专题课第七讲：半角模型
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（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以 证明．
例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延 1
长线上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE-FD． 2
1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM．
可得△OEF≌△OEF′
模型分析
∵△OBF ≌△OAF′，
∴∠3=∠14，OF=OF′. ∴∠2= 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边，
∴△OEF≌△OEF′.
例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N． （1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且
∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时， BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；
4、如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延 长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量
关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝ 1
2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问
题得到解 决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且∠MON=60°．
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍 然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系．
八次专题课目录
第一讲：乘法公式 第二讲：因式分解 第三讲：角平分线模型 第四讲：手拉手模型 第五讲：三垂直模型 第六讲：倍长中线、截长补短 第七讲：半角模型 第八讲：将军饮马模型
已知如图：①∠2= 1 ∠AOB；②OA=OB.
2
O
23
F'
1
O 4 23 1
F
F
E
BLeabharlann EBAA
连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，
∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．
2
（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）
例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延 1
长线上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE-FD． 2
1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM．
可得△OEF≌△OEF′
模型分析
∵△OBF ≌△OAF′，
∴∠3=∠14，OF=OF′. ∴∠2= 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边，
∴△OEF≌△OEF′.
例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N． （1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且
∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时， BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；
4、如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延 长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量
关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝ 1
2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问
题得到解 决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且∠MON=60°．
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍 然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系．
八次专题课目录
第一讲：乘法公式 第二讲：因式分解 第三讲：角平分线模型 第四讲：手拉手模型 第五讲：三垂直模型 第六讲：倍长中线、截长补短 第七讲：半角模型 第八讲：将军饮马模型
已知如图：①∠2= 1 ∠AOB；②OA=OB.
2
O
23
F'
1
O 4 23 1
F
F
E
BLeabharlann EBAA
连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，
∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．
2
（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）