列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差列．(5)若列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差列，则列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差列(p，q都是常)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则列{a n}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)(2016·惠州调研)已知等差列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )A．1 B.5 3C．－2 D．3[解析] (1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S 3＝a1＋a32＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案] (1)B (2)C[方法技巧]1．等差列运算问题的通性通法(1)等差列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转为方程(组)求解．(2)等差列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差列设项技巧若奇个成等差列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶个成等差列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差列的定义进行对称设元．等差列的性质[例2] (1)n396n表示列{a n}的前n项和，则S11＝( )A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析] (1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)因为{a n}，{b n}都是等差列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.[答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱C.32钱 D.43钱解析：选 D 设等差列{a n}的首项为a1，公差为d，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.3.[考点二]已知列{a n }为等差列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.解析：设等差列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求列{a n }的项及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差列前n 项和及性质的应用等差列前n 项和的性质(1)列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)． (3)当项为偶2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项为奇2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(4){a n }，{b n }均为等差列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[例1] 已知{a n }为等差列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.[解析] 法一：设列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差列，设此列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20[例2] n 1S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n n －2d＝na 1＋n n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二：设此列的前n项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三：由于S n ＝na 1＋n n －2d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差列前n 项和S n 最值的三种方法(1)函法：利用等差列前n 项和的函表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整得a n ＜a n ＋1，所以等差列{a n }是递增列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整的正整n 的个是________．解析：由等差列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n为整，故使得a nb n为整的正整n 的个是5.答案：55.[考点一]一个等差列的前12项的和为354，前12项中偶项的和与奇项的和的比为32∶27，则该列的公差d ＝________.解析：设等差列的前12项中奇项的和为S 奇，偶项的和为S 偶，等差列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差列的判定与证明等差列的判定与证明方法[典例] 已知列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差列，并说明你的由．[解] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1n －＝－12n n －， 所以a n ＋1＝－12n n ＋，而a n ＋1－a n ＝－12n n ＋－－12n n －＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1nn －n ＋.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常，故列{a n }不是等差列．1．若{a n }是公差为1的等差列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差列 B ．公差为4的等差列 C ．公差为6的等差列 D ．公差为9的等差列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差列．2．已知列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：列{b n }是等差列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差列．3．已知公差大于零的等差列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求列{a n }的通项公式； (2)若列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实c 使得{b n }为等差列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明由．解：(1)∵列{}a n 为等差列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n n －2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵列{}b n 是等差列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实c ＝－12，使列{b n }为等差列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)已知等差列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：选 C ∵{a n }是等差列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差列，S n为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12 解析：选B ∵列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192. 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －d ＝2，S m＝a 1m ＋12m m －d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C.4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23.由于函f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2016·全国甲卷)S n 为等差列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求列{b n }的前1 000项和．解：(1)设列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差列？并说明由．解：(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，则a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得列{a n}为等差列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．若等差列{a n}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13C．14 D．15解析：选B 由S 5＝a2＋a42，得25＝＋a42，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.2．在等差列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，即m＝37.3．在单调递增的等差列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝( )A．－1 B．0C.14D.12解析：选B 由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝34，列{a n}单调递增，∴a2＝12，a4＝32.∴公差d＝a4－a22＝12.∴a1＝a2－d＝0.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．9 B．8C．7 D．6解析：选D 设等差列{a n}的公差为d.因为a3＋a7＝－6，所以a5＝－3，d＝2，则S n＝n2－12n，故当n等于6时S n取得最小值．5．已知等差列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a2n＝0，S2n －1＝38，则n等于________．解析：∵{a n}是等差列，∴2a n＝a n－1＋a n＋1，又∵a n－1＋a n＋1－a2n＝0，∴2a n－a2n＝0，即a n(2－a n)＝0.∵a n≠0，∴a n＝2.∴S2n－1＝(2n－1)a n＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·黄冈质检)在等差列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．95 B．100C．135 D．80解析：选 B 由等差列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．(2017·东北三校联考)已知列{a n}的首项为3，{b n}为等差列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝( ) A．0 B．－109C．－181 D．121解析：选B 设等差列{b n}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为a n＋1－a n＝b n，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝b1＋b72＝72[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.3．在等差列{a n}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为S n，则S17为( )A．20 B．17C．42 D．84解析：选B 由a3＋a5＋a11＋a17＝4，得2(a4＋a14)＝4，即a4＋a14＝2，则a 1＋a17＝2，故S17＝a1＋a172＝17.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足S n＞0的最大自然n的值为( )A．6 B．7C．12 D．13解析：选C ∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差列的公差小于零．又∵a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足S n＞0的最大自然n的值为12.5．设列{a n}的前n项和为S n，若S nS2n为常，则称列{a n}为“吉祥列”．已知等差列{b n}的首项为1，公差不为0，若列{b n}为“吉祥列”，则列{b n}的通项公式为( )A．b n＝n－1 B．b n＝2n－1C．b n＝n＋1 D．b n＝2n＋1解析：选 B 设等差列{b n}的公差为d(d≠0)，S nS2n＝k，因为b1＝1，则n＋12n(n－1)d＝k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋12×2n n－d，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝14.所以列{b n}的通项公式为b n＝2n－1.6．设等差列{a n}满足a1＝1，a n>0(n∈N*)，其前n项和为S n，若列{S n}也为等差列，则S n＋10a2n的最大值是( )A．310 B．212C．180 D．121解析：选D 设列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，因为a1＝1，所以22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，简可得d＝2a1＝2，所以a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n n－2×2＝n2，所以S n＋10a2n＝n ＋2 n－2＝⎝⎛⎭⎪⎫n＋102n－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n－＋2122n－12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n－12≤121.即S n＋10a2n的最大值为121.二、填空题7．已知等差列{a n}的前n项和为S n，且满足S33－S22＝1，则列{a n}的公差d是________．解析：由S33－S22＝1得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝a1＋d－2a1＋d2＝d2＝1，所以d＝2.答案：28．若等差列{a n}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于________．解析：因为S17＝a1＋a172×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：39．在等差列{a n}中，a9＝12a12＋6，则列{a n}的前11项和S11等于________．解析：S 11＝a1＋a112＝11a6，设公差为d，由a9＝12a12＋6得a6＋3d＝12(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.答案：13210．在等差列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8 时S n取得最大值，则d的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n＝8时S n有最大值，可得。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
课标版(文理)数学 第一轮专题练习--第六章 数列
2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法夯基础考点练透1.己知5；为数列的前n项和，3又=#2,则数列⑶A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.尤最大项也无最小项2.［开放题］己知递减数列满足1＜况彡2,则UJ的通项公式可以是备= .3.己知在数列中，a)=-ln 2, a,^=a n+\w则a^= .n+24.已知数列是首项为2,公比为3的等比数列，若数列｛ZU满足则⑹的通项公式么= .5.在数列U｝中，功=1，备=2如+ln 3 (n^2)，则数列UJ的通项公式.6.［2021河南商丘诊断改编］已知数列U,｝满足且则礼= .7.在数列UJ中，况+2從+3氏+•••+/?礼=2/7,则a,= ____________________________ ，数列｛-^-1的前n项和为________________________________________ . ____________________________n+i8.［2022安徽名校联考］已知正项数列UJ的前/?项和为S。
且满足2S t p^aAn^.⑴求数列UJ的通项公式：⑵设b‘」求数列｛b)｝的前n项和K9.[2022河南十校联考]已知在数列U）中，功=1，好3,且当n^Z时，如=4U-如）.⑴证明：是等比数列.⑵求数列U）的通项公式.提能力考法实战10.[2022武汉市部分学校质检改编]数列U｝依次为i i i i ?…，其中第-项为|，接下来三项均为再接下来五项均为^依此类推.记的前/7项和为么则下列说法错误的是（B.存在正整数k，使得C.S n（而D.数列｛&｝是递减数列n11.［2021安徽省马鞍山市三检］如图6-1-1 (1)是第7届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图6-1-1 (2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA\=A\A2=A2Ai=A i A<=A^A3A^=M=AiA i i=…=1，A h A2, /h，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积按从小到大的顺序组成的数列分别为｛/J, ｛&｝,则关于这两个数列叙述错误的是()图6-1-1A.是等差数列B.7n=l+Vn + Vn + 1C.l n~l^i=yfn — Vn-l(z?>l, /?eN)D.人-1=25>2么12.［2021云南、贵州、四川、广西四地5月联考］在数列U｝中，a=2, G/+1)知=20/-2护2)如则^/?=______ .13.［条件创新］己知数列满足a n=ncos^ n , b n=a n+a^,则数列｛b,｝的前50项和为.14.［条件创新］已知数列UJ的前/7项和为5；且战=1，当时，a2+25X-i=/rl.若(^2)且则nF .15.［2022山东部分重点中学综合考试］已知数列U｝满足a^=\t a^a^=2n(n^2t.⑴记求数列M的通项公式；⑵求数列UJ的前/7项和&第二讲等差数列及其前〃项和夯基础考点练透1. ［易错题］数列的前/7项和为5；且S^-n+a,n^',则“沪0”是“数列UJ 为等差数列”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 1).既不充分也不必要条件2. ［2021厦门市三检］已知等差数列U ｝，其前n 项和为S 物若S,=^5,汝+泳=32,则() A. 80B. 160C.176D.1983. ［2021郑州市三模］己知等差数列U)的公差不为零，且al=^, 5；为其前项和，则&a l4. 在等差数列UJ 中，已知^>0,决+决〈0,则数列U,｝的前n 项和5；取得最小值时的n 值为A.4B.5C.6D. 75. ［2021苏锡常镇四市联考］［开放题］己知等差数列U ｝的首项为a ，公差为M 其中a,阳们，且决〈aX 曲,写出一个满足条件的数列UJ 的通项公式:.6. ［2022厦门模拟］已知等差数列U)的公差#0,氏=7,且况，决，纽、成等比数列，数列｛ZU 满足b^b^=a n . (1)求UJ 的通项公式； ⑵求｛ZU 的前20项和&7. [2022郑州一模]已知等差数列的公差为＜/(#⑴，前/?项和为S 。
2019年人教A版高考数学(理)一轮真题训练第六章数列 6-1及答案
课外拓展阅读由递推公式求通项的常用方法和技巧递推列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转与归的思想解决递推列问题．下面给出几种常见的递推列，并讨论其通项公式的求法．类型1 a n＋1＝a n＋f(n)把原递推公式转为a n＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．已知列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，求列{a n}的通项公式．因为a1＝2，a n＋1－a n＝n＋1，所以a n－a n－1＝(n－1)＋1，a n－1－a n－2＝(n－2)＋1，a n－2－a n－3＝(n－3)＋1，…a2－a1＝1＋1，由已知，a1＝2＝1＋1，将以上各式相加，得a n＝＋n＋1＝n－n－＋1]2＋n＋1＝n n －2＋n ＋1 ＝n n ＋2＋1.类型2 a n ＋1＝f (n )a n把原递推公式转为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．已知列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1·a n ，求列{a n }的通项公式．由a n ＋1＝nn ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1.当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n ，即a n ＝23n. 又当n ＝1时，23×1＝23＝a 1，故a n ＝23n .类型3 a n ＋1＝pa n ＋q先用待定系法把原递推公式转为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转为等比列求解．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求列{a n }的通项公式．设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转为a n ＋1－t ＝2(a n －t )， 即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，以2为公比的等比列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1, 即a n ＝2n ＋1－3. 类型4 a n ＋1＝pa n ＋q n(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，再用待定系法解决；(2)也可在原递推公式两边同除以p n ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，再利用累加法(逐差相加法)求解．已知列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求列{a n }的通项公式．解法一：将a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝23(2n a n )＋1.令b n ＝2na n ，则b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b n ＋1，根据待定系法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以列{b n －3}是首项为b 1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n2n ＝32n －23n .解法二：将a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3na n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.令b n ＝3na n ，则b n ＋1＝b n ＋32n ＋1，所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n3n ＝32n －23n .类型5 a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)这种类型的题目一般是利用待定系法构造等比列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，然后与已知递推式比较，解出x ，y ，从而得到{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比列．设列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求列{a n }的通项公式．a n ＝3a n －1＋2n －1→利用待定系法得到一个等比列→利用等比列的知识可解 设递推公式可以转为a n ＋An ＋B ＝3，简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.则a n ＋n ＋1＝3． 令b n ＝a n ＋n ＋1，(*) 则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n ， 代入(*)，得a n ＝2·3n －n －1. 类型6 a n ＋1＝pa r n (p >0，a n >0)这种类型的题目一般是将等式两边取对后转为a n ＋1＝pa n ＋q 型，再利用待定系法求解．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1m·a 2n (m >0)，求列{a n }的通项公式．对a n ＋1＝1m·a 2n 两边取对，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1m.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1m.因此得b n ＋1＋lg 1m＝2⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1m ，记c n ＝b n ＋lg 1m，则c n ＋1＝2c n .所以列{c n }是首项c 1＝b 1＋lg 1m ＝lg 1m，公比为2的等比列．所以c n ＝2n －1·lg 1m.所以b n ＝c n －lg 1m ＝2n －1·lg 1m －lg 1m＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1，即lg a n ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1，所以a n ＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2n －1.类型7 a n ＋1＝pa nqa n ＋r(p ，q ，r ≠0且a n ≠0，qa n ＋r ≠0)这种类型的题目一般是将等式两边取倒后，再进一步处．若p ＝r ，则有1a n ＋1＝r ＋qa n pa n ＝1a n ＋qp ，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差列．若p ≠r ，则有1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp，此时可转为类型3处．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求列{a n }的通项公式．因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， 所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以12为公差的等差列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．类型8 a n ＋1＋a n ＝f (n )将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后将n 按奇、偶分类讨论即可．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ，求列{a n }的通项公式．因为a n ＋1＋a n ＝2n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2， 即列{a n }是奇项与偶项都是公差为2的等差列． 当n 为偶时，a 2＝1，故a n ＝a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －1.当n 为奇时，因为a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶)，故a n ＝n .综上知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇，n －1，n 为偶，n ≥1，n ∈N *.类型9 a n ＋1·a n ＝f (n )将原递推关系改写成a n ＋2·a n ＋1＝f (n ＋1)，两式作商可得a n ＋2a n ＝f n ＋f n，然后将n 按奇、偶分类讨论即可．已知列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1·a n ＝2n ，求列{a n }的通项公式．因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2，即列{a n }是奇项与偶项都是公比为2的等比列． 当n 为偶时，a 2＝23，故a n ＝a 2·2n2－1 ＝23·2n2－1， 即a n ＝13·2 n2 ；当n 为奇时，n ＋1为偶，故a n ＋1＝13·2n2+1，代入a n ＋1·a n ＝2n，得a n ＝3·2n2－1.综上知，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3·2n2－1，n 为奇，13·2n2 ，n 为偶.。
高考数学一轮总复习第六章数列专题研究3数列的综合应用课件理
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★状元笔记★ (1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不 等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果 是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等． (2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方 法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要 注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．
【解析】 当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加 上新绿化面积．
(1)设现有非绿化面积为 b1，经过 n 年后非绿化面积为 bn＋1. 于是 a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1 是由两部分组成， 一部分是原有的绿化面积 an，减去被非绿化部分1200an 后剩余的 面积为19080an，另一部分是新绿化的面积1800bn， 于是 an＋1＝19080an＋1800bn＝19080an＋1800(1－an)＝190an＋225.
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★状元笔记★ 现实生活中数列问题的模型极为广泛，如物群的生长和消 亡，人们生活的收入与支出等．解决此类问题的途径有两种：一 是逐项列举前几项，寻求规律，满足某种数列；二是寻求任意前 后两项间关系式，转化为递推式问题．
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思考题4 (2018·广西南宁一中月考)某公司一下属企业 从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万 元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年 资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每 年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设 第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)设该县的总面积为 1，2017 年底绿化面积为 a1＝25，经过 n 年后绿化面积为 an＋1，试用 an 表示 an＋1；
近年高考数学一轮总复习第六章数列题组训练39专题研究3数列的综合应用理(2021年整理)
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题组训练39 专题研究3 数列的综合应用1．设｛a n｝是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和,若S1,S2，S4成等比数列，则a1＝( ）A．2 B．－2C。
错误!D．－错误!答案D解析S1＝a1,S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a12－4a1＋1＝4a12－6a1⇒a1＝－错误!.2．(2017·山西四校联考）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，错误! a3,2a2成等差数列，则错误!＝( )A．1＋错误!B．1－错误!C．3＋2错误!D．3－2错误!答案C解析因为a1，错误!a3,2a2成等差数列，所以错误!a3×2＝a1＋2a2,即a1q2＝a1＋2a1q,所以q2＝1＋2q,解得q＝1＋错误!或q＝1－错误!(舍）,所以错误!＝错误!＝q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!.3．已知｛a n｝是等差数列,a1＝15，S5＝55,则过点P(3，a2)，Q(4,a4)的直线的斜率为（）A．4 B。
错误!C．－4 D．－14答案C解析S5＝5a1＋错误!d，所以5×15＋10d＝55,即d＝－2.所以k PQ＝错误!＝2d ＝－4.4．(2016·四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12％,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1。
2019高考数学一轮复习第6章数列专题研究3数列的综合应用练习理
专题研究3数列的综合应用第一次作业1设｛a n ｝是首项为a i ,公差为一1的等差数列,S 为其前n 项和，若S i ，S 2，S 4成等比数列，贝U a i =（B. — 2C.2答案 D解析 S i = a i , S 2= a i + a 2= 2a i — 1, S= 4a i — 6.2 2•/ S= S i S 4,.・.（2a i — i ） = a i （4a i — 6）.2 2二 4a i — 4a i + i = 4a i —1a 9+ a io2.（20i7 •山西四校联考）已知等比数列｛a n ｝中，各项都是正数，且ai,：a 3, 2a 2成等差数列，则一■一 =（）2 a 7 十 a 8 A. i 十 2 B . i — 2 C.3 十 2 2 D. 3 — 2 2答案 Cii22厂解析 因为a i ,尹3, 2a 2成等差数列，所以^a 3X 2= a i 十2a 2,即a i q = a i 十2a i q ,所以q = i 十2q ,解得q = i 十2 a 9十 a io a i q （i 十q ）2- 2或 q = i —.2（舍），所以 ^十^ = a i q 6（ i + q ） = q = （i 十■ 2）= 3 十 2 2. 3.已知｛a n ｝是等差数列，a i = i5, S s = 55,则过点P （3 , a 2）, Q （4, aj 的直线的斜率为（ ）iA. 4B.-4iC.— 4D.— 74答案 C4. （20i6 •四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 20i5年全年投入研发资金 i30万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长i2%则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元A. 2D.解析 S 5= 5a i 十 5X42 d ，所以 5X i5+a 4 一 a 2k pQ = = 2d = — 4.4 — 3i2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变2的年份是（参考数据：Igi.i2〜0.05，lgi.3〜0.ii ，Ig2〜0.30）（ ）A. 20i8 年 B . 20i9 年 C. 2020 年 D. 202i 年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从20i5年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列｛a n ｝，其中，首项 a i = i30,公比 q = i + i2%= i.i2，所以 a n = i30X i.i2 n —i .由 i30X i.i2 n —i >200， Ig2 — lgi.3 Ig2 — lgi.3 0.30 — 0.ii两边同时取对数，得 n — i> ，又 -=3.8，则n>4.8，即a s 开始超过200,所Igi.i2 Igi.i2 0.053& （2017 •河南洛阳期末）已知等差数列｛a n ｝的公差和首项都不等于 0，且a 2, a 4, a 8成等比数列，则 a 1 + a 5+ a 9a 2+ a 3=( ) A. 2 B . 3 C. 5 答案 BD. 6解析 Ta 2, a 4, a 8成等比数列, 2a 1 + a 5 + 39 3a 1 + 12d--a 4 = a 2a 8, 即(a 〔 + 3d) = (a 1 + d)(a 1 + 7d),…a 1 = d ,…=~a + a2a + 3d=3.故选B.--a n = a 2 + (n — 2) x 2 = 2n + 4, b n = b 2+ (n — 2) x 3 = 3n — 2.•••数列｛a n ｝为 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,…，数列｛b n ｝为 1 , 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ••• ｛c n ｝是以10为首项，以6为公差的等差数列. •- C n = 10+ （n — 1） x 6= 6n + 4.7. （2017 •重庆巴蜀中学二诊）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公 士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？ ”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人， 他们共猎儿五只鹿， 欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配， 问各得多少.若五只鹿的鹿肉共 500斤，贝怀更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为 （ ）A. 200 B . 300 500 C.〒D. 4003 答案 B解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,则a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 500.由等差数列的性质可得 5a 3= 500，即a 3= 100,所以a 2 + a 3 + a 4 = 3a 3= 300.以2019年投入的研发资金开始超过 200万元，故选B.25.已知各项均不为 0的等差数列｛a n ｝，满足2a 3— a ? + 2a ii = 0，数列｛b n ｝是等比数列，且b 7 = a ?，则bb 8=（ ）A. 2 B . 4 C. 8 D. 16答案 D解析 因为｛a n ｝为等差数列，所以a 3 + a ii = 2a 7,所以已知等式可化为 4a ?— a ?2= 0，解得a ?= 4或a ? = 0（舍去）， 又｛b n ｝为等比数列，所以 b 6b 8= b^ = a^ = 16. 6.已知｛a n ｝ 的通项A. 3n + 4 B . 6n + 2 C. 6n + 4 D. 2n + 2答案 C解析 设｛a n ｝的公差为d 1, ｛b n ｝的公差为d 2, 则d 1 = a 6— a 2 6— 28 4 = 2，d2= b 6 — b 26 — 212 =3. 42017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变49. (2017 •衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n € N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为 (Ig2 〜0.301 0)( )A. 1 631 B . 6 542D. 17 424答案 B10. (2018 •温州十校联考)设数列｛a n ｝和｛b n ｝分别是等差数列与等比数列，且 a 1 = 4, a 4= b 4= 1，则以下结论正确的是( )A. a 2>b 2 B . a 3<b 3 C. a s >b s D. a 6>b 6答案 Ad = — 1,4 + 3d = 1,解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d , q ,则由题意得3解得 3 1贝U a 2— b 2旳=1，i q 7 4=3—無>3— ^27= 0;故选 A.11. ____________________________________________________________________________________ 数列｛a n ｝是等差数列，若 a 1, a 3, a 4是等比数列｛b n ｝中的连续三项，则数列｛b n ｝的公比为 _______________________ . 1 答案 2或1*1 1 113. (2015 •浙江)已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足 a 1 = 2, b 1 = 1, a n +1= 2a n (n € N) , b 1+ Tb 2 + -b 3+-+ -b n = b n +1 —2 3 n1(n € N). (1)求 a n 与 b n ；⑵记数列｛a n b n ｝的前n 项和为T n ,求T n . 答案 (1)a n = 2n , b n = n (2)T n = (n — 1)2 n +1 + 2C. 15 340解析 4由2n <104,得n< 沁13.29 ,故数列｛2 n ｝在1到104之间的项共有ig2 13项，它们的和S 1 = 132X( 1 -2 ) 1^2__16 382;同理，数列｛3n ｝在1到104之间的项共有 8项，它们的和S 2=3X( 1-38)1-3=9 840, ••• 0 — S 2I = 6 542.2 2解析设数列｛a n｝的公差为d,由题可知，a s = a1 • a4,可得(a 1+ 2d) = a1(a 1+ 3d)，整理得(a 1 + 4d)d = 0，解得d = 0或a1= —4d.当d= 0时，等比数列｛b n｝的公比为1;当a1= —4d时，a1, a a, a4分别为一4d ,—2d,—1d,所以等比数列｛b n｝的公比为12. (2017 •广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒____________ 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案41解析设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=?，设操作n1 1 11次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n,贝U a n+1 = a n •夕二a n = a1q n—1=(卫役二(彳乂后，解得n》4.52017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变6解析 (1)由 a i = 2, a n +1 = 2a n ,得 a n = 2 (n € N). 由题意知：当 n = 1 时，b i = b 2— 1，故 b 2 = 2.1 1 1 5 +1 b nn 》2时，m+ b 2 +…+ b n — 1 = b n — 1和原递推式作差得 -b n = b n +1 — b n,整理得 =—，所以b n = n(n € N).2 n — 1 n n +1 n (2)由①知 a n b n = n ^2,因此T n = 2 + 2・22 + 3・2 3+…+ n ・2 n , 2T n = 22+ 2 ・2 3+ 3 ・24 +…+ n ・223nT n — 2T n = 2 + 2 + 2 +…+ 2 — n ・2 故 T n = (n — 1)2n +1 + 2(n € N ).14. (2016 •四川)已知数列｛a n ｝的首项为1, S 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n +1= qS n + 1，其中q>0, n € N. (1)若a 2, a 3, a 2+ a 3成等差数列，求数列｛a n ｝的通项公式；2⑵ 设双曲线x 2—厶=1的离心率为e n ,且e 2= 2，求e 12+ e ?2+…+ e n a n1n __ 1*In答案 (1)a n = 2 —(n € N) (2)n + ^(3 — 1)解析 (1)由已知 S n +1 = qS n + 1，得 S+ 2= qS n +1 + 1,两式相减得到 an+ 2= qa n +1, n > 1. 又由 S 2= qS + 1 得到 a 2= qa 1, 故a n +1= qa n 对所有n 》l 都成立.所以数列｛a n ｝是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而 a n = q n 1.由 a 2, a 3, a 2+ a 3成等差数列，可得 2a 3= a 2+ a 2+ a 3, 所以 a 3= 2a 2，故 q = 2, 所以 a n = 2n ^n € N).⑵由(1)可知，a n = q n —1.2所以双曲线x 2 —厶=1的离心率e n = 1 + a n 2 = 1 + q 2(n—1｝.a n 由 e 2= \/1 + q = 2 解得 q = ~J 3.2n22222(n —1)22(n — 1).q — 1所以 e 1 + e 2 +^+ e n = (1 + 1) + (1 + q ) +•••+ [1 + q ] = n + [1 + q +・・・+ q ] = n +_- = n +-(3 — q 一 1 21).15. (2018 •衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总 数将发生如下变从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的 99%.n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年);10 10(说明：0.99 = (1 — 0.01)〜0.9).所以 (1)求实施新政策后第 (2)若新政策实施后的 2016年到2035年人口平均值超过 49万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2035 年后是否需要调整政策?70.5n + 45, 1 < n W 10 50 x 0.99 i, 11 W n W 20解析(1)由题意知，当n W 10时，数列｛a n ｝是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以 a n = 45.5 + (n —1) x 0.5 = 0.5n + 45.当11W n W 20时，数列｛a n ｝是公比为0.99的等比数列，而 an = 50x 0.99，所以a n = 50x 0.99 n—10.亠 -、、0.5n + 45, 1 W n W 10,所以新政策实施后第 n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n = *n —1050 x 0.99 , 11W n W 20.⑵设S 为数列｛a n ｝的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得820=10S0+ (a 11+ a 12+ …+ a 20)= 477.5 + 4 950 x (1 — 0.99 ) ~972.5(万),所以新政策实施到8202035年人口均值为 函~48.63<49.所以到2035年后不需要调整政策.16. (2018 •云、贵、川三省联考)设数列｛a n ｝是公差大于0的等差数列，8n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知3= 9, 且2a 1, a s — 1, a 4 + 1构成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 若数列｛b n ｝满足2= 2n —1(n € N )，设T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明：T n <6.b n答案(1)2n — 1 (2)略解析 (1)设数列｛a n ｝的公差为d ,则d>0.因为 S= 9，所以 a 1 + a 2 + a 3= 3a 2= 9，即卩 a 2 = 3. 因为2a 1, a 3 — 1, a 4 + 1构成等比数列， 所以(2 + d)2 = 2(3 — d)(4 + 2d),所以 d = 2.所以 a n = a 2 + (n — 2)d = 2n — 1. a n n —1*(2)证明：因为—=2 (n € N),b n2n 一 11所以 b n = -p -^= (2n — 1)( y n —1,11 1 —所以 T n = 1x(2)0+ 3x (2)1+・・・+ (2n — 1) x (2)n —1,①111 1 — 1 所以^T n = 1x (2)1 + 3x (2)2+・・・+ (2n — 3) x (2)n —1 + (2n — 1) x(?)n ,②由①②两式相减得1 1 ! 1 - 1 n — 11 n2T n= 1 + 2x((2) + 2x (2)+•••+ 2x( 2) — (2n — 1) x(刁=化简得答案(2)不需要2n — 1 1 2n — 1 亠~2n~ = 3 — 2n —2 — 2~，整理n — 12017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变8T n = 6 —2n + 32n —19第二次作业1.若方程X 2— 5x + mi = 0与X 2— 10x + n = 0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为 1的等比数列，贝U m ：n的值为（）A.1D. 4答案 A解析 设等比数列的公比为 q ,由根与系数的关系，得 1 + q + q 2 + q 3= 15,即（q — 2）（q 2+ 3q + 7） = 0，因此q=2,此时 m = q 2, n = q 4，故 m ： n = 1 : 4,故选 A. 2.某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年 25%勺增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立3.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则 a + b + c 的值为（）A.1B . 2SS C.— D.— 3638答案 C11 1 S解析 [(1 + 4)S —x](1+4)— x = (1 + 2)s , x = .36B.34又因为n € N *,所以T n = 6- 2n + 3<6.B.1C. 2 方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%贝U x 的值是（ A —322017年高考“最后三十天”专题透析C. 3D. 4答案 A15 3解析由题意知，a= ^, b = 16，c=池.故a + b+ c = 1,故选A.4. 今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个好教育云平台教育因你我而变101130分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，……，按照这种规律进行下去，到 上午11时30分公园内的人数是()11 12A. 2 - 47B . 2 - 57C. 213 -68D. 214- 80答案 B 解析由题意，可知从早晨 6时30分开始，接下来的每个 30分钟内进入的人数构成以 4为首项，2为公比的5. (2017 •河北唐山一中调研)定义：F(x , y) — y x (x>0 , y>0)，已知数列｛a n ｝满足：a n = F(2 n ) (n € N),若对任意正整数n ,都有a n >a«k € N)成立，则a k 的值为( )1 A ・2 B . 2 8 C.9答案 C则a k = £故选C.(x>0)的图像上.若点B n 的坐标为(n ,0)(n >2,n € N)，记矩形ABnGD 的周长为a n,则a 2 + a 3+・・・+等于( )A. 208 C. 212 答案 B 1 111 1 1解析 由B(n , 0)，得 C(n , n +-)，令 x + -= n +_, 即卩x 2- (n +_)x + 1 = 0,得 x = n 或 x =~,所以 D(-，n个30分钟内出来的人数为4 (1 - 210)b n ,则a n — 4X2 , b n = n ,故上午11时30分公园内的人数为 S — 2+10X( 1 + 10)2—57.9 D.— 8解析由题意得 F (n , 2) an= F (2, n ) 2n =~2且n a k = (a n ) min ，由指数函数 y = 2x 与二次函数y = x 2图像的对比可得当x>0时，2先减后增,x 2有最小值.x因此8a1= 2, a2 = 1, a3= 9, a4= J 所以 a2>a3且 a3<a4,所以(an)min = a3= ? 6. (2017 •保定模拟 )如图所示,矩形1ABGD 的一个边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点G, D 在函数f(x) = x + -xB . 216 D. 220等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列， 记第n 个30分钟内进入公园的人数为 a n ,第n 122017年高考“最后三十天”专题透析n x n n n n1 1 1+n)，所以矩形的周长an=2(n -n)+2(n+ n)=4n.所以a2+ a3+…+ a10=4(2+3+…+10)=216.故选B.好教育云平台教育因你我而变127. (2018 •江西九江一中月考)在等比数列｛a n｝中，a7是a s, a9的等差中项，公比q满足如下条件：△ OAB(O为原点)中，OA= (1 , 1) , O B= (2 , q)，/ A为锐角，则公比q = __________答案—29 —> —> 解析由a7是a s, a9的等差中项，知2a?= a s+ a9 = a?q + a?q，得q = 1或q = — 2.又因为/A为锐角，所以AO-AB=A O- (OB—S A = ( —1,—1) • (1 , q—1) = —q>0,可知q<0,故q = — 2.& (2017 •河北教学质量监测)已知函数y = x2(x>0)的图像在点(a k, aj处的切线与x轴交点的横坐标为a k+ 1(k € N)，若a1 = 16，贝V a1+ a3+ a5 = ________________________ .答案21______________________________ 2 . 2 2 1 解析由题意，得函数y = x (x>0)的图像在点(a k, a k)处的切线方程是y —a k = 2a k(x —a k).令y =0,得x = ?1 1 1 ——a k，即a k+1 = qa k，因此数列｛a k｝是以16为首项，㊁为公比的等比数列，所以a k= 16・q)k—1= 25—k，所以a1+ a3+ a5= 16+ 4 + 1= 21.9. (2017 •合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过____________ 分钟，该病毒占据64MB内存(1MB= 21°KB).答案45解析依题意可知a0= 2, a1= 2, a2= 2，…，a n= 2哙1.10 16 n + 1 16/64MB= 64X2 = 2 KB 令2 = 2 得n = 15.•••开机后45分钟该病毒占据64MB内存.10. 一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是一x，另一个是x + 3.设第n次生成的数的个数为a n,则数列｛a n｝的前n项和$= ______________若x = 1,前n次生成的所有数.中不同的数的个数为T n,贝U T4= ___________ .答案2n—1, 101 —2n解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S = = 2n— 1.1 —2当x = 1时，第1次生成的数为1,第2次生成的数为一1, 4，第3次生成的数为1, 2; —4,乙第4次生成的数为一1 , 4; —2, 5; 4, —1;—7, 10.故T4= 10.2 a 一2 11. (2018 •湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列｛a n｝ , ｛b n｝中，a1= a,｛b n｝是比公为；的等比数列，记b n= —-3 a n —1 (n € N)，若不等式a n>a n +1对一切n€ N*恒成立，则实数a的取值范围是答案(2 ,+^)132017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变14解析 因为b n =a n — 2 *百(n €N)，所以b n— 2 an=b —b n +1 — 2 b n — 21 1所以 an+ 1 一 an = b +1—^ 一 百=一1 1bn(1 — b n + 1)( 1 — b n )2(1 — 3b n )( 1 — b n )b n + 1 — b n<0,即 3 32 >0,解得 b n >2或 0<b n <1.若 b n >2，则 §b n — 1 )( b n — 1 )b n152 32/(刃㈠访对一切正整数n 成立，显然不可能；若 0<b n <1，则0<b i (q)nT <1对一切正整数n 成立，只要0<b i <13 2 3a i — 2 即可，即0<— <1,解得a i = a>2. a i — 112. (2018 •上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照 10万张，电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制总量，从 2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 {a n },每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{b n }，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；(2)从2017答案 (1)a 3 = 9, a 4= 8.5 , b 3= 4.5 , b 4= 6.75(2)229.25 万张 解析(1) **当 1 w n W 20 且 n € N , a n = 10+ (n — 1) X ( — 0.5) =— + q ；当 n 》21 且 n € N , a n = 0,「 n 21*丨一；+=, 1w n w 20且 n € N ,••• a n =f 2 2：0, n 》21且门€ N. a 4 + b 4 = 15.25>15 ,r3 —*2X(—) n —1, 1W n w 4且门€ N ,•- b n = 26.75 , n 》5且n € N*.20X 19 1⑵a 1 + a 2+，・・+ a 20= 10X 20+ 2 X ( — ?) = 105,2X [1 —( 3) 4]b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b s +^+ b 20=+ 6.75 X 16= 124.25.•••从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为 229.25万张.X13.(2017 •江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x) = + sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列「 n 21 口*—-^ —, 1< n < 20且门€ N , a n = 2 20, n >21且n € N〔2X( 3) n —1, 1 < 门三4且门€ N , n =26.75 , n 》5且门€ N2017年高考“最后三十天”专题透析为{X n}.好教育云平台教育因你我而变1617(1)求数列｛X n ｝的通项公式;X n13 ⑵ 令b n =，设数列｛ ｝的前n 项和为S,求证Sy. 2 n b n • b n +122 n*答案 (1)x n = 2n n (n € N) (2)略3x 1 2 n 解析 (1)f(x)= 2+ sinx ，令 f ' (x) = -+ cosx = 0,得 x = 2k n ±—^(k € Z). 2 2 3. , 2 n 2 n由 f ' (x)>0 ? 2k n - =<x<2k n + =(k € Z),3 3 ,, 2 n4 n由 f ' (x)<0 ? 2k n + m<x<2k n + — (k € Z), 2 n当x = 2k n -审很€ Z)时，f(x)取得极小值，3所以 X n = 2n n — -^—(n € N ).X n 1 3n — 1(2)因为 b n = 2 —= n — 3= 3—2 n3 3才- 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 才w - 3所以 S= 3(§— 5+ 5— 8+…+ 3n — 1 — 3n + 2) = 3(2 — 3n + 2) = 2—3n + 2，所以 Sn <2. 14. (2017 •山东，理)是各项均为正数的等比数列，且 X 1+ X 2= 3, X 3— X 2= 2.(1)求数列｛x n ｝的通项公式；⑵ 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 R(X 1, 1) , P 2(x 2, 2)，…,P n + 1(X n +1, n + 1)得到折线PQ …P n + 1,求由该折线与直线 y = 0, x = X 1, X = X n + 1所围成的区域的面积 T ；.解析(1)设数列｛x n ｝的公比为q ,则q>0.rx 1+ x 1q = 3, 2 n由题意得’ 2 所以3q 2— 5q — 2 = 0.因为q>0,所以q = 2, X 1 = 1.因此数列｛x n ｝的通项公比为X n = 2ngq — X 1q = 2,1所以1 b n • b n + 1 3 3n — 13 1 13n + 2 = 3(3n — 1 — 3n + 2)， 答案(1)2n —1(2 n — 1 )X2n+ 1 2 X2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变18⑵ 过P 1 , P 2，…，P n + 1向X 轴作垂线，垂足分别为 Q ,Q +1.1) X2—11n —3n — 2所以 T n = b 1+ b 2+…+ b n = 3X2 + 5X2 + 7X2 +…+ (2n — 1) X2 + (2n + 1) X2 ，①由(1)得X n + 1— X n = 2 — 2 1= 2 1，记梯形P n P n + 1Q + 1Q 的面积为b n ,由题意得b n =(n + n + 1)2x 2n —1= (2n +19又 2T n = 3X 2 0+ 5X 2 1 + 7X 2 2 +…+ (2n — 1) X2n 「2+ (2n + 1) X2 n 「1.②15. (2018 •浙江镇海中学模拟)已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等差数列，其中 a 1 = 1,且a ?, a 4, a §+ 2成等比数列；数列｛b n ｝的前n 项和为S ，满足2S n + b n = 1. (1)求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；⑵ 如果C n = a n b n ,设数列｛c n ｝的前n 项和为T n ,是否存在正整数 n ,使得T n >S 成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，说明理由.1答案 (1)a n = 1b n = g (2)存在 2解析 (1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,依条件有a 42= a 2(a 6 + 2)，即(a 1 + 3d) 2= (a 1 + d)(a 1+ 5d + 2)，解得d = 1—孑因数列各项均为正数，故舍去 )或d = 1,所以a n = a 1+ (n — 1)d = 1 + (n — 1) = n.由 2S n + b n = 1,得 S = *(1 — b n ). 1当 n = 1 时，2S + b 1 = 1,解得 b 1= 3;31 1 1 1当 n 》2 时，b n = S n 一 S n - 1 =空(1 一 b n ) 一 空(1 一 b n - 1) = 一 ^b n + ㊁^- 1 , 1 1 11 所以b n = "b n — 1,所以数列｛b n ｝是首项为-，公比为孑的等比数列，故b n =尹3 3 3 3(2)由(1)知，C n = a n b n = ^,1 11 1所以 T n = 1X二 + 2X 〒+ 3X 枣+•••+ n X 〒① 333 311 111 1在①式两边同乘 3,得3齐=1 X 32+ 2X 33 + 3X 亍+…+ n X 3+1②2111 1 1 3 3 1 n13 2n + 3 1由①②两式相减得§T n = 3+孑+ g+…+ g — n X 尹，整理化简得 T n = 4 — 4X 亍—?X g= -— — X 亍.又因为- 12—2X3n,当 n = 1 时，T 1 = S 1,—i2n — 1①一②得一T n = 3X2 + (2 + 2 +-+ 2 ) — (2n + 1) X2n — 13 2 (1 — 2 )+—(2n + 1) X2n — 1所以T n =(2n — 1)X2 n+ 1 1 1 3( 1 —0 S n = 所以T n — S n =2n + 1 42017年高考“最后三十天”专题透析, ,1 2n+1 1 1 n当n》2 时，4 —^^ X 才=4X3【3 —(2n + 1)]>0 ,所以T n>S，故所求的正整数n存在，其最小值是 2.好教育云平台教育因你我而变2021牛，所以 S n = X 1 + X 2+ X 3+…+ x n = 2n (1 + 2+ 3 + …+ n)-竽=n(n + 1) n - 3 3sinS n = sin( -2k n ) = 0;当 n = 3k - 1(k € N)时，sinS n = $"牛=¥；当 n = 3k -2(k € N *)时，sinS n = sin 年3 23备选题1.设某商品一次性付款的金额为a 元，若以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，且每期利率 r 保持不变,按复利计算，则每期期末所付款是 A. a (1 + r) n元 no ar (1 + r )= B. ■ n 兀(1 + r ) -1 a n- 1 ._.C ・n (1 + r)兀ar (1 + r ) n -1一 D. (1 + r ) n - 1 元 答案 B 解析设每期期末所付款是 x 元, 则各次付款的本利和为 n — 1 n — 2 n —3x(1 + r) + x(1 + r) + x(1 + r) +•••+ x(1 + r) + x = a(1 + r)n ,即 x .(1 +「)"-1 = a(1 + r) n ,整理得 x =(+斗.故选B. 1 + r ) - 1 2.在平面直角坐标系上，有一点列： P 1, P 2,…R,…(n* 2 * € N)，设点P n 的坐标为(n , a n )，其中a n = ^(n € N), 过点 P n , P n + 1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 b n ,设S n 表示数列｛b n ｝的前n 项和，则$ = 答案 125 ~6~ 解析 由题意得，过点 2 n +1 n P n , P n +1 的直线为 = ，即 2x + n(n + 1)y - 2(2n + 1) = 0.令 y = 0，得 x x — n ( n + 1) — n=2n + 1，令 x = 0，得 2 (2n + 1) y n (n +1) 1 ，所以 b n = x (2n + 1) X 2 (2n + 1)= 4 + —= 4 +〕-丄所 n (n + 1) n (n + 1) n n +1' 1 空 5 6= 3.设函数f(x) x =+ si nx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{X n } , {X n }的前n 项和为S n ,则S“S n 不可能取的值是 A. 0 C. 3 "2"答案 解析 由 f(x) x=2 + sinx ,1 2 n得 f ' (x) = + cosx ，令 f ' (x) = 0，得 x = 2k n ± 一3 (k € Z)，当 f ' (x)>0 时，2k2 nn - —<x<2k n +2n 2T (k €., , 4 n 2 n Z)，当 f ' (x)<0 时，2k n —W<x<2k n -g(k € Z).f(x)取极小值，即x n = 2n n 2n n , * , —，当 n = 3k(k € N)时,2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变224•一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b 件•当对产品做电视广告后，记每日*b播n 次时的日销售量为 &(n € N)件，调查发现：每日播1次则日销售量a i 件在b 件的基础上增加-件，每日播 2次则日销售量a 2件在每日播1次时日销售量a i 件的基础上增加二件，…，每日播 n 次，该产品的日销售量 a n 4 b件在每日播n — 1次时的日销售量a n -1件的基础上增加 刁件•合同约定：每播一次企业需支付广告费 2b 元.(1)试求出a n 与n 的关系式；⑵ 该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？1答案(1)a n = b(2 —歹)(2)每日电视广告需播 5次，日利润最大 b *解析(1)由题意，电视广告每日播 k 次时，该产品的日销售量a k 满足a k = a —1 + ^(k € N , a o = b),1 b b[1—(n ——.2 11 —21 * 即该产品每日销售量 a n (件)与电视广告播放量 n(次/日)的关系式为a n = b(2 —刁)(n € N). (2)该企业每日播放电视广告 n 次时的获利为1 1 C n = 100b(2 —歹)—2bn = 100b(2 — 0.02n — ^)(n € N).1-C n — C n -1 = 100b( 2^ — 0.02)》0, 即 2n w 50, n € N *,• n W 5(n € N *).1-6+1 — C n = 100b( 2^+1— 0.02) W 0,• 2n >25,「. n >5. • n = 5.•要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5 次.5.已知函数f(x) = log k x(k 为常数，k>0且k z 1)，且数列｛f(a n )｝是首项为4,公差为2的等差数列. (1)求证：数列｛a n ｝是等比数列；⑵ 若b n = a n • f(a n )，当k = ■. 2时，求数列｛b n ｝的前n 项和S;⑶ 若C n = a n lga n ,问是否存在实数 k ，使得｛C n ｝中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 k 的取值范围; 若不存在，说明理由.答案 (1)略(2)S n = n ・2n +3 ⑶(0，尊 U (1，+^)解析 (1)由题意知 f(a n ) = 4+ (n — 1) X 2= 2n +2，即 log k a n = 2n + 2， •] 2n + 2.・・a nk ， •.2 (n + 1)+ 2a n +1 k ,2 - = .2n + 2 = k . a k•••常数k>0且k z 1，「. k 2为非零常数.•数列｛a n ｝是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列.••• a n = b + 2+ 貞+…+ 2 2 € N *)•23⑵ 由(1)知，b = a n f(a n ) = k 2n +2 • (2n + 2),当 k = 2时，b n = (2n + 2)・2 n +1 = (n + 1)・2 n +2• - S = 2-2 3+ 3 ・2 4 + 4 ・2 5+-+ (n + 1)・2 n +2,① 2 4+ 3・25+…+ n ・2n +2+ (n + 1)・2 十.②得 S= — 2・2 3— 24 — 25—…一2n +2 + (n + 1)・2 n+ 3=—23 — (2 3+ 24 + 25+…+ 2n +2) + (n + 1)・2 n +3, 二 s= — 23——(—)+ (n + 1)・2 n +3= n ・2 n +3.1 — 22S = 2 • ②一①, ⑶ 存在.由(1)知，c n = a n lga n = (2n + 2) •k 2n +2lgk ,要使 6<6+1 对一切 n € N 成立，即(n + 1)lgk<(n + 2)k 2lgk 对一切n € N*成立.2 *①当 k>1 时，lgk>0 , n + 1<(n + 2)k 对一切 n €N 恒成立;2* __2n + 1②当 0<k<1 时，lgk<0 , n + 1>(n + 2)k 对一切 n € N 恒成立，只需 k<(^+2) min ,n + 1 1 卫=1—n^单调递增,•••当 n = 1 时，(叫)min = f.n + 2 3 ••• k 2<|,且 0<k<1，因此综上所述，存在实数 k € (0 ,U (1 ,+^)满足条件.6. (2017 •衡水中学调研卷 )设各项均为正数的数列｛a n ｝的前n 项和为 S,且S 满足S n 2 — (n 2+ n — 3)S n — 3(n 2(1)求a 1的值;⑵求数列｛a n ｝的通项公式;⑶证明：对一切正整数 n ,有 + +…+a 1 (a 1 + 1) a 2 (a 2 + 1) a n (a n + 1)1<3答案 (1)a 1 = 2(2)a n = 2n (3)略解析(1)令n = 1代入得a 1 = 2(负值舍去).2 2 2 * 2(2)由 S - (n + n — 3)S n - 3(n + n) = 0, n € N , 得 [S n -(n + n)](S n + 3) = 0. 又已知各项均为正数，故 S = n + n. 2 2当 n 时，a n = S n — S n -1 = n + n — (n — 1) — (n — 1) = 2n , 当n = 1时，a 1 = 2也满足上式， 所以 a n = 2n , n € N.* 2 2 2(3)证明：k € N , 4k + 2k — (3k + 3k) = k — k = k(k — 1) >0,• 4k 2+ 2k > 3k 2+ 3k.2017年高考“最后三十天”专题透析1 — 1 _ 1 孑 1a k (a k+ 1) =2k (2k + 1) =4k2+ 2k3k2+ 3k1 1 13(k —kT71 -1 1 1a1 (a1 + 1) + a2 (a2 +1)十十a n (a n+ 1)11111 1 131 2+2 3+ +n n+11 1 1= 3(1- n+7)<3.不等式成立.1 1以S5= 4X 5+ 1-2+2-3+ (5)好教育云平台教育因你我而变24。
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专题研究3数列的综合应用
第一次作业
1．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝()
A ．2
B ．－2
C.12D ．－12
答案 D
解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.
∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)．
∴4a 12－4a 1＋1＝4a 12－6a 1⇒a 1＝－12
. 2．(2017·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8
＝() A ．1＋2B ．1－ 2
C ．3＋22
D ．3－2 2
答案 C
解析 因为a 1，12a 3，2a 2成等差数列，所以12
a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，所以a9＋a10a7＋a8＝a1q8（1＋q ）a1q6（1＋q ）
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 3．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为()
A ．4 B.14
C ．－4
D ．－14
答案 C
解析 S 5＝5a 1＋5×42d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝a4－a24－3
＝2d ＝－4. 4．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()
A ．2018年
B ．2019年
C ．2020年
D ．2021年
答案 B
解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，
两边同时取对数，得n －1>lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05
＝3.8，则n>4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
5．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝()
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
答案 D
解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 72＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 72＝a 72＝16.
6．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝()
A ．3n ＋4
B ．6n ＋2
C ．6n ＋4
D ．2n ＋2
答案 C
解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，
则d 1＝a6－a26－2＝84＝2，d 2＝b6－b26－2＝124
＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.
∴数列{a n }为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{b n }为1，4，7，10，13，16，19，22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列．
∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.
7．(2017·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为()
A ．200
B ．300
C.5003
D ．400 答案 B
解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.
8．(2017·河南洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a1＋a5＋a9a2＋a3
＝()
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案 B
解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 42＝a 2a 8，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋7d)，∴a 1＝d ，∴a1＋a5＋a9a2＋a3＝3a1＋12d 2a1＋3d
＝3.故选B.
9．(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为。