湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 空间向量与立体几何 第1课时 向量与垂直

提示 (1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;
(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;
(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
利用三垂线定理及逆定理证明垂直关系
【例1】 如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD1,AC,CB1,B1A,求
同的单位长度,建立空间直角坐标系(图略),则
A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3).
因为点E在平面BCC'B'上,所以可设E(2,y,z).
因为 D'E⊥平面 AB'F,所以' ⊥ , ' ⊥ '.
因为 =(1,2,0),'=(2,0,3),' =(2,y-2,z-3),
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6. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC与BD的交点,M是CC1的中
点.求证:A1O⊥平面MBD.
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证明 建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则
O(1,1,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),M(0,2,1),D(0,0,0),=(2,2,0),=(0,2,1),
证:BD1⊥平面AB1C.
证明 如图,连接BD,A1B,∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜线BD1在平面ABCD内的射
影,AC⊂平面ABCD,
∴BD1⊥AC.
∵BA1是BD1在平面ABB1A1内的射影,AB1⊂平面
ABB1A1,AB1⊥A1B,∴BD1⊥AB1.
1
=(0,0,1), =(0,0,2),所以
=
1

,所以
2
1 1
的坐标为(2 , 2,0).易知
OE∥AS.又 AS⊥底面 ABCD,所以
OE⊥平面 ABCD.又 OE⊂平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABCD.
(方法二)设平面 BDE 的法向量为 n1=(x,y,z).
1 1 1
平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.
证明 因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的
直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则
B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2√2,0),C(2,2√2,0),
(方法一)因为=(-4,2√2,0), =(2,2√2,0),=(0,0,4),所以
= 1,
2 + 2(-2) = 0,
5
所以
解得
5 所以 E 2,1, .
3
= ,
4 + 3(-3) = 0,
3
规律方法 用向量证明线面垂直的方法
基向
量法
在几何图中选取基向量,利用基向量表示平面外的直线和平面内的
不共线的两条直线,证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量
垂直
建立空间直角坐标系,利用坐标表示直线的方向向量及平面内不共
2.三垂线定理及其逆定理:
本质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理
一条斜线
(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的
在这个
平面内的 射影 垂直,则它和这条 斜线 也垂直.
本质是平面内的直线与平面的斜线垂直的性质定理
(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的 一条直线 和这个平面的
一条斜线 垂直,则它和这条斜线在平面内的射影也垂直.
2 ·1 = 0,
2 · = 0,
的一个法向量为
√3
n2=(1,1, ).
3
因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)三垂线定理;(2)空间向量与垂直.
2.方法归纳:利用逻辑推理及三垂线定理及逆定理证明垂直关系;向量转化
变式训练3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截
面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=
BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
√3,AB=AC=2A1C1=2,D为
证明 (方法一)如图,建立空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,√3),C1(0,1,√3),因为
∵AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面AB1C,
∴BD1⊥平面AB1C.
规律方法 利用三垂线定理证明线线垂直的步骤
(1)找平面(基准面)及平面的垂线;
(2)找射影线;
(3)证明射影线与直线垂直,从而得线线垂直,更进一步证明线面垂直或面
面垂直.
变式训练1在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,
1 ·1 = 0,
31 = 0,
√
由
得
令 y1=-1,则 x1=1,z1=0.
1 + 1 = 0.
1 · = 0,
所以平面 A1AD 的一个法向量为 n1=(1,-1,0).
-22 + 22 = 0,
√3
由
得
令 y2=1,则 x2=1,z2= ,所以平面 BCC1B1
3
-2 + √32 = 0.
( C )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析 因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又MC⊥平面ABCD,则
BD⊥MA.又M在平面ABCD外,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相
交.
1 2 3 4 5 6
2.平面α的一个法向量是(1,2,3),平面β的一个法向量是(3,0,-1),则平面α与β
D 为 BC 的中点,所以点 D 的坐标为(1,1,0),
所以=(1,1,0),1 =(0,0,√3), =(-2,2,0).
因为 · =1×(-2)+1×2+0×0=0,1 · =0×(-2)+0×2+√3×0=0,所以 ⊥
, 1 ⊥ ,所以 BC⊥AD,BC⊥AA1,又 A1A∩AD=A,AD,AA1⊂平面 A1AD,所
A.l1与l2平行
B.l1与l2垂直
C.l1与l2异面垂直
D.l1与l2垂直相交
解析 因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.故选B.
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4.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若
l⊥α,则m=( D )
∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求
证:PB⊥BC.
证明∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA⊂平面
PAC,∴PA⊥平面ABC.∴AB是直线PB在平面ABC内的射影.
又AB⊥BC,BC⊂平面ABC,∴PB⊥BC.
探究点二
坐标法 线的向量,根据向量数量积的坐标运算证明直线的方向向量与平面
内的两不共线向量数量积为0
法向
建立空间直角坐标系,利用坐标表示直线的方向向量,求出平面的
量法
法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量共线
变式训练2
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD= 2√2 ,CD=2,PA⊥
1 =(1,-1,2),所以1 ·=0,1 ·=0,又 DB∩DM=D,DB,DM⊂平面
MBD,所以 A1O⊥平面 MBD.
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· = 4 = 0,
· = 2 + 2√2 = 0.
√2
√2
令 x=1,则 y=- 2 .因此 n=(1,- 2 ,0).由于=(-4,2√2,0),且=-4n,因此 BD⊥平
面 PAC.
角度2.利用向量证明平面与平面垂直
【例3】 在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且
α1,α2的法向量,n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).
位置关系
l1⊥l2
向量表示
v1⊥v2
l1⊥α1
v1∥n1
α1⊥α2
n1⊥n2
向量运算
v1·v2=0
n1=kv1
n1·n2=0
坐标运算
x1x2+y1y2+z1z2=0
a1=kx1,b1=ky1,
c1=kz1,k为非零常数
a1a2+b1b2+c1c2=0
A.1
B.-1
解析 由 l⊥α,可知
1 2 3 4 5 6
C.3
1
a∥n,则有-1
=
D.-3
2
-2
=

,解得
3m=-Biblioteka .故选 D.5.设平面β的法向量v=(x,-1,2),平面α的法向量n=(-2,2,-4),若平面β⊥α,则
x=
-5
.
解析 由β⊥α,得v⊥n,则-2x-2-8=0,所以x=-5.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于l在平面α内的射影,则l与m
垂直.( × )
(2)若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线,则这两
个平面互相垂直.( √ )
2.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系?
向量在垂直问题中的应用
角度1.利用向量证明线面垂直
【例2】 [北师大版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长
AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E
的位置,使D'E⊥平面AB'F.
解 以A为原点, , , ' 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,并取相
课程标准
1.了解三垂线定理及其逆定理的内容.
2.掌握利用直线的方向向量与平面的法向量判定直线与直线、直线与平
面、平面与平面的垂直关系.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点
向量与垂直
1.v1,v2分别为直线l1,l2的方向向量,v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),n1,n2为平面
· =(-4)×2+2√2×2√2+0×0=0, ·=
(-4)×0+2√2×0+0×4=0,所以 BD⊥AC, BD⊥AP.因为 AP∩AC=A,AC⊂平面
PAC,AP⊂平面 PAC,所以 BD⊥平面 PAC.
(方法二)设平面 PAC 的法向量为 n=(x,y,z),由于=(0,0,4), =(2,2√2,0),则
易知=(-1,1,0), =(- , , ),
2 2 2
1 · = - + = 0,
1 ⊥ ,
所以
即
1
1
1
1 · = - + + = 0.
1 ⊥ ,
2
2
2
令 x=1,可得平面 BDE 的一个法向量为 n1=(1,1,0).因为 AS⊥底面 ABCD,所以
平面 ABCD 的一个法向量为 n2==(0,0,1).因为 n1·n2=0,所以平面 BDE⊥平
面 ABCD.
规律方法 用向量证明面面垂直的方法
判定
利用向量证明平面内一条直线的方向向量与另一个平面内的两不
定理法 共线向量垂直
法向
建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,根据向量数量积的坐
量法
标运算证明两法向量的数量积为0
的位置关系是( C )
A.平行
B.相交且不垂直
C.垂直
D.不确定
解析 因为(1,2,3)·(3,0,-1)=1×3+2×0+3×(-1)=0,所以平面α⊥平面β.故选
C.
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3.若直线l1,l2的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则下列结论一定正确
的是( B )
法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直.
3.常见误区:三垂线定理中的条件是“平面内的一条直线”,忽视这一条件,就
会产生错误结果.利用向量法证明垂直关系,涉及的运算要准确,尤其是平
面法向量的计算要正确.
学以致用·随堂检测促达标
1. 如图,如果MC垂直于菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是
以BC⊥平面A1AD,
又BC⊂平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(方法二)同(方法一)建系后,得
1 =(0,0,√3),=(1,1,0), =(-2,2,0),1 =(0,-1,√3).
设平面 A1AD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2).
AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.
证明设 AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系,则
1 1 1
B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),E(2 , 2 , 2).
(方法一)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 OE,则点 O