课件1：3.2 一元二次不等式及其解法（一）

解得
0<x<5
所以,当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；
超过5小时，选择公司B的费用少.
四、小结
1. 解一元二次不等式的步骤 （1）化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0) （2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根; （3）根据图象写出不等式的解集.
第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法
一、基础知识讲解
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的 不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的基本形式: ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) ax2+bx+c≥0(a≠0) ax2+bx+c≤0(a≠0)
一、基础知识讲解 引例1：解不等式 2x－7＞0
一、基础知识讲解 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0
y
x1 x2
⊿=0
y
x x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
相等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1}
练习 口答：
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}. (2) x2<9的解集是 {x∣-3<x<3 } . (3) x2-3x-4≥0的解集是 {x∣x≤-1或x≥4} . (4) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2.}
(5) (x-1)2≤0的解集是 {1} .
y
o 3.5
x
思考：一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关 系？ 一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什 么关系？
答：方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标；
不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x 的范围。
一、基础知识讲解
引例2：解不等式 x2-x-6>0 x x 2,或x 3
范围.
解：依题意可知，对任意x∈R，不等式kx2-6kx+k+8≥0 应恒成立，所以
（1）若k=0，则可得8>0，满足题意
（2）若k≠0，则应满足 k>0
△=(-6k)2-4k(k+8)≤0
解得
∴0<k≤1 综上所述，k∈[0，1]
k>0 -1≤k≤1
三、巩固练习
不等式ax²+bx+c>0的解集是全体实数的条件是 __a_=__b_=_0_且__c_>_0_,或__a_>_0_且__△__＝__b__²-_4_a_c_<_0__.
解:假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)，
公司B收取的费用为 1.7x x x 1 0.1 x 35 x (元).
2
20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则
x 35 x
20 1.5x (0< x <17).
整理得
x2 - 5x < 0 (0< x <17)
{x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车 刹车前的车速至少为79.94km/h.
题3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选 择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如下：在用户上网的 第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元 (若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算). 一般来说,一次 上网时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于 17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选 择公司B所需费用少?
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
∅
无实根
R ∅
一、基础知识讲解
小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤：
① 将二次项系数化为“+”（a>0);
② 计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根
③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 由图象写出解集.
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
二、例题分析 例1.解不等式x2 5ax 6a2 0(a 0)
解: 原不等式可化为： 相应方程
的两根为
二、例题分析 例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2&;0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3,
∴
练习. (1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}， 则实数a=__-1__,b=__-6___.
注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意 数形结合
2.注意含参数不等式求解时，对参数的分类讨论。
3.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元 二次方程的根及二次函数图象之间的关系。
思想方法: 1.数形结合 2.分类讨论 3.化归
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应用 题1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,
这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有 如下的关系: y = -2 x2 + 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得 到: -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0 有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
题2.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车 车速x km/h有如下关系: s 1 x 1 x2 .
20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那 么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)
一、基础知识讲解
练习：1二次函数 y=ax2+bx+c的对应值表如下： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则ax2+bx+c>0解集是 x x 2,或x 3.
2.解不等式 (1) 4x2－4x+1>0 (2) －6x2 +x－2≤0 解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是:x1=x2=0.5 而函数y=4x2-4x+1的开口向上 所以原不等式的解集为{x|x≠0.5}
x
1 2
x
1 3
二、例题分析
例3. 若函数y x2 - 6kx k 8的定义域为R，求k的取值 范围.
解：依题意可知，对任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0 应恒成立，所以
k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0
解得 9
8
≤k≤1
二、例题分析
变式.若函数y kx2 - 6kx k 8的定义域为R，求k的取值
思考：不等式x2-x-6>0的解与二次函数y=x2-x-6图像又有
y
什么关系?
y=x2-x-6
解： 因为△=1+24>0
∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2，x2=3
由函数y=4x2-4x+1的图像
-2 o
3x
可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3}
解不等式 x2-x-6<0
(12, 245)
解:设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h, 根据题意,得到:
1 x 1 x2 39.5. 移项整理,得 x2+9x-7110>0.
20 180
显然△>0, 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即
x1≈-88.94, x2≈79.94
画出函数y=x2+9x-7110的图象,由图象 得不等式的解集为