第七章 7.1.2 全概率公式

∴P(B)＝i＝21P(Ai)P(B|Ai)＝23(1－0.03)＋13(1－0.02)＝239020＝7735.
12345
3.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的
占 50% ， 三 厂 生 产 的 占 20%. 又 知 这 三 个 厂 的 产 品 次 品 率 分 别 为
n
P(Ai)P(B|Ai)
P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ i＝1
，
我们称该公式为全概率公式.
*知识点二 贝叶斯公式
设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，
i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai ＝ PAiPB|Ai ，i＝1,2，…，n.
解 记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B， 且A，B互斥， 由题意，得 P(A)＝3500＝35，P(B)＝5200＝25， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝1725.
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
n
PAkPB|AkkFra bibliotek1思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若 P(A)>0，P( A )>0，则 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A ).( √ )
3
2.若 A1，A2，A3 互斥且 P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
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5.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中 通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人 呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则： (1)某人化验结果为阳性的概率为_1_._4_7_%__； 解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”. P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
3
由全概率公式得 P(A)＝ P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8
i＝1
＝0.86.
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？
解 由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝PB1PPAA |B1＝0.20×.806.95＝1896， P(B2|A)＝PB2PPAA |B2＝0.30×.860.9＝2876， P(B3|A)＝PB3PPAA |B3＝0.50×.860.8＝4806. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂 生产的可能性最小.
反思 感悟
两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与 A ). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱， 甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
跟踪训练3 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三 家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混 合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、 乙、丙厂生产.
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
238×49＝172.
三、条件概率在生产生活中的应用
例3 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%， 各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件. (1)求取到的是次品的概率；
解 记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”， 事件A2＝“该产品为乙厂生产的”， 事件A3＝“该产品为丙厂生产的”， 事件B＝“该产品是次品”.
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95 (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为_2_9_4__. 解析 P(B|A)＝PPAAB＝0.51%.4×7%95%＝29954.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)全概率公式. (2)贝叶斯公式. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1. 有 朋 自 远 方 来 ， 乘 火 车 、 船 、 汽 车 、 飞 机 来 的 概 率 分 别 为 0.3 ，
0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为
事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”， 事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”， 事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”， 则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥. P(B1)＝CC2528＝154，P(B2)＝CC15C28 13＝1258，P(B3)＝CC2823＝238， P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝154×23＋1258×59＋
2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是
√A.0.013
B.0.04
C.0.002
D.0.003
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解析 设事件A为“任取一件为次品”， 事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3， 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01， P(A|B3)＝0.01. ∴P(A) ＝ P(A|B1)P(B1) ＋ P(A|B2)P(B2) ＋ P(A|B3)·P(B3) ＝ 0.02×0.3 ＋ 0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
解 P(A)＝30×13000×＋12000×120＝59， P(B)＝30×12000×＋12200×120＝49， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝59×1600＋49×1500＝118.
二、多个事件的全概率问题
第七章 §7.1 条件概率与全概率公式
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式(不作考试要求).
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且
解 由贝叶斯公式(或条件概率定义)， 得 P(A1|B)＝PPAB1B ＝PA1PPBB |A1＝1385.
反思 感悟
条件概率的内含 (1)公式P(A1|B)＝PPAB1B ＝PA1PPBB |A1反映了P(A1B)，P(A1)， P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事 情A1发生的可能在各种可能原因中的比重.
解 从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C28＝8×2 7＝28， 这 2 个产品都是次品的事件数为 C23＝3， ∴这 2 个产品都是次品的概率为238.
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品， 求取出的这个产品是正品的概率.
解 设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，
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2.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出
现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零
件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是
2 A.75
7 B.300
√C.7735
973 D.1 000
解析 设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2， B＝“任意取出一个零件是合格品”. 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
3 随堂演练
PART THREE
1.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球
(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为
2 A.9
3 B.9
√C.130
7 D.10
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解析 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球， 则 P(B)＝P(AB)＋P( A B) ＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )， 由题设易知 P(A)＝130，P( A )＝170， P(B|A)＝29，P(B| A )＝39， 于是 P(B)＝130×29＋170×39＝130.
i＝1
(×)
2 题型探究
PART TWO
一、两个事件的全概率问题
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行 民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生 占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是 女生的概率.
解 如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事 件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝58，P(A2)＝38， 且 P(B|A1)＝35，P(B|A2)＝13. 由全概率公式可知 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝58×35＋38×13＝12.
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1) ＝4%， P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.
3
由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.
i＝1
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.
例2 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
表所示：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
解 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品 牌的事件，B表示买到的是优质品的事件， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%， 且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
反思 感悟
“化整为零”求多事件的全概率问题
3
(1)如图，P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai).
i＝1
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事 件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已 知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正 品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
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4.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任 13
取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为_2_5_.
解析 设A＝“从乙袋中取出的是白球”， Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2. 由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2) ＝CC2522·140＋CC13C25 12·12＋CC2523·160＝2153.