高考数学专题46几何概型文(2021年整理)

考点46几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义.
一、几何概型 1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

2．几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. （2）每个基本事件发生的可能性相等. 3．几何概型的概率计算公式
.
4．必记结论
(1）与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关；
（2）与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题; （3）与体积有关的几何概型。

二、随机模拟
用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.
()P A A 构成事件的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
这个方法的基本步骤是：
（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义; (2）统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ； （3）计算频率
作为所求概率的近似值.
注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值。

考向一 与长度有关的几何概型
求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化
为相应长度,进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等。

注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键,但边界点能否取到不会
影响事件的概率.
典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7：50～8：30,课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9:30之间
到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
故
所求概率为
，选A ．
()n M f A N
=
A
A A
121323
35
201402=
典例2 在区间上随机抽取一个数，则事件“"发生的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】区间的长度为2，
由可得
,
所以所求事件的概率为P =.
1．公共汽车在7：00
到7:20内随机到达某站，李老师从家里赶往学校上班,7：15到达该站，则她能等到公共汽车的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B )，则以AC ，BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
考向二与面积有关的几何概型
求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.
[]0,2x
1211l o g 1
2x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭342
313
14
[]0,21211l o g 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭302x ≤≤
3
322
4-=1
32314
34
典例3在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=，半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B，若随机向扇形AOB内投一点，则该点落在半圆C外的概率为
A．B．
C．D．
【答案】A
S’=×R2=,
则所求概率P=1-=1-,故选A．
率是________。

【答案】
【解析】若点P到三个顶点的距离都不小于2,则P的位置位于图中阴影部分，三角形在三个圆的面积之和为，的面积为
S
S'
1
6
-
2
1
22
2
⨯⨯=
△A B C
1
6412,
2
S=⨯⨯=
则阴影部分的面积为， 故所求的概率为
.
3．圆O 内有一内接正三角形，向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为
A
B
C
D
4．已知是集合
所表示的区域,是集合所表示的区域，向区域内随机地投一个点，则该点落在区域内的概率为________.
考向三 与体积有关的几何概型的求法
用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可。

一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时,可以考虑用此方法求解。

典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10，飞行才是安全的。

假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是
12
2S
=-1221126P -==-
1Ω()22
{,|1}x y x y +≤2Ω(){,|1}x y x y +≤1Ω2
Ω
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
5．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
考向四 随机模拟的应用
利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率
,然后根据列等式
求解。

典例6《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为
5
12
23
1
274
25
1
4-
12
4
112
-()A P A =随机取的点落在中的随机取点频数的总次数()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积A P A =
边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股—勾）2
=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2
+股2
=弦2
.设勾股形中勾股比为
,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,
则落在黄色图
≈1。

732)
A ．134
B ．268
C ．402
D ．536
【答案】C
6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为
A ． m 2
B ．2 m 2
C ． m
2
D ．3 m 2
8338
1
．在内任取一个实数，则
的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若任取,则点满足的概率为 A ． B ．
C ．
D ．
3．在区间上随机地选择一个数则方程有两个正根的概率为 A ． B ．
C ．
D ．
4．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2
+y 2
≤1的点(x ,y ),其中满足｜x|+｜y|≤1的点有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行"的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
[]0,x
1sin 2
x ≤
2 3
1 213
1 4
[]0,1、x
y ∈(),P x y y x >2
31312
34
[]
0,4,
p 2380x p x p -
+-=132
312
14
4m n 4n m 2m n
2n m
1
27
1
16
38
8
27
6．如图,在矩形ABCD中,AB
,
BC=1，以A为圆心、1为半径作圆弧DE,点E在线段AB上,在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是
A．B．
C．D．
7．已知函数为自然对数的底数)的图象与直线轴围成的区域为,直线与轴、轴围成的区域为，在区域内任取一点，则该点落在区域内的概率为
A．B．
C．D．
8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步,股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步?"现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A．B．
C．D．
9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断，则两截的长度都大于米的概率为
__________.
1
4
1
3
2
5
3
5
()
2,01
(e
1
,1e
x x
f x
x
x
⎧≤<
⎪
=⎨
≤≤
⎪⎩
e、
x x
=E e1
、
x y
==x y F F
E
4
3e
2
3e
2
3
2
e
815
3
10
3
20
3
1
10
-
3
1
20
-
1
8
10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点，则该点取自正方体的内
切球内的概率为__________.
11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待，试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
12．某班早晨7：30开始上早读课,该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且
两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的。

（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域; （2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.
13．已知函数
). (1）若从集合中任取一个元素从集合中任取一个元素，求方程有实根的概率；
（2)若从区间中任取一个数从区间中任取一个数,求方程没有
实根的概率。

()2
2(,fxa x b x a a b =-+∈R a {}0,1
,2,3,b {}0,1
,2,3()0f x =b
[]0,2,a
[]0,3()0
f x =
1．(2017新课标全国Ⅰ文科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2016新课标全国Ⅱ文科）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.
若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2017
江苏）记函数
的定义域为
．在区间上随机取一个数，
则的概率是 ▲ ．
1．【答案】C
2．【答案】C
148
12
4
7
10
58
38
3
10
()f x D
[4,5]-x x D ∈变式拓展
【解析】设AC =x ，则BC =10-x ,0〈x 〈10，
由题意πx 2
+π（10—x ）2
<58π,得x 2
—10x +21<0,得3<x <7,
故所求的概率为。

3．【答案】
C
【解析】由题可得,设正三角形的边长为2,。

其外接球的直径为
，所以其半径为,所以面积为.
由几何概型可知，所求概率为
故选C ．
4
．【答案】
【解析】易知的面积,的面积,
根据几何概型可得所求事件的概率为P=
5．【答案】D
6．【答案】A
【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到=,所以该不规则图形的
面积大约为=(m 2
)。

1．【答案】C 【解析】若
,则在内,
22s in 60r ︒
=r =43
S =3P ==21 Ω1S =2 Ω22
S =2
.
正方形
不规则图形
S S 375
100010003758
3
1sin 2
x ≤
[]0,5
066或x x ≤≤≤≤考点冲关
所以所求概率为.选C ．
2．【答案】C
【解析】根据几何概型的概率计算公式可知=.故选C ．
3．【答案】A
【解析】因为方程有两个正根，所以所以或
又因为所以所求概率为。

4．【答案】D
【解析】画出可行域,如图所示,四边形ABCD 的面积为2,其中圆O 的面积为π。

由几何概型的概率公式，可得
,则π=,故选D
．
5．【答案】D
【解析】依题意得，模型飞机“安全飞行”的概率为(）3
=,故选D 。

6．【答案】B
2
1
603
P ⨯==
-P 1
11
1211
2⨯⨯=⨯2
380x p x p -
+-=()24380
0,380p p p p ∆⎧=--≥⎪
>⎨
⎪->⎩
8p ≥8
4,3
p <≤[]0,4,p ∈841
343P -
==
2
m n
=
2n
m
626-8
27
要使直线AP 与线段BC 有公共点,则点P 必须在圆弧EM 上,
于是所求概率为P =。

故选B ．
7．【答案】A
【解析】由题意，区域F 的面积为e;
区域E 的面积S =
=，
所以在区域内任取一点，则该点落在区域内的概率为。

8．【答案】D
【解析】由题意,直角三角形内切圆的半径r =，
所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =.
9．【答案】
163
2
=1
e 2
011d d x x x x +⎰⎰31e 0114|l n |3
3x x +=
F E
4
3e
81517
3
2
+-=1
8159
3211208152
⨯⨯-=-
⨯⨯3
4
10．【答案】
【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4，
而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,
所以所求概率P=.
11．【解析】设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则0≤
x〈24,0≤y〈24.
若有一艘在停靠泊位时必须等待，则｜y-x｜〈6,如图中阴影部分所示，
所以所求概率为1—=1-=。

12．【解析】（1)用分别表示小陈、小李到班的时间，则,所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示．
（2）小陈比小李至少晚到5分钟,即，对应区域为,
则所求概率为．
，x y][
10,3010,30
，
x y
⎡⎤
∈∈
⎣⎦
5
x y
-≥△B E F
1
15159
2
202032
△B E F
A B C D
S
P
S
⨯⨯
===
⨯
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，即基本事件总数为16．
设“方程恰有实根”为事件
当或”时，“方程恰有实根”即为“或”。

于是此时的取值情况为即包含的基本事件数为10． 故 “方程有实根”的概率为
．
（2）从区间中任取一个数从区间中任取一个数
则试验的全部结果构成区域， 这是一个长方形区域，其面积为， 设“方程没有实根”为事件,则事件所构成的区域为，其面积为．
由几何概型的概率计算公式可得“方程没有实根”的概率为
．
1．【答案】B
【解析】不妨设正方形边长为,由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相
等，即各占圆面积的一半．
由几何概型概率的计算公式得，所求概率为
,选B ．
a b
()0
f x =,
A 220440
a b a ≠⎧⎨-≥⎩0a =()0
f x =b a ≥0a =,a b
(
)()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,A ()0
f x =()105
168
P A =
=[]0,2,
b
[]0,3,
a (){
,|03,02}a b a b ≤≤≤≤236⨯=()0
f x =B
B
()
{,|03,02,}a b a ba b ≤≤≤≤>1
6224
2-⨯⨯=()0
f x =()42
63P B ==
a 221()228a
a ⨯⨯=
直通高考
【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域;
另外,从几何概型的定义可知,在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比,而与该区域的位置、形状无关． 2．【答案】B
【解析】因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率
为，故选B ．
3．【答案】
【名师点睛】(1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时,应考虑使用几何概型来求解．
(2）利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域． （3)几何概型有两个特点:①无限性，②等可能性．
基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
40155
408-=5
9。