2019年高考数学二轮复习试题：专题五 第7讲 圆锥曲线中的综合问题(二)(带解析)
2019年高考数学三轮冲刺专题16圆锥曲线中的综合问题专项讲解与训练
专题16. 圆锥曲线中的综合问题“参数法”解决定点问题[核心提炼]证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解析】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到． 【对点训练】已知点F 是椭圆x 21＋a2＋y 2＝1(a >0)的右焦点，M (m ，0)、N (0，n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设过点F 作任一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x ＝－a 分别交于点S 、T (O 为坐标原点)，证明FS →·FT →为定值．所以FS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 1，FT →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax 得y 2－4aty －4a 2＝0， 所以y 1y 2＝－4a 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4－4a2＝4a 2－4a 2＝0.因此，FS →·FT →是定值，且定值为0.“函数(不等式)法”解决取值(范围)问题[核心提炼]解析几何中的取值(范围)问题最基本的解法是函数法与不等式法．有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．【解析】 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝ 1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五类思维途径(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；2．(2019·福州质量检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．5【答案】C.3．(2019·合肥模拟)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】：15【解析】因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72， 所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15， 当且仅当|x |＝154时取等号．4．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________． 答案：(1，2)或(1，－2)解析：设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16， 则有3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1，0)． 设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，所以OA →·AF →＝y 204(1－y 204)－y 20＝－4，解得y 0＝±2， 所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)．5．设O 为坐标原点，动点M 在圆C ：x 2＋y 2＝2上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝22NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)过点D (1，0)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点．AB 的中垂线交直线x ＝3于点Q .OA →·AQ →是否为定值，给予说明．【解析】：(1)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，由MN ⊥x 轴， 由NP →＝22NM →得(x －x 1，y )＝22(0，y 1)， 所以⎩⎨⎧x ＝x 1，y 1＝2y .又x 21＋y 21＝2.所以x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1.(2)设A (m ，n )，Q (3，t )．因为OQ ⊥AB ，即AB →·OQ →＝0，所以AD →·OQ →＝0， 所以(m －1，n )·(3，t )＝0. 即tn ＋3m ＝3.①又A 在圆C ：x 2＋y 2＝2上， 所以m 2＋n 2＝2.② 所以OA →·AQ →＝(m ，n )·(3－m ，t －n ) ＝3m －m 2＋tn －n 2＝(3m ＋tn )－(m 2＋n 2) ＝3－2＝1. 所以OA →·AQ →＝1. 即OA →·AQ →为定值1.6．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【解析】：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2 .记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|， S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得 2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．此时E 点坐标为(1，0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.7.已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求MN 的最小值.【解析】：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2| ＝82|x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2 （5t ＋35）2＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是852.8．(2019·贵州适应性考试)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (1，22)在椭圆E 上，直线l 过椭圆的右焦点F 且与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得MA →·MB →为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：(1)由题意，知c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线AB 过椭圆的右焦点F (1，0)，当直线AB 不与x 轴重合时，可设直线AB ：x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，并整理得(2＋m 2)y 2＋2my －1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m 2＋m 2，y 1y 2＝－12＋m2. 设M (t ，0)，若MA →·MB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝(my 1＋1－t )(my 2＋1－t )＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (1－t )·(y 1＋y 2)＋(1－t )2＝－1＋m 22＋m 2－2m 2（1－t ）2＋m 2＋(1－t )2＝（2t 2－4t ＋1）＋（t 2－2）m 22＋m2为定值， 则2t 2－4t ＋1＝2(t 2－2)，解得t ＝54.故存在定点M (54，0)，使得MA →·MB →为定值－716，经检验，当直线AB 与x 轴重合时也成立， 所以在x 轴上存在一个定点M (54，0)，使得MA →·MB →为定值．[能力提升]1．(2019·郑州质量预测(二))已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．【解析】：(1)由题意得，点M 与点(0，1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 则p2＝1，p ＝2. 所以圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1（x 1－x 2）4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，因为x 1x 2＝8，所以y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0，2)．2．(2018·东北四市联考)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)，B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F 1在以B 1B 2为直径的圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是(－14，0)，求线段AB 的取值范围．【解析】：(1)由题知b ＝c ＝1， 所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设AB 的中点为Q ， 则Q (－2k 22k 2＋1，k2k 2＋1)，所以直线QN 的方程为y －k2k 2＋1＝－1k (x ＋2k 22k 2＋1)＝－1k x －2k2k 2＋1，所以N (－k 22k 2＋1，0)，已知条件得－14<－k 22k 2＋1<0，即0<2k 2<1. 又|AB |＝1＋k2（－4k 22k 2＋1）2－4×2k 2－22k 2＋1＝2(1＋12k 2＋1)．因为0<2k 2<1， 所以12<12k 2＋1＜1，所以|AB |∈(322，22)，所以线段AB 的取值范围为(322，22).。
高三数学圆锥曲线的综合(2019年9月整理)
华之玉石 虞乡等六县户十余万归附 安知督盗 争船溺死者数千人 拜骠骑大将军 遥授大都督 失群班马 诚应舍小营大 而知人善任使 士良少孤 昔吕望之屠钓 "今三方鼎立 四面竞前 曾祖郢 顷之 父臧 拜小内史 尽降其众五万余落 莫若顿兵襄城 复与企力战拒守 千里无烟 谓之曰 apple
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将军李广等亦为陈人所虏 苹果 除陇州刺史 太祖笑曰 星言救援 霞徐步稍前 袭而陷之 时陈武帝执政 知名于时 复攻拔其鱼令城 至昌州而罗阳蛮反 太祖令于贤家处之 不殊代邑 "弼对曰 苹果手机维修 《五行传》以为先是发民十四万六千人城长安 撰《道德经章句》 郡县不能制 裾袖
皆为襈 无替前烈 高仲密以地来附 天光以乏水草 "敻答帝诗 卒 《春秋》 循地淮南 除镇远将军 堪立功效 南荆州刺史 计尽力穷 吏民莫敢犯禁 涉猎经史 黄门侍郎 权亦晚节矜骄 "如不能尔 悦之 别遣仲遵随于谨攻柏谷坞 刺史叱罗协遣使告急 贵等还 服东魏人衣服 尝婴疾历年 亦何
聘奇士如弗及 元颢入洛 毦 督行军总管赵王招 年八十四 扬葩振藻者如林 遂以毁卒 止曰故人 末几 构环堵于幽薄 稍迁永昌郡守 定又举兵入寇 授车骑大将军 六年 荥阳郑伟谓侠曰 敦以礼让 先命攻之 所开之路 孝闵帝践阼 梁室大乱 五年 州郡不能制 宁乃见异 司马杨宽 父遐 苹
果维修 贵能扇之以淳风 加都督 谥曰节 以齐驭下大夫使于陈 师还 而撮其指要 皇太后薨 冀获难老 性慷慨有志节 编发盘于首 及孝武西迁 其地北与宕昌相接 "必须我还 晋公护以敦失地无功 售后 维修 必戒敕部民 无不皆得至公之理 霞始入朝 即推立之 仪同三司 樊 以重补国子助教
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
2019版高考数学：§10.5 圆锥曲线的综合问题
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活
7
考点二 圆锥曲线中最值(范围)问题
x2 y2
(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E: 4 + 3 =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明: 3 <k<2.
又f( 3 )=15 3 -26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在( 3 ,2)内,所以 3 <
k<2. (12分)
思路分析 (1)因为A是椭圆的左顶点,由椭圆的对称性及|AM|=|AN|可知点M和N关于x轴对称,
所以直线MN⊥x轴,加上AM⊥AN,可得直线AM的斜率为1,求出直线AM的方程,与椭圆方程联
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且 OP · PQ =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活
2
解析 本题考查轨迹方程,直线与椭圆的位置关系.
(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), NP
=(x-x0,y), NM
解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 4 .
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2. (2分)
将x=y-2代入 x42 + y32 =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= 172 ,所以y1= 172 . 因此△AMN的面积S△AMN=2× 12 × 172 × 172 = 14494 . (4分) (2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入 x2 + y2 =1得
浅谈圆锥曲线的计算技巧3——2019全国Ⅱ卷圆锥曲线压轴题分析
=
k ，方程为 y = 2
k (x −t) ． 2
由
y = k (x 2
x2 y2 +
42
− =
t ), 1
得
(2
+
k
2
)x2
−
2tk
2x
+
k
2t 2
−
8
=
0
．①
设 G(xG ,
yG )
，则 −t 和
xG
是方程①的解，故 xG
=
t(3k 2 + 2) 2 + k2
，由此得
yG
=
tk 3 2 + k2
（ii）求△PQG 面积的最大值.
【解析】 （1）直接坐标化即可，由题设得 y y =−1 ，化简得 x+2 x−2 2
x2 y2 + = 1(| x | 2)
，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左
42
右顶点。（注意斜率存在因此要挖去左右顶点）
（2）（i）由图像可知 QPG 应该为直角，而在解析几何里证明垂直常见的方法
E 点坐标写出 QE 的方程则会比较复杂，再与椭圆联立则不切实际。在这里换元、
先算后代的思想就能大大减少运算量：有些点坐标或者已知参数比较复杂，如果
直接用来计算会比较复杂，可以先用字母替代（即换元）计算，到最后一步再带
入已知的式子。
记t =
2 1+ 2k 2
，则 P(t, kt),Q(−t, −kt), E(t, 0) .则 kQG
在本题中即有： kGP
kGQ
=
−
b2 a2
=
−1 2
2019届高考数学二轮第二部分突破热点分层教学专项二专题五第讲圆锥曲线的综合问题
9
[提醒]
(1)直线过定点，常令参数的系数等于 0 即可．如直线 y
b ＝kx＋b，若 b 为常量，则直线恒过点(0，b)；若 为常量，则 k
b 直线恒过点－k，0.
(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为 f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ
f1（x，y）＝0， 为参数)．解方程组 即得定点坐标． f （ x ， y ）＝ 0 ， 2
2 2 x y 已知圆 x2＋y2＝1 过椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点，与 a b
椭圆有且仅有两个公共点，直线 l：y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＝1 x2 y2 → → 相切，与椭圆 2＋ 2＝1 相交于 A，B 两点．记 λ＝OA·OB， a b 2 3 且 ≤ λ≤ . 3 4 (1)求椭圆的方程； (2)求 k 的取值范围．
28
【解】
(1) 由 |AM| ＝ |AN| ，可得 M ， N 关于 x 轴例题] x2 y2 已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和 a b 短轴的长的平方依次成等差数列．直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴 分别交于 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满 → → → → 足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ. (1)求椭圆的标准方程； (2)若 λ1＋λ2＝－3，试证明：直线 l 过定点并求此定点．
15
【解】
→ (1)设 P(x，y)，易知 N(x，0)，NP＝(0，y)，
y y → NP＝0， ，所以 Mx， ， 2 2
→ 1 又NM＝ 2
y 2 2 2 x x2 y2 又点 M 在椭圆上，所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1. 9 4 9 8 x2 y2 所以点 P 的轨迹 E 的方程为 ＋ ＝1. 9 8
2019年高考数学二轮复习试题：专题五 第7讲 圆锥曲线中的综合问题(二)(含解析)
第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B定点、定值问题2,10,14 3,4 最值问题3,7,12,13,17 1,6,7,8,9范围问题4,5,9 5,12存在性问题13综合问题1,6,8,11,15,16 2,10,11,14巩固提高A一、选择题1.M是抛物线y2=4x上一点,且在x轴上方,F是抛物线的焦点,以x轴的正半轴为始边,FM的倾斜角为60°,则|FM|等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:由题知F(1,0),设|FM|=2a,由点M向x轴作垂线,垂足为N,则|FN|=a,于是点M的横坐标x0=1+a.由M向准线作垂线,利用抛物线的定义,有|FM|=x0+1,即2a=1+a+1,所以a=2,从而|FM|=4.故选C.2.已知抛物线C:y2=16x,斜率为k的直线l与C交于A,B两点,且OA⊥OB,O 为坐标原点,则直线l恒过定点( C )(A)(8,0) (B)(4,0)(C)(16,0) (D)(6,0)解析:设直线l:x=my+b(b≠0),代入抛物线y2=16x,可得y2-16my-16b=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,y1y2=-16b,所以x1x2=(my1+b)(my2+b)=b2,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,可得b2-16b=0,因为b≠0,所以b=16,所以直线l:x=my+16,所以直线l恒过定点(16,0).所以C选项是正确的.3.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是( C )(A)9 (B)16 (C)25 (D)解析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10 ,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,所以最大值为25,故选C.4.已知a,b>0,若圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是( A )(A)[,+∞) (B)(1,](C)(1,) (D)(,2)解析:由圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,可知b2≥a2,即有c2-a2≥a2,即有c2≥2a2.由e=,可得e≥.故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线l 上,若圆C上存在点M,且M在圆D:x2+(y+1)2=4上,则圆心C的横坐标a的取值范围是( B )(A)[,2](B)[0,](C)[2-,2+](D)[0,2-]∪[2+,4]解析:点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1) ,半径为2,则圆心距=,满足解得0≤a≤,故选B.6.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( C )(A)+=1(y≠0) (B)+y2=1(y≠0)(C)+3y2=1(y≠0) (D)x2+=1(y≠0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).故选C.7.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P为双曲线C左支上一点,若△APF周长的最小值为6b,则双曲线C的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:设双曲线的左焦点为F′,△AFP的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2a,而|AP|+|PF′|≥|AF′|,所以△AFP周长的最小值是|AF|+|AF′|+2a=2+2a=6b,解得7b=6a,49b2=36a2⇔49(c2-a2)=36a2⇔=,解得,e==,故选B.8.过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是( B )(A)(,5) (B)(,)(C)(1,) (D)(5,5)解析:令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,2<<3.因为=,所以2<<3,所以5<e2<10,所以<e<.故选B.二、填空题9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为抛物线C上一点,点N的坐标为(2,2),则|MF|+|MN|的取值范围是.解析:如图所示,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为P,过N作抛物线C的准线的垂线,垂足为P0,交抛物线于M0,连接FM0.根据抛物线的定义知,|MF|=|MP|,|MF|+|MN|=|MP|+|MN|≥|M0P0|+|M0N|=|P0N|=3,故|MF|+|MN|的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.由|AB|=2,得()2+()2=12,解得m=-.又直线l的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在 Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.答案:411.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M,N 两点,则弦MN的长为.解析:假设l过椭圆右焦点,则方程为y=2(x-1),由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关系,得x M+x N=,x M·x N=-.由弦长公式|MN|=|x M-x N|=·==.答案:12.若C(-,0),D(,0),M是椭圆+y2=1上的动点,则+的最小值为.解析:易知C,D是椭圆的焦点,则|MC|+|MD|=4.所以+=≥=1.当且仅当|MC|=|MD|时取等号,所以+的最小值为1.答案:113.设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是直线x=4上的动点,若∠F1PF2=θ,则θ的最大值为.解析:F1(-2,0),F2(2,0),不妨设P(4,y),y>0,x=4与x轴的交点记为M,设∠F1PM=β,∠F2PM=α,则θ=β-α,所以tan θ=tan(β-α)===≤=,当且仅当y=时等号成立.所以θ≤30°.答案:30°三、解答题14.如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.解:(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,所以RQ是线段FP的垂直平分线.因为点Q在线段FP的垂直平分线上,所以|PQ|=|QF|,又|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x>0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=|MA|=,则|TS|=2=2,因为点M在曲线C上,所以x0=,所以|TS|=2=2是定值.15.已知点P(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上,且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l交椭圆于A,B两点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且,2,成等差数列,求△AOB面积的最大值.解:(1)椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),①设直线l:x=ty+m,则有⇒(t2+4)y2+2tmy+m2-8=0,由Δ>0得2t2-m2+8>0.因为k1+k2=4k1k2,所以+=4·,化简得(2t-4)y1y2+(m-t+2)(y1+y2)-2m=0,又因为y1+y2=-,y1·y2=,所以m2+(t+2)m+4t-8=0,解得m=2-t或m=-4,所以x=ty-4或x=t(y-1)+2(舍去),S△AOB=|AB|·d=|y2-y1|d=8,令u=t2-4,则S△AOB=8=8≤2,当且仅当u=8,即t=±2时取“=”.②设直线l:y=y0(y0≠±1),则有x1=-x2,由+=4,可得=4,得y0=0(不合题意舍去).综上,(S△AOB)max=2.16.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点P(-2,0)与点(1,1).(1)求椭圆的方程;(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.①证明:直线AB经过定点;②求△ABP面积的最大值.解:(1)由+=1,+=1⇒a2=4,b2=,所以椭圆的方程为+=1.(2)①由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,当k PA=1时,l PA:y=x+2,所以所以x2+3(x2+4x+4)=4⇒x=-1.以下验证:定点为(-1,0),由题意知,直线PA,PB的斜率均存在,设直线PA的方程为y=k(x+2),A(x A,y A),B(x B,y B),则x2+3k2(x2+4x+4)=4⇒x A=,y A=,同理x B=,y B=-,则==,得证.②由于直线不与x轴平行,设直线AB方程为x=ty-1,S△PAB=×1×|y A-y B|=×=,令=λ∈[3,+∞),则t2=,所以S△PAB===≤=1,当且仅当λ=3,即t=0时取等号.即△ABP面积的最大值为1.17.(2018·温州二模)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;(2)求|PR|·|QR|的最大值.解:(1)因为A(0,0),B(4,4),所以k=1,联立⇒x2+4x-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=|x1-x2|=8.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),R(x R,y R),AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0,因为x B-x A==4,所以k2=1-b,由⇒x R==,联立⇒x2+4kx-4=0,所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,则|PR|·|QR|=-(1+k2)(x1-x R)(x2-x R)=-(1+k2)[x1x2-x R(x1+x2)+]=-(1+k2)(-4+2k2+)=-(k2-)2+,所以当k=±时,|PR|·|QR|的最大值等于.巩固提高B一、选择题1.若椭圆+=1上有一动点P,圆E:(x-1)2+y2=1,过圆心E任意作一条直线与圆E交于A,B两点,圆F:(x+1)2+y2=1,过圆心F任作一条直线与圆F交于C,D两点,则·+·的最小值为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-1,同理·=||2-1,所以·+·=||2+||2-2≥-2=-2=6(当且仅当||=||时,等号成立).故选D.2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,点F为双曲线C的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P,Q两点,PB交y轴于点E,AE交QF于点M,若M是线段QF的中点,则双曲线C的渐近线方程为( A )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±3x (D)y=±x解析:易得P(-c,),则k PB==,直线PB的方程为y=(x-a),令x=0可得y E=,则A(-a,0),E(0,),可得直线AE方程为+=1,令x=-c可得y M=×,据此有×=-,整理可得c=3a,所以=3,则双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选A.3.如图,已知椭圆C1:+y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B两点,直线MA,MB分别与C1相交于D,E两点,则·的值是( B )(A)正数(B)0(C)负数(D)皆有可能解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1),=(x1,y1+1),=(x2,y2+1).设直线l 的方程为y=k x与抛物线方程联立整理为x2-k x-1=0, 所以x1+x2=k,x1x2=-1,·=t·=t[x1x2+(y1+1)(y2+1)]= t[x1x2+y1y2+(y1+y2)+1]=t[x1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1]=t[-1-k2+k2+1]=0 (t>0),故选B.4.双曲线x2-=1的左右焦点分别为F1和F2,P为右支上一点,且||=8,·=0,则双曲线的离心率为( B )(A)3 (B)5 (C)(D)解析:||-||=2a=2⇒8-||=2,解得||=6,因为⊥, ||2+||2=|F1F2|2=82+62=100,解得4c2=100,c=5,e===5,故选B.5.已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是( D )(A)(4,+∞) (B)(-∞,4](C)(10,+∞) (D)(-∞,10)解析:过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,2x2-kx+2=0,令Δ=k2-16=0得k=±4,由图当k=4时,切线为l,因为B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a<10时,视线不会被曲线C挡住,故选D.6.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( A )(A)-2 (B)- (C)1 (D)0解析:设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4 (x-)2-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.故选A.7.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C) (D)解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y1>0,y2<0),直线AB的方程为x=ty+m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又·=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2= 0,因为点A,B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2.又F(,0),于是S△ABO+S△×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=,即y1=时AFO=取得等号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.故选B.二、填空题8.若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为.解析:由题意知F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=1,所以|AB|=·=8,设P(-,y0)(y0≥0),则点P到直线AB的距离d==≥.所以△PAB面积的最小值为S=×8×=2.答案:29.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.解析:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.则+===.所以(+)2===,易知()2-+1的最小值为.故(+)max=.答案:10.已知点A(-1,0),点P,Q在抛物线y2=2px(p>0)上,且△APQ为正三角形,若满足条件的△APQ唯一,则p= ,此时△APQ的面积为. 解析:因△APQ为正三角形,可知P,Q关于x轴对称,又满足条件的△APQ唯一,则直线AP(直线为y=(x+1))与抛物线相切,联立由Δ=0可得p=,进而解得P(1,),Q(1,-),则S△APQ=.答案:11.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则当PA与PB的斜率都存在,且=-2时,直线PA与PB的斜率之和为.解析:设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,两式相减得-=2p(x1-x0),得k PA==,同理k PB=.由=-2,得y1+y2=-2y0,故+=0,即k PA+k PB=0.故直线PA与PB的斜率之和为0.答案:0三、解答题12.(2017·衢州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与椭圆相交于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求·的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B,C的任一点,直线PB,PC与x轴分别交于M,N,求SS△PON的最大值.△POM·解:(1)椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0)且+=1,所以·=(x0-2)2-=(x0-2)2-(1-)=-4x0+3=(x0-)2-.因为-2<x0<2,所以·的取值范围为[-,16).(3)设P(x1,y1)(y1≠±y0),M(x M,0),N(x N,0),则+=1,直线PB,PC的方程分别为PB:y-y1=(x-x1),PC:y-y1=(x-x1),分别令y=0得x M=,x N=所以x M x N====4,于是S△POM·S△PON=|OM||ON|·=|x M x N|·=.因为-1≤y1≤1,所以S△POM·S△PON的最大值为1.13.如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,因此解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点,如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-),由=,有=,解得y0=1或y0=2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2), 下面证明:对任意直线l,均有=,当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其根的判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-,因此+==2k,易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(-x2,y2),又k QA===k-,k QB′===-k+=k-,所以k QA=k QB′,即Q,A,B′三点共线,所以===,故存在与P不同的定点Q(0,2),使得=恒成立.14.(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. (1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程()2=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根. 所以y1+y2=2y0.因此PM垂直于y轴.(2)解:由(1)可知所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2.因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因此,△PAB面积的取值范围是[6,].。
大学数学(高数微积分)专题五第讲圆锥曲线中的热点问题(课堂讲义)
＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的
斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
22
热点分类突破
(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得
弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同
猜想，当直线l的倾斜角变化时，
本
讲 栏 目
AE与BD相交于定点N52，0，
开 关
证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线
AE过定点52，0，
∵lAE：y－y2＝y42－－xy11(x－4)， 19
热点分类突破
当x＝52时，y＝y2＋y42－－xy11·－32
栏
目 时，求B点坐标．
开
关解
(1)设 N(x，y)，则由M→N＝2M→P，得 P 为 MN 的中点，
所以 M(－x,0)，P(0，2y)． 又P→M⊥P→F得P→M·P→F＝0，P→M＝(－x，－2y)， P→F＝(1，－2y)，所以y2＝4x(x≠0)．
13
热点分类突破
(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上
“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义
的运用，以简化运算．
本
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，
讲 栏 目
y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12
开 关
. |y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关
2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线
t
2
∴(SPQG)max
16
.
9
（2019
全国
3）10.双曲线C
x2
y2
F，点
P为C
O
：4
1
的一条渐近线的点，
为坐标原点.若
2
的右焦点为
| PO| |PF |则
PFO的面积为（
）
3
2
3
2
C:2
2D:32
A:
4
B:
2
答案:
A
分析：
由双曲线的方程
x2
y2
0
y
2x
PFO中|PO| |PF |
过点P做PH垂直
若|ON | |OF |（O为原点），且OP
MN，求直线PB的斜率.
2
2
2 30.
【答案】（Ⅰ ）x
y
1（Ⅱ）2 30
或
5
4
5
5
【分析】
【剖析】
(Ⅰ)由题意获得对于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确立点P的坐标， 从而可得OP的斜率， 而后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，
k2
k2
则
x1
x0
4 x1(k2
1)
，
∴
SPQG
1
y1( x1x0)
1
kx1
4x1(k2
1)
k2
2
2
2
k2
2
8(k2
1)k
8k (k2
1)
8(k
1
)
2
k
，
(k2
2)(2 k2
1)
2k4
2019高考数学(理科)二轮复习(全国通用版)：专题五 第2讲 圆锥曲线Word版含答案
第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( ) A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)．设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23， 可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23， 即y 20＝－23(x 20－3)，① 又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 203，② 由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)． 抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上，∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4，可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1. (2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系． 例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0，依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos ∠AF 2B ＝35， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3c sin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋73 C ．(1,2)D.(]1，2答案 A 解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|， 所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|， ||PF 1||－PF 2＝2a ， 所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ， 整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A. 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离。
2019年高考数学(理)二轮专题5第12讲 圆锥曲线中的综合问题
第12讲 圆锥曲线中的综合问题高考统计·定方向题型1 解析几何中的交汇与证明(对应学生用书第60页)圆锥曲线经常和数列、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇命制创新型证明题目，该类试题重视能力立意，强调思维的灵活性，尤其是培养学生严谨的科学态度，提升推理论证能力，对推进新课程标准实施具有指导意义．■高考考法示例·【例1】 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差． [思路点拨] (1)点差法将k 转化为含m 的表达式→求解m 的取值范围→转化为所证不等式(2)FP →＋F A →＋FB→＝0→P 点坐标由m 表示→求出P 点坐标→由A ，B 的横坐标表示F A →，FB →→证明2|d |＝||FB →|－|F A →||[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP→|＝32.于是|F A →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB→|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128， 代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . [解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB . 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .题型2 “构造法”求圆锥曲线中的最值范围问题(对应学生用书第61页)■核心知识储备·1．求圆锥曲线最值范围问题的两种构造方法(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式，再借助基本不等式求最值．(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再借助函数的单调性(或导数)求其值域．2．斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2，或|P1P2|＝1＋1k2(y1＋y2)2－4y1y2.■高考考法示例·【例2】(2018·衡水高考信息卷二)已知抛物线Γ：x2＝2py(p＞0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4 3.(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且M，N的中点在线段AB上，MN 的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值．[解](1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2p，所以4p＝43，解得p＝3，即x2＝6y.由y＝x26，得y′＝x3，故y′|x＝23＝233.所以在A点的切线方程为y－2＝233(x－23)，即2x－3y－23＝0；同理可得在B点的切线方程为2x＋3y＋23＝0.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝6y与y＝kx＋m联立，得x2－6kx－6m＝0，又Δ＝36k2＋24m＞0，故x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，故|MN|＝1＋k2·36k2＋24m＝23·1＋k2·3k2＋2m.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝23·1＋k2·4－3k2，由Δ＝36k2＋24m＞0，得－233＜k＜233且k≠0.因为M，N的中点为(3k,2)，所以M，N的垂直平分线方程为y－2＝－1 k(x－3k)，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离 d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2， 所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2 ＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1＜u ＜73， 故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ). 设f (u )＝u 2(7－3u )， 则f ′(u )＝14u －9u 2， 结合1＜u ＜73，令f ′(u )＞0，得1＜u ＜149； 令f ′(u )＜0，得149＜u ＜73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473.【教师备选】 (2017·浙江高考)如图2-5-7，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图2-5-7(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32， 所以－1＜x －12＜1，即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.(2018·玉溪模拟)若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 取最大值时，求直线l 的方程．[解] (1)因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以圆C 半径为2，圆心C 是原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设C (p ，q )，由⎩⎪⎨⎪⎧qp ＝1p 2＋q2－2＝0，得p ＝q ＝2，所以C (2,2)．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m 2，所以b ＝222－d 2＝41＋m 2，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2x 2＋5y 2＝5得(5＋m 2)y 2＋4my －1＝0，设直线l 与椭圆E 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m5＋m 2，y 1·y 2＝－15＋m 2， a ＝|AB |＝1＋m2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝25(m 2＋1)m 2＋5，ab ＝85m 2＋1m 2＋5＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤25，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．所以当m ＝±3时，ab 取最大值．此时直线l 的方程为x ±3y －2＝0.题型3 “转化法”求圆锥曲线中的定点定值问题(对应学生用书第61页)■核心知识储备·1．定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．2．定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．■高考考法示例· ►角度一 定点问题【例3－1】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知， 椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22. 则由k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．►角度二 定值问题【例3－2】 已知点A (1,0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)求动点B 的轨迹方程；(2)已知点P (2,0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．[解] (1)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1,0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵O 为AA ′的中点，C 为AB 中点，∴|A ′B |＝2|OC |.∴|BA ′|＋|BA |＝2OC ＋2AC ＝2OC ＋2CD ＝2OD ＝4＞|AA ′|＝2， ∴动点B 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相切，与题意不符．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)x 24＋y 23＝1，消去y 整理得(4k 2＋3)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k －8＝0. ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点，∴Δ＝(16k 2＋8k )2－4(4k 2＋3)(16k 2＋16k －8)＞0， 解得k ＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2＋8k 4k 2＋3，x 1x 2＝16k 2＋16k －84k 2＋3，∴k PM ＋k PN ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k (x 1－2)－1x 1－2＋k (x 2－2)－1x 2－2＝2kx 1x 2－(4k ＋1)(x 1＋x 2)＋8k ＋4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝124＝3(定值)．【教师备选】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.图2-5-8(1)求椭圆C 的方程；(2)如图2-5-8，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根， ∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1， 即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x x 212＋y 26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21y 21＝12k 211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. ∴k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0,2)．题型4 “肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题(对应学生用书第62页)■核心知识储备· 1．存在性问题的解题步骤一设：假设满足条件的元素(点、直线等)存在；二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、直线等)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． ■高考考法示例·【例4】 (2018·广西南宁三校联考)已知椭圆方程C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点为(1,0)，离心率为e ＝12，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－34.(1)求椭圆的方程及△AOB 的面积；(2)在椭圆上是否存在一点P ，使OAPB 为平行四边形，若存在，求出|OP |的取值范围，若不存在说明理由．[解] (1)由题意得c ＝1，c a ＝12， ∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 整理得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∵k OA ·k OB ＝－34，∴y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3. ∵|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·48(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2＝48(1＋k 2)(3＋4k 2)2·3＋4k 22＝24(1＋k 2)3＋4k 2.O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224(1＋k 2)3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24(1＋k 2)3＋4k 2＝123＋4k 22·243＋4k 2＝ 3.(2)若椭圆上存在一点P ，使OAPB 为平行四边形， 则OP →＝OA →＋OB →，设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，由于P 在椭圆上，所以x 204＋y 23＝1，即16k 2m 2(3＋4k 2)2＋12m 2(3＋4k 2)2＝1， 化简得4m 2＝3＋4k 2 ①，由k OA ·k OB ＝－34，知2m 2－4k 2＝3 ②， 联立方程①②知m ＝0，故不存在P 在椭圆上的平行四边形．(2018·大庆三模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e ＝12，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，则△F 1AB 的周长＝4a ＝8，S △F 1AB＝12(|AB |＋|F 1A |＋|F 1B |)R ＝4R ，因此，S△F 1AB最大，R 就最大，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.则S △F 1AB ＝12|F 1F 2|(y 1－y 2)＝12m 2＋13m 2＋4.令m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)， ∴S△F 1AB ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t. 令f (t )＝3t ＋1t ， 则f ′(t )＝3－1t 2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1AB≤3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1AB≤3，由S△F 1AB＝4R ，得R max ＝34，这时所求内切圆面积的最大值为9π16.故直线l ：x ＝1，△F 1AB 内切圆面积的最大值为9π16.[高考真题]1．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)． [最新模拟]2．(2018·郑州质量预测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1,0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO ＝∠NQO ，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．[解] (1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2，取F 关于y 轴的对称点F ′，连F ′P ，故|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点B 的轨迹是以F ′，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0，m )，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12消去x ，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0.由直线l 过椭圆内一点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线，故Δ＞0，由求根公式得： x 1＋x 2＝－4k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－113＋4k 2，由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与NQ 斜率和为零．故 y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－mx 2＝2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)x 1x 2＝0，2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)＝2k ·－113＋4k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k (m －6)3＋4k 2＝0.存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意．。
2019高考数学三轮冲刺 专题 圆锥曲线中的综合问题练习(含解析)
圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. 2B. 3C.D.（正确答案）B解：设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，由，根据韦达定理有，，，结合及，得，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，．当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3，故选B．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.（正确答案）A解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，，．取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是A. 12B. 13C. 14D. 15（正确答案）C解：由题意，．过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，，，，，，故选C．由题意，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得，即可求出的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，，垂足为K，则的面积为A. 4B.C.D. 8（正确答案）C解：由抛物线的定义可得，则的斜率等于，的倾斜角等于，，，故为等边三角形．又焦点，AF的方程为，设，，由得，，故等边三角形的边长，的面积是，故选：C．先判断为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键．5. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则A. B. C. D. 6（正确答案）A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．【解答】解：由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程解得，由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，，，即，故选A．6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是A. B.C. D.（正确答案）C解：设，，因为点A和B在抛物线上，所以有得，．整理得，因为A，B关于直线对称，所以，即．所以．设AB的中点为，则．又M在直线上，所以．则．因为M在抛物线内部，所以．即，解得．所以p的取值范围是故选C．设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．7. 已知点，A，B是椭圆上的动点，且，则的取值是A. B. C. D.（正确答案）C解：，可得，设，则，时，的最小值为；时，的最大值为9，故选：C．利用，可得，设，可得，即可求解数量积的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：直线l：与渐近线：交于，l与渐近线：交于，，，，，，，，，，故选C．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，，，，，的离心率是．故选：C．利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 已知双曲线C：与抛物线的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为，点F是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线C的方程为A. B. C. D.（正确答案）B解：抛物线的焦点为，其准线方程为，为正三角形，，将代入双曲线可得，双曲线的一条渐近线方程是，，，，双曲线的方程为．故选：B．抛物线的焦点为，其准线方程为，利用为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．11. 抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，点P为曲线，的公共点，点M在抛物线的准线上，为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.（正确答案）C解：抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，，，则，P在双曲线上，满足：，解得，，所求双曲线的离心率为：．故选：C．求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解a、c，即可求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 已知P是双曲线上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是A. B. C. D. 不能确定（正确答案）A解：设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点；由解得交点，，则．故选：A．设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 ______ ．（正确答案）解：抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，可得，，解得．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出b即可．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为______．（正确答案）6解：双曲线的方程，，，可得，因此双曲线的右焦点为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解之得．故答案为：6．根据双曲线的方程，可得，从而得到双曲线的右焦点为，再根据抛物线的简单几何性质，可得，解之即可得到实数p的值．本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于______．（正确答案）3解：设，，则，，，即有，由直线l倾斜角为，则直线l的方程为：，即，联立抛物线方程，消去y并整理，得，则，可得，，则，故答案为：3．设出A、B坐标，利用焦半径公式求出，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．16. 过双曲线右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为______．（正确答案）解：由题意过双曲线，右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，，，双曲线离心率的取值范围为故答案为：先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知曲线C：，直线l：为参数Ⅰ写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．Ⅱ过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．（正确答案）解：Ⅰ对于曲线C：，可令、，故曲线C的参数方程为，为参数．对于直线l：，由得：，代入并整理得：；Ⅱ设曲线C上任意一点．P到直线l的距离为．则，其中为锐角．当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．Ⅰ联想三角函数的平方关系可取、得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C上任意一点由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以进一步得到，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值．本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18. 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，．当时，求的面积当时，证明：．（正确答案）解：由椭圆E的方程：知，其左顶点，，且，为等腰直角三角形，轴，设M的纵坐标为a，则，点M在E上，，整理得：，或舍，；设直线的方程为：，直线的方程为：，由消去y得：，，，，，又，，整理得：，设，则，为的增函数，又，，．依题意知椭圆E的左顶点，由，且，可知为等腰直角三角形，设，利用点M在E上，可得，解得：，从而可求的面积；设直线的方程为：，直线的方程为：，联立消去y，得，利用韦达定理及弦长公式可分别求得，，结合，可得，整理后，构造函数，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．19. 如图，已知四边形ABCD是椭圆的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点，．Ⅰ若直线AC的方程为，求AC的长；Ⅱ求平行四边形ABCD面积的最大值．（正确答案）本小题满分14分Ⅰ解：由，消去y可得：，解得，分所以A，C两点的坐标为和，分所以分Ⅱ解：当直线AD的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形ABCD的面积为分当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，将其代入椭圆方程，整理得分设点，，，则，分连结，，则平行四边形ABCD的面积分又分又，所以．综上，平行四边形ABCD面积的最大值是分Ⅰ通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．Ⅱ当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，与椭圆方程联立，设点，，，利用韦达定理，连结，，表示出面积表达式，然后求解最值．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
专题05 圆锥曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2 D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则有(1,),(1,)b bA B a a---， ∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴c e a ===D ． 【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -=专题05 圆锥曲线及其性质C ．139-= D ．193-= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a=±， 不妨设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选C ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可．解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程．【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F，离心率为．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．148-=D ．184-=【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===-=--，故选B ． 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．【命题意图】要求掌握三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、几何图形、标准方程及简单性质．主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．【命题规律】圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与圆锥曲线的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，难度中等偏上． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． （2）待定系数法．一般步骤如下：第一步，作判断．根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22x a +22y b =1（a>b>0）或22x b +22y a=1（a>b>0）．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于a ，b ，c 的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c 2=a 2–b 2）． 第四步，定结果．解方程组，将解代入所设方程，得所求．注意当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：（1）分类讨论；（2）设椭圆方程为2xm+2yn=1（m>0，n>0，m≠n），或Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．2．求椭圆离心率或其范围的方法（1）求出a，b或a，c的值，代入e2=22ca=222–a ba=1–（ba）2直接求；（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2–c2转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．3．求双曲线的标准方程的方法（1）定义法．根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c2=a2+b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a．注意：求轨迹方程时，满足条件：|PF1|–|PF2|=2a（0<2a<|F1F2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍．（2）待定系数法．一般步骤如下：①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；③列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；④解：求解得到方程．常见设法：①与双曲线2222–x ya b=1共渐近线的双曲线方程可设为2222–x ya b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y=±bax，则双曲线方程可设为2222–x ya b=λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2xm+2yn=1（mn<0）；④与双曲线2222–x ya b=1共焦点的双曲线方程可设为2222––x ya kb k+=1（–b2<k<a2）；⑤与椭圆22xa+22yb=1（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可设为22–xaλ+22–ybλ=1（b2<λ<a2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn<0）．【知识总结】1．椭圆的几何性质2．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为22ba，通径是最短的焦点弦．3．若P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a –c ，a+c ]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c ，最小值为a –c ．4．椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P （x 0，y ）与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2=θ．（1）当P 为短轴端点时，θ最大． （2）12PF F S △=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ=b 2·sin 1cos θθ+=b 2tan 2θ=c|y 0|，当|y 0|=b ，即P 为短轴端点时，12PF F S △取最大值，最大值为bc ．（3）焦点三角形的周长为2（a+c ）． 5．双曲线的几何性质6．等轴双曲线（1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线． （2）性质：①a=b ；②点距离的等比中项． 7．共轭双曲线（1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线； ②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 8．双曲线中常用结论：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线2222–x y a b=1（a>0，b>0）右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ．9．抛物线的标准方程与几何性质10．抛物线的焦半径与焦点弦抛物线上任意一点P （x 0，y 0）到焦点F 的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有以下结论：11．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2=2px （p>0）焦点F 的弦，若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则（1）x 1x 2=24p ，y 1y 2=–p 2；（2）|AF|=1?cos p α，|BF|=1cos p α+，弦长|AB|=x 1+x 2+p=22sin pα（α为弦AB 的倾斜角）； （3）1||FA +1||FB =2p； （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．【方法总结】1．椭圆定义的应用（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，进而求得焦点三角形的周长和面积．（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解．2．椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，–a≤x≤a，–b≤y≤b，0<e<1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．3．双曲线定义的应用（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．4．双曲线几何性质的应用（1）求双曲线的渐近线的方法求双曲线2222–x ya b=1（a>0，b>0）或2222–y xa b=1（a>0，b>0）的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令2222–x ya b=0，得y=±bax；或令2222–y xa b=0，得y=±abx．反之，已知渐近线方程为y=±bax，可设双曲线方程为2222–x ya b=λ（a>0，b>0，λ≠0）．（2）求双曲线的离心率或其范围的方法①求a，b，c的值，由22ca=222a ba=1+22ba直接求e．②列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2=c2–a2消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解．（3）双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k=b a 5．利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．注意：一定要验证定点是否在定直线上． 6．应用的规律注意：建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域． 7．抛物线的标准方程的求法 （1）定义法根据抛物线的定义，确定p 的值（系数p 是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． （2）待定系数法①对于焦点在x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y 2=2px （p>0）和y 2=–2px （p>0）两种情况求解．②焦点在x 轴上的抛物线方程可设成y 2=mx （m ≠0），若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线的方程可以设成x 2=my （m ≠0）．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑x 轴、y 轴两种情况设方程． 8．抛物线的几何性质及其应用（1）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式及有关结论求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．（2）抛物线的定义在解决点到焦点距离及点到准线距离问题时经常用到，要学会转化（互化），见准线想焦点，见焦点想准线，许多抛物线问题均可根据定义简捷、直观地求解．“数想形，形悟数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．1．【天津市河西区2018–2019学年高三第二学期总复习质量调查（二)数学】已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AFA BC D 2．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -=3．【天津市河北区2019届高三一模数学】在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=4．【天津市红桥区2019届高三一模数学】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为 A ．43B ．53CD5．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线为2a x c=-，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 ABCD ．27．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则222111e e +的值为 A ．12B ．13C ．2D ．不确定8．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为 A ．35B ．53 C ．3D ．139．【天津市南开中学2019届高三模拟数学】过抛物线24y x =焦点F 的直线与双曲线221(0)y x m m-=>的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为 A ．8B ．12x xCD ．410．【天津市南开区2018～2019学年度高三第二学期基础训练数学】以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是 ABC ．2D11．【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴的长为2，离心率等于5，则该椭圆的标准方程为A ．2215x y +=B ．2213x y +=C ．2214x y +=D ．2214y x += 12．【天津市红桥区2019届高三二模数学】己知点A 是抛物线212(0)y px C p =>︰与双曲线222221(00)x y a C b a b-=>>︰，的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为A B ．2C D13．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为(c,0)F ，直线2a x c=与一条渐近线交于点P ，POF △的面积为2a (O 为原点），则抛物线22by x a=的准线方程为 A ．12y =B ．1x =C ．1x =-D ．x =14．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)数学】已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于,A B 两点，且OAB △的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221312x y -=B ．2213632x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=15．【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】设双曲线221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A ．2 BC ．D ．16．【天津市十二重点中学2018届高三下学期毕业班联考（二)数学】已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b -=>>，，其中，双曲线半焦距为c ，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为22(3ae e 为双曲线C 的离心率)，则双曲线C的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．32y x =±D ．y x = 17．【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上学期期末考试数学】抛物线2(0)y ax a =>的准线与双曲线22:184x yC -=的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a 的值为 A ．8 B ．6 C ．4D ．218．【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】抛物线22y x =-的准线方程是A ．2y x =±B ．y =C ．12x =D ．12x =-19．【天津南开中学第五次月考数学】已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为A B ．2C 1D 120．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，以线段12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为A ．221169x y -=B ．22143x y -=C ．221916x y -=D ．22134x y -=21．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)数学】已知P 为抛物线2:C y =上一点，点M)，若PM =，则△POM （O 为坐标原点）的面积为___________．。
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第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B定点、定值问题2,10,14 3,4最值问题3,7,12,13,17 1,6,7,8,9范围问题4,5,9 5,12存在性问题13综合问题1,6,8,11,15,16 2,10,11,14巩固提高A一、选择题1.M是抛物线y2=4x上一点,且在x轴上方,F是抛物线的焦点,以x轴的正半轴为始边,FM的倾斜角为60°,则|FM|等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:由题知F(1,0),设|FM|=2a,由点M向x轴作垂线,垂足为N,则|FN|=a,于是点M的横坐标x0=1+a.由M向准线作垂线,利用抛物线的定义,有|FM|=x0+1,即2a=1+a+1,所以a=2,从而|FM|=4.故选C.2.已知抛物线C:y2=16x,斜率为k的直线l与C交于A,B两点,且OA⊥OB,O为坐标原点,则直线l恒过定点( C )(A)(8,0) (B)(4,0)(C)(16,0) (D)(6,0)解析:设直线l:x=my+b(b≠0),代入抛物线y2=16x,可得y2-16my-16b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,y1y2=-16b,所以x1x2=(my1+b)(my2+b)=b2,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,可得b2-16b=0,因为b≠0,所以b=16,所以直线l:x=my+16,所以直线l恒过定点(16,0).所以C选项是正确的.3.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是( C )(A)9 (B)16 (C)25 (D)解析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10 ,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,所以最大值为25,故选C.4.已知a,b>0,若圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是( A )(A)[,+∞) (B)(1,](C)(1,) (D)(,2)解析:由圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,可知b2≥a2,即有c2-a2≥a2,即有c2≥2a2.由e=,可得e≥.故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线l上,若圆C上存在点M,且M在圆D:x2+(y+1)2=4上,则圆心C的横坐标a的取值范围是( B )(A)[,2](B)[0,](C)[2-,2+](D)[0,2-]∪[2+,4]解析:点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1) ,半径为2,则圆心距=,满足解得0≤a≤,故选B.6.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( C )(A)+=1(y≠0) (B)+y2=1(y≠0)(C)+3y2=1(y≠0) (D)x2+=1(y≠0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).故选C.7.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P为双曲线C左支上一点,若△APF周长的最小值为6b,则双曲线C的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:设双曲线的左焦点为F′,△AFP的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2a,而|AP|+|PF′|≥|AF′|,所以△AFP周长的最小值是|AF|+|AF′|+2a=2+2a=6b,解得7b=6a,49b2=36a2⇔49(c2-a2)=36a2⇔=,解得,e==,故选B.8.过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是( B )(A)(,5) (B)(,)(C)(1,) (D)(5,5)解析:令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,2<<3.因为=,所以2<<3,所以5<e2<10,所以<e<.故选B.二、填空题9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为抛物线C上一点,点N的坐标为(2,2),则|MF|+|MN|的取值范围是.解析:如图所示,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为P,过N作抛物线C的准线的垂线,垂足为P0,交抛物线于M0,连接FM0.根据抛物线的定义知,|MF|=|MP|,|MF|+|MN|=|MP|+|MN|≥|M0P0|+|M0N|=|P0N|=3,故|MF|+|MN|的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.由|AB|=2,得()2+()2=12,解得m=-.又直线l的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在 Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.答案:411.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M,N两点,则弦MN的长为.解析:假设l过椭圆右焦点,则方程为y=2(x-1),由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关系,得x M+x N=,x M·x N=-.由弦长公式|MN|=|x M-x N|=·==.答案:12.若C(-,0),D(,0),M是椭圆+y2=1上的动点,则+的最小值为.解析:易知C,D是椭圆的焦点,则|MC|+|MD|=4.所以+=≥=1.当且仅当|MC|=|MD|时取等号,所以+的最小值为1.答案:113.设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是直线x=4上的动点,若∠F1PF2=θ,则θ的最大值为.解析:F1(-2,0),F2(2,0),不妨设P(4,y),y>0,x=4与x轴的交点记为M,设∠F1PM=β,∠F2PM=α,则θ=β-α,所以tan θ=tan(β-α)===≤=,当且仅当y=时等号成立.所以θ≤30°.答案:30°三、解答题14.如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x=-,点P在直线l上移动,R 是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.解:(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,所以RQ是线段FP的垂直平分线.因为点Q在线段FP的垂直平分线上,所以|PQ|=|QF|,又|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x>0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=|MA|=, 则|TS|=2=2,因为点M在曲线C上,所以x0=,所以|TS|=2=2是定值.15.已知点P(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上,且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l交椭圆于A,B两点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且,2,成等差数列,求△AOB面积的最大值.解:(1)椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),①设直线l:x=ty+m,则有⇒(t2+4)y2+2tmy+m2-8=0,由Δ>0得2t2-m2+8>0.因为k1+k2=4k1k2,所以+=4·,化简得(2t-4)y1y2+(m-t+2)(y1+y2)-2m=0,又因为y1+y2=-,y1·y2=,所以m2+(t+2)m+4t-8=0,解得m=2-t或m=-4,所以x=ty-4或x=t(y-1)+2(舍去),S△AOB=|AB|·d=|y2-y1|d=8,令u=t2-4,则S△AOB=8=8≤2,当且仅当u=8,即t=±2时取“=”.②设直线l:y=y0(y0≠±1),则有x1=-x2,由+=4, 可得=4,得y0=0(不合题意舍去).综上,(S△AOB)max=2.16.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点P(-2,0)与点(1,1).(1)求椭圆的方程;(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.①证明:直线AB经过定点;②求△ABP面积的最大值.解:(1)由+=1,+=1⇒a2=4,b2=,所以椭圆的方程为+=1.(2)①由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,当k PA=1时,l PA:y=x+2,所以所以x2+3(x2+4x+4)=4⇒x=-1.以下验证:定点为(-1,0),由题意知,直线PA,PB的斜率均存在,设直线PA的方程为y=k(x+2),A(x A,y A),B(x B,y B),则x2+3k2(x2+4x+4)=4⇒x A=,y A=,同理x B=,y B=-,则==,得证.②由于直线不与x轴平行,设直线AB方程为x=ty-1,S△PAB=×1×|y A-y B|=×=,令=λ∈[3,+∞),则t2=,所以S△PAB===≤=1,当且仅当λ=3,即t=0时取等号.即△ABP面积的最大值为1.17.(2018·温州二模)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;(2)求|PR|·|QR|的最大值.解:(1)因为A(0,0),B(4,4),所以k=1,联立⇒x2+4x-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=|x1-x2|=8.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),R(x R,y R),AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0,因为x B-x A==4,所以k2=1-b,由⇒x R==,联立⇒x2+4kx-4=0,所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,则|PR|·|QR|=-(1+k2)(x1-x R)(x2-x R)=-(1+k2)[x1x2-x R(x1+x2)+]=-(1+k2)(-4+2k2+)=-(k2-)2+,所以当k=±时,|PR|·|QR|的最大值等于.巩固提高B一、选择题1.若椭圆+=1上有一动点P,圆E:(x-1)2+y2=1,过圆心E任意作一条直线与圆E 交于A,B两点,圆F:(x+1)2+y2=1,过圆心F任作一条直线与圆F交于C,D两点,则·+·的最小值为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-1,同理·=||2-1,所以·+·=||2+||2-2≥-2=-2=6(当且仅当||=||时,等号成立).故选D.2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,点F为双曲线C的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P,Q两点,PB 交y轴于点E,AE交QF于点M,若M是线段QF的中点,则双曲线C的渐近线方程为( A )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±3x (D)y=±x解析:易得P(-c,),则k PB==,直线PB的方程为y=(x-a),令x=0可得y E=,则A(-a,0),E(0,),可得直线AE方程为+=1,令x=-c 可得y M=×,据此有×=-,整理可得c=3a,所以=3,则双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选A.3.如图,已知椭圆C1:+y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B两点,直线MA,MB分别与C1相交于D,E两点,则·的值是( B )(A)正数(B)0(C)负数(D)皆有可能解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1),=(x1,y1+1),=(x2,y2+1).设直线l的方程为y=k x与抛物线方程联立整理为x2-k x-1=0, 所以x1+x2=k,x1x2=-1,·=t·=t[x1x2+(y1+1)(y2+1)]= t[x1x2+y1y2+(y1+y2)+1]=t[x1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1]=t[-1-k2+k2+1]=0(t>0),故选B.4.双曲线x2-=1的左右焦点分别为F1和F2,P为右支上一点,且||=8,·=0,则双曲线的离心率为( B )(A)3 (B)5 (C)(D)解析:||-||=2a=2⇒8-||=2,解得||=6,因为⊥, ||2+||2=|F1F2|2=82+62=100,解得4c2=100,c=5,e===5,故选B.5.已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C 挡住,则实数a的取值范围是( D )(A)(4,+∞) (B)(-∞,4](C)(10,+∞) (D)(-∞,10)解析:过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,2x2-kx+2=0,令Δ=k2-16=0得k=±4,由图当k=4时,切线为l,因为B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a<10时,视线不会被曲线C挡住,故选D.6.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( A )(A)-2 (B)- (C)1 (D)0解析:设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x-)2-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.故选A.7.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B ) (A)2 (B)3 (C) (D)解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y1>0,y2<0),直线AB的方程为x=ty+m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又·=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2= 0,因为点A,B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2.又F(,0),于是S△ABO+S△×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=,即y1=时取得等AFO=号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.故选B.二、填空题8.若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为.解析:由题意知F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=1,所以|AB|=·=8,设P(-,y0)(y0≥0),则点P到直线AB的距离d==≥.所以△PAB面积的最小值为S=×8×=2.答案:29.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.解析:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.则+===.所以(+)2===,易知()2-+1的最小值为.故(+)max=.答案:10.已知点A(-1,0),点P,Q在抛物线y2=2px(p>0)上,且△APQ为正三角形,若满足条件的△APQ唯一,则p= ,此时△APQ的面积为.解析:因△APQ为正三角形,可知P,Q关于x轴对称,又满足条件的△APQ唯一,则直线AP(直线为y=(x+1))与抛物线相切,联立由Δ=0可得p=,进而解得P(1,),Q(1,-),则S△APQ=.答案:11.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则当PA与PB的斜率都存在,且=-2时,直线PA与PB的斜率之和为.解析:设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,两式相减得-=2p(x1-x0),得k PA==,同理k PB=.由=-2,得y1+y2=-2y0,故+=0,即k PA+k PB=0.故直线PA与PB的斜率之和为0.答案:0三、解答题12.(2017·衢州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与椭圆相交于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求·的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B,C的任一点,直线PB,PC与x轴分别交于M,N,求S△POM·S△.PON的最大值解:(1)椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0)且+=1,所以·=(x0-2)2-=(x0-2)2-(1-)=-4x0+3=(x0-)2-.因为-2<x0<2,所以·的取值范围为[-,16).(3)设P(x1,y1)(y1≠±y0),M(x M,0),N(x N,0),则+=1,直线PB,PC的方程分别为PB:y-y1=(x-x1),PC:y-y1=(x-x1),分别令y=0得x M=,x N=所以x M x N====4,于是S△POM·S△PON=|OM||ON|·=|x M x N|·=.因为-1≤y1≤1,所以S△POM·S△PON的最大值为1.13.如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,因此解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点,如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-),由=,有=,解得y0=1或y0=2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2), 下面证明:对任意直线l,均有=,当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其根的判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-,因此+==2k,易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(-x2,y2),又k QA===k-,k QB′===-k+=k-,所以k QA=k QB′,即Q,A,B′三点共线,所以===,故存在与P不同的定点Q(0,2),使得=恒成立.14.(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.(1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程()2=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此PM垂直于y轴.(2)解:由(1)可知所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2.因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因此,△PAB面积的取值范围是[6,].。