高中数学 必修四 2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题2 新人教A版必修4
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练(含解析)新人教A版必修4(
高中数学第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练（含解析）新人教A版必修4的全部内容。
§2.1平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示。
2。
掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量:既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4）平行向量（共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量:①质量；②速度；③位移;④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是（)A．|a|＝|b｜B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有（）①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．命题“若a∥b,b∥c，则a∥c"( ）A．总成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为（）A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是（）A．向量错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量题号123456答案二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝｜b｜；③a与b的方向相反;④｜a｜＝0或｜b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）8．在四边形ABCD中,错误!＝错误!且|错误!|＝｜错误!|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量错误!共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来）．三、解答题11。
人教A版数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念.docx
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.2、给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P .其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（ ）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等；（2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（ ）A 、①④B 、③C 、①②③D 、②③6、下列命中，正确的是（ ）A 、|a r |＝|b r |⇒a r ＝b rB 、|a r |＞|b r |⇒a r ＞b rC 、a r ＝b r ⇒a r ∥b rD 、｜a r ｜＝0⇒a r ＝0二、填空题8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？13、两个非零向量相等的充要条件是什么？三、解答题14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB u u u r 共线的向量；（2）找出图中与AB u u u r 相等的向量；（3）找出图中与｜AB u u u r ｜相等的向量；（4）找出图中与EC u u u r 相等的向量.15、如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别写出与,AO BO u u u r u u u r 相等的向量；(2)写出与AO u u u r 共线的向量；（3）写出与AO u u u r 模相等的向量；（4）向量AO u u u r 与CO uuu r 是否相等？D EA BFC O A BECD参考答案一、选择题1、D ；2、C ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、C二、填空题8、不一定9、不一定10、零向量11、零向量12、平行向量13、长度相等且方向相同三、解答题14、解：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BC 且EF ＝12BC 又因为D 是BC 的中点 ∴①与EF u u u r 共线的向量有：,,,,FE BD DB DC CD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,BC CB u u u r u u u r②与EF u u u r 的模大小相等的向量有,,,,FE BD DB DC CD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r③与EF u u u r 相等的向量有：,DB CD u u u r u u u r .15、解：（1）AO BF =u u u r u u u r ，BO AE =u u u r u u u r ；（2）与AO u u u r 共线的向量为：,,BF CO DE u u u r u u u r u u u r（3）与AO u u u r 模相等的向量有：,,,,,,CO DO BO BF CF AE DE u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（4）向量AO u u u r 与CO uuu r 不相等.因为它们的方向不相同.。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
人教A版必修四高一数学必修4同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念(含解析).docx
高一数学同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念（含解析）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.=2．已知O 点固定,且||=2,则符合题意的A 点构成的图形是A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量是A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量4．给出下列命题： ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量； ③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则. ⑥若与共线, 与共线,则与共线其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 5．给出下列命题:①和的模相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量就是有向线段;④0=0;⑤>.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 6．下列说法正确的是（ ）.A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量7．下列说法正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C.向量的大小与方向有关.D.向量的模可以比较大小.8．若a 为任一非零向量,b 的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③9．已知圆心为O 的上有三点A 、B 、C ，则向量、、是b c =v v a c =v v a b =v v O eA.有相同起点的相等向量B.长度为1的向量C.模相等的向量D.相等的向量10．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有；⑤若，，则；⑥，，则其中不正确的命题的个数为A.2个B.3个C.4个D.5个11．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等12．若向量a与b不相等,则a与b一定A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量二、填空题：共4题每题4分共16分13．如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量有;与向量共线的向量有;与向量的模相等的向量有.(填图中所画出的向量)14．(2012·江苏省扬子中学课堂训练)已知四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①=;②=;③||=||;④||≠||;⑤∥.其中所有正确的式子的序号是.15．如果对于任意的向量a,均有a∥b ,则b为.16．如图，圆O的半径为2，l圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|O A|=3，P0为圆周上一点，且，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.①1秒钟后，点P的横坐标为________.②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________.三、解答题：共6题共74分17．(本题12分)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.18．(本题12分)如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个？(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为的向量共有几个？19．(本题12分)如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为的向量共有几个?20．(本题12分)用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺):(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.21．(本题13分)某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量、、(1cm表示200m)(2)求的模.22．(本题13分)已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？参考答案1.D【解析】根据相等向量的定义,分析可得:A 中,与的方向不同,故=错误;B 中,与的方向不同,故=错误;C 中,与的方向相反,故=错误;D 中,与的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故=正确.【备注】无2.C【解析】∵||=2,∴终点A 到起点O 的距离为2,又O 点固定,∴A 点的轨迹是以O 为圆心,2为半径的圆,故选C .【备注】无3.D【解析】根据正方形的性质四个向量模相等方向不同.故选D.【备注】无4.B【解析】本题主要考查向量的概念，因为①量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上，错误；②个单位向量是相等向量，不一定成立，错误；③, ,则，成立；④一个向量的模为0，则该向量的方向不确定，成立； ⑤,则，还要方向相同才行，错误；⑥与共线,与共线,则与共线，当为零向量时不成立，错误.【备注】无5.B【解析】本题主要考查向量的有关概念. ①正确,与是方向相反、模相等的两个向量;②错误,方向不同包括共线反向的特例;③错误,向量用有向线段表示,但二者并不等同;④错误,0是一个向量,而0为一数量,应|0|=0;⑤错误,向量不能比较大小.只有①正确,故选B.【备注】无6.B【解析】本题主要考查平面向量的有关概念.选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；选项C ：方向相同且长度相等的向量叫相等向量；选项D ：共线向量所在直线可能重合，也可能平行；故选B.b c =v v a c =v v a b =v v【备注】无7.D【解析】根据向量的定义，显然D 正确.【备注】无8.B【解析】①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B.【备注】无9.C【解析】圆的半径，不一定有r ＝1，故选C.【备注】无10.C【解析】方向相同大小相等的向量叫相等向量，所以②错；当A 、B 、C 、D 四点共线时③错.故选C.【备注】无11.B【解析】DE 为中位线.故选B.【备注】无12.C【解析】本题主要考查平面向量的基本概念.因为所有的零向量都是相等的向量,故只有C 正确.故选C.【备注】无13. , ,,,,【解析】∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与相等的向量有;与共线的向量有,;与的模相等的向量有,,,,.【备注】无14.③④⑤【解析】本题主要考查向量的基本概念.解题时必须正确区分“向量相等”与“向量的模相等”这两个概念,注意向量是否平行与向量的模无关.在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC,但AB ≠DC,∴≠;AD=BC,但AD 与BC 不平行,∴≠;此外③④⑤都正确.【备注】无||||||BO OC OA r ===u u u r u u u r u u u r15.零向量【解析】无【备注】无16.①② 【解析】无【备注】无17.画出所有的向量，如图所示.【解析】无【备注】无18.解：(1)与向量相等的向量共有5个.(2)与向量的向量有23个.(3)与向量方向相同且模为的向量共有2个.【解析】无【备注】无19.（1）与向量相等的向量共有5个（不包括本身）.如图.（2）与向量方向相同且模为的向量共有2个，如图.32cos (0)6t t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r【解析】无【备注】无20.(1)B地在A地的东北方向,即 B地在A地北偏东45°方向,线段AB的长度画为3 cm即可.如图所示.(2)由于C地在A地的西偏北60°方向,则线段AC与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC的长度画为4 cm;D地在C地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.【解析】无【备注】无21.(1)如图所示：(2)由已知得四边形ABCD为平行四边形，所以==450m.【解析】本题主要考查向量的基本概念.【备注】无22.解：如图所示，、、、分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形为正三角形，∴．又∵，，∴为直角三角形，即，．答：丁地在甲地的东南方向，距甲地．【解析】本题主要考查平面向量的实际背景及基本概念。
数学人教a版必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 作业 含解析
[A.基础达标]1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向的；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤解析：选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③，⑤正确，④不正确，所以答案是D.2．下列命题中，正确的是( )A ．|a|＝1⇒a ＝±1B ．|a|＝|b|且a ∥b ⇒a ＝bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．a ∥0⇒|a|＝0解析：选C.两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．3．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是( )A ．a 0＝b 0B ．a 0＝－b 0C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．a 0∥b 0解析：选C.因为a 0，b 0是单位向量，则|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.故选C.4．下列结论中，不正确的是( )A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的B ．若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C ．若向量a ，b 满足|a|＝|b|，则a ＝bD ．若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析：选C.平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB→|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA→|＝________.解析：正方形的对角线长为22，∴|OA→|＝ 2. 答案： 27. 设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．解析：正方形的对角线互相平分，则AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确． 答案：①②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0.答案：09．如图所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是向量CE →，向量DC →；(2)与向量AB →共线的向量是向量BA →，向量DC →，向量CD →，向量CE →，向量EC →，向量ED →，向量DE →.10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标．(1)|a|＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°；(2)|a|＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°；(3)|a|＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°.解：如图所示：[B.能力提升]1．已知点O 固定，且|OA→|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点B ．一条直线C ．一个圆D ．不能确定解析：选C.∵|OA →|＝2，∴终点A 到起点O 的距离为2.。
人教A版高中数学必修4《2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_40
2.1.2向量的几何表示1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作| AB|.②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．思考题：(1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；知识点：向量的有关概念练习1．(1)下列说法中正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[尝试解答](1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．类题·通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使| AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答](1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．答案：(1)12类题·通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求汽车从A点到D点的位移大小|AD|.解：(1)向量AB、BC、CD如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线．又| AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|AD|＝|BC|＝200 km.1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见讲1；(2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升题组1向量的有关概念1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．题组2向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共() A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A．DA和BCB．DC和ABC．DC和BCD．DC和DA解析：选B DC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)| OA|＝3，点A在点O的正西方向；(2)| OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB|的值．。
新人教A版高一数学必修四第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念
⑦×
单位向量的模均为 1，但方向不确定
⑧√
由A→B＝D→C，得 AB∥DC 且 AB＝DC
⑨√
零向量的模为零且方向不确定
⑩×
共线的向量，若起点不同，终点也可以相同
答案： ①⑧⑨
[归纳升华] 上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概 念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同 于向量；还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模 的角度定义的，与方向无关
教案·课堂探究
向量的有关概念 自主练透型
有下列说法： ①向量A→B和向量B→A长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量 B→C是有向线段；④向量 0＝0；⑤向量A→B大于向量C→D；⑥若向量A→B与C→D是共线 向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上；⑦单位向量相等；⑧四边形 ABCD 是 平行四边形当且仅当A→B＝D→C；⑨一个向量方向不确定当且仅当模为 0；⑩共线 的向量，若起点不同，则终点一定不同． 其中正确的是________．(只填序号)
高考内容改革新变化
主要变化：高考评价新体系
一核四层四翼的高考评价标准 ---高考命题新定调
“ 一 核 ” 是 总体框 架，体 现了高考核心功能；“ 四 层 ” （考查目标）与 “ 四 翼” （考查要求）是 “ 一 核”的 有机组 成部分 ，共同 构成了 实现高 考评价 功能的 理论体 系。
新高考命题的预测
[归纳升华] (1)寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定 哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的 线段，再构造同向与反向的向量． (2)向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质， 使向量与几何图形有机地结合起来.
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题2 新人教A版必修4
2.1平面向量的实际背景及基本概念1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：对A ，由于0与任意向量平行，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．答案：B2．设O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：根据圆的性质可知AO →，BO →，CO →是模相等的向量．答案：C3.如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则必有( )A.AD →＝CB →B.OA →＝OC →C.AC →＝DB →D.DO →＝OB →解析：由于AB →＝DC →，所以AB 綊DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，所以DO →＝OB →，故D正确．答案：D4．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：(1)|a |＞|b |；(2)a ∥b ；(3)|a |＞0；(4)|b |＝±1；(5)若a 0是与a 同向的单位向量，则a 0＝b .其中正确的是____________．(填序号)解析：对(1)，不一定有|a |＞|b |；对(2)，a 与b 方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a |＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a 0与b 方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)5.如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中：(1)写出与AF →，AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．解：(1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →.(2)DA →，CF →，FC →.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课后习题 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念课后篇巩固探究1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是()A.1B.2C.3D.4解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.答案C2.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.答案D3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是()A.B.C.D.解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量.答案B4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析由知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案C5.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是()A.B.C.D.解析根据相等向量的定义,A中,的方向不同,故A错误;B中,的方向不同,故B错误;C中,的方向相反,故C错误;D中,的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.答案D6.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是()A.||=||B.共线C.共线D.共线解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此不一定与共线,C项错误.答案C7.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.答案①③④8.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为.解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以||=||.因为△ADE∽△BDC,所以,故||=.答案9.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:①都是单位向量;②;③与相等的向量有3个;④与共线的向量有3个;⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.其中正确的是.(填序号)解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与相等的向量是,故③错误;④与共线的向量是,故④正确;⑤正确.答案①②④⑤10.导学号68254062如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为的向量共有几个?(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?解(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).(2)与向量平行且模为的向量共有24个.(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.11.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.(1)画出所有的向量;(2)求||的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量如图所示.(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.∴||的最大值为,最小值为.。
人教A版数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念 (2).doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作[精练精析]2.1平面向量的实际背景及基本概念素能综合检测一、选择题（每题4分，共16分）1.（2009·泉州高一检测）下列说法正确的是（）①零向量的长度为零，方向是任意的②若是单位向量，则③若非零向量是共线向量，则A，B，C，D四点共线（A）①（B）②（C）③（D）①和③【解析】选A.对于②方向可能不同.对于③，向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.2.下列说法中错误的是（）（A）有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段（B）若向量不共线，则都是非零向量（C）长度相等但方向相反的两个向量不一定共线（D）方向相反的两个非零向量必不相等【解析】选C.长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A、B、D 选项内容都是正确的.3.下列说法正确的是（）（A）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同（B）向量与向量是同一向量（C）在平行四边形ABCD中，若，则表示同一向量（D）有向线段可以表示向量，因此向量就是有向线段，有向线段就是向量【解析】选A.运用数形结合，通过画出图形解决问题，同时要准确理解有向线段与向量的关系.4.下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上.其中真命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】选A.由向量、向量的模、共线向量的含义知①中时间不是向量;②中模可为零;③中单位向量方向不同则不等；④中共线向量可以平行，不一定在同一直线上.故①②③④均不对.二、填空题（每题4分，共8分）5.如图所示，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量.【解析】互不相等的非零向量为共6个.答案：66.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,（1）写出与相等的向量：_______.（2）写出与共线的向量：_______.【解析】由相等向量和共线向量概念可求.答案：三、解答题（每题8分，共16分）7.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点. （1）写出与的模相等的向量；（2）写出与相等的向量.［探究创新］9.（10分）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有：n(180°-α)=(n-2)180°.∴即α=,n为不小于3的整数.。
高中数学 必修四 2.1 平面向量的实际背景及基本概念素材2 新人教A版必修4
2. 1平面向量的实际背景及基本概念
[例1] 在下列命题中，正确的是
( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
[解析] 答案为 C.因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A 不正确．两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确．
[例2] 给出下列命题
①平行向量的方向一定相同．
②共线向量一定在同一条直线上．
③不平行的向量一定不相等．
④与任意向量平行的向量是零向量．
⑤平行于同一个非零向量的向量是平行向量．
其中，所有正确命题的序号是________．
[分析] 平行向量(共线向量)除0外方向相同或相反，但不一定在同一条直线上，还要注意0的特殊性．
[解析] ①平行向量的方向可能相反，不正确．
②共线向量可能分别在两条平行线上，不正确．
③不平行的向量其方向不相同，故一定不相等，正确．
④零向量与任意向量平行，正确．
⑤平行于同一个非零向量的两个向量中，若至少有一个零向量，它们是平行向量，若都是非零向量，它们也是平行向量，正确．故填③④⑤.
- 1 -。
人教A版高中数学必修四课后训练{2.1平面向量的实际背景及基本概念}.docx
课后训练1．把平面上所有长度为2的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．圆上的一群孤立点D．一个圆2．下列结论中，不正确的是()A．向量AB，CD共线与向量AB∥CD意义是相同的B．若AB＝CD，则AB∥CDC．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bD．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC3．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是()A．C A B．A∩B＝{a}C．C B D．A∩B{a}4．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则必有()A．AD＝CB B．OA＝OCC．AC＝DB D．DO＝OB5．下列结论中，正确的是()A．2 010 cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得OA，OB是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移6．若向量a与b不相等，则下列说法正确的个数为__________．①a与b有可能方向相同；②a与b长度不相等；③a与b不可能都是单位向量；④a与b不可能都是零向量．7．在平面四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AB|＝|BC|，则四边形ABCD是__________．8．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是__________．9．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量AB，BC，CD；并画出飞机的位移．10．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BC相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA平行的向量；(2)写出与DA模相等的向量．参考答案1答案：D2答案：C解析：平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相等，故C错误．3答案：B解析：∵A∩B中还含有与a方向相反的向量，故B错．4答案：D解析：∵四边形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝CD，AB∥CD．∴四边形ABCD为平行四边形．∴DO＝OB．5答案：B解析：一个单位长度取作2 010 cm时，2 010 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；易确定B正确；C选项为平行向量；D选项的AB表示从点A到点B 的位移．6答案：2解析：①④易知正确；对于②当a＝－b时，a与b不相等，但a与b长度相等，故②不正确；③a与b可以是不同向的单位向量．故③不正确．7答案：菱形解析：∵AB＝DC，则ABCD为平行四边形．又∵|AB|＝|AD|，∴平行四边形ABCD为菱形．8答案：西北方向52km解析：如图，|BA|＝5 km，|AC|＝5 km，故C地相对于B 地的位移的大小为|BC|＝52km，方向为北偏西45°，即西北方向．9答案：解：向量AB，BC，CD如图所示．飞机的位移是从起点指向终点，即为AD．10答案：解：由题图可知，(1)与DA平行的向量有：AD，BC，CB；(2)与DA模相等的向量有：AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB．。
人教A版数学必修四《2.1平面向量的实际背景及基本概念》一课一练2.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、风速C、位移D、密度2、下列说法中错误．．的是（）A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A、一条线段B、一段圆弧C、圆上一群孤立点D、一个单位圆4、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A、AB与AC共线B、DE与CB共线C、AD与AE相等D、AD与BD相等5、下列命题正确的是（）A、向量AB与BA是两平行向量B、若a、b都是单位向量,则a=bC、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同6、在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)二、填空题7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件、8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定、9、已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是11、已知|AB|=1,| AC|=2,若∠BAC=60°,则|BC|=12、在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形ABCD是三、解答题13、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：KL=NM14、某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量AB、BC、CD(1 cm表示200 m)(2)求DA的模15、如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={PQ、Q∈M,且P、Q不重合}参考答案一、选择题1、D；2、A；3、D；4、B；5、A；6、D二、填空题7、必要非充分8、c∥b9、不共线10、一条直线两点11、312、菱形三、解答题13、(略)14、(1)如图所示(2)450 m15、{AC、CA、BD、DB、AB、AD、BA、DA }第15题。
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念练习新人教A版必修4
2．1平面向量的实质背景及基本观点2． 1.1向量的物理背景与观点2． 1.2向量的几何表示2． 1.3相等向量与共线向量题号1234567891011得分答案一、选择题 ( 本大题共 7 小题，每题 5 分，共 35 分)1．以下说法正确的选项是()A．若 |a|>|b| ，则 a>bB．若 |a| ＝ |b| ，则 a＝ bC．若 a＝ b，则 a∥ bD．若 a≠b，则 a 与 b 不是共线向量2．已知 A， B，C 是⊙ O上三点，则向量→ → →OB，OC， OA是 ()A．共线向量B．单位向量C．模相等的向量 D ．相等向量3．以下说法中，不正确的选项是()→→A．向量 AB的长度与向量 BA的长度相等B．任何一个非零向量都能够平行挪动C．长度不相等但方向相反的两个向量必定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必同样4．如图 L2-1-1所示，△ ABC的三边边长均不相等，E，F，D 分别是边AC，AB，BC的中→点，则与向量 EF的模相等的向量共有()图 L2-1-1A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5．如图 L2-1-2 所示， 四边形 ABCD ，CEFG ，DCGH 都是全等的菱形， HE 与 CG 订交于点 M ，则以下关系中不必定建立的是()图 L2-1-2→ → → →A ． |AB| ＝ |EF | B.AB 与 FH 共线 → → → →C.BD 与EH 共线D.DC 与 EC 共线→ →→)6．已知 O 是△ ABC 内一点，若 |OA| ＝ |OB| ＝ |OC| ，则 O 是△ ABC 的 (A ．重心B ．心里C ．外心D ．垂心7．以下说法正确的选项是 ()→ → ①若向量 AB 与 CD 是平行向量，则 A ，B ， C ， D 四点必定不在同向来线上； ②若向量 a 与 b 平行，且 |a| ＝|b| ≠0，则 a ＋ b ＝ 0 或 a － b ＝0；→→③向量 AB 的长度与向量BA 的长度相等；④单位向量都相等．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)8．已知四边形 ABCD 是菱形，则在向量 →→→→→→AB ，BC ，CD ，DA ，DC 和 AD 中，相等的有________对．9．已知 A ， B ， C 是不共线的三点，向量→ →m 与向量 AB 是平行向量，与 BC 是共线向量，则m ＝________．10．如图 L2-1-3 所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则以下结论正确的有________．( 填序号 )图 L2-1-3→→① AO＝OC；→→② AO∥AC；→→③ AB与CD共线；→→④ AO＝BO.11．给出以下命题：①两个向量，当且仅当它们的起点同样、终点同样时才相等；→→②若 AB＝ DC，则 A， B， C，D 为平行四边形的四个极点；→→③若四边形ABCD为平行四边形，则AB＝ DC；④若 a≠b，则 a 与 b 必定不共线．此中正确命题的序号是________．三、解答题 ( 本大题共 2 小题，共 25 分 )得分12． (12 分 ) 已知飞机从甲地按北偏东 30°的方向飞翔 2000 km 南偏东 30°的方向飞翔 2000 km抵达丙地，再从丙地按西南方向飞翔问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？抵达乙地，再从乙地按1000 2 km 抵达丁地，13．(13 分) 图 L2-1-4是 4×3的矩形 ( 每个小方格的边长都是 1) ，在起点和终点都在小方格的极点处的向量中，与向量→2的向量共有几个？与向量→AB平行且模为AB方向同样且模为 3 2 的向量共有几个？图 L2-1-4得分14． (5 分 ) 一个人从 A 点出发沿东北方向走了100 m抵达 B 点，而后改变方向，沿南偏东 15°方向又走了 100 m 抵达 C 点，则这人从 C 点回到 A 点的位移为 ______________．15． (15 分 ) 如图 L2-1-5所示，四边形→ →ABCD中， AB＝DC， N， M分别是 AD，BC上的点，→→→→且CN＝ MA. 求证： DN＝ MB.图 L2-1-51．C [分析 ] 向量不可以比较大小，故 A 错；向量的模相等，可是向量的方向可能不一样，故 B 错；不相等的向量也可能是共线向量，故 D 错； C 明显正确．2． C [分析] → → →C. 因为 A ， B ， C 都在圆上，因此 OA ， OB ， OC 的模是相等的．应选 3． D [分析] 明显选项 A ， B ， C 正确；方向同样或相反的两个向量是共线向量，因此选项 D 不正确．4． B [分析] ∵ E ， F ，D 分别是边 AC ， AB ， BC 的中点，∴ EF ＝ 1 1BC ，BD ＝ DC ＝ BC.又2 2 →→→→→→ 个．AB ， BC ， AC 均不相等，∴与向量 EF 的模相等的向量有 FE ， BD ， DB ， DC ，CD ，共 5 5． C [分析] ∵三个四边形都是菱形，∴ → → → →|AB | ＝|EF | ， AB ∥CD ∥ FH ，故 AB 与 FH 共线，→ →又 D ， C ， E 三点共线，∴ DC 与 EC 共线，∴ A ， B ， D 必定建立．应选 C.6． C [分析] 由条件知点 O 到△ ABC 的三个极点的距离相等，因此 O 是△ ABC 的外心． 7．D [分析 ] 关于①， 向量平行时，表示向量的有向线段所在直线能够是重合的，故①错．关于 ②，∵ |a| ＝ |b| ≠0，∴ a ， b 都是非零向量，∵ a ∥ b ，∴ a 与 b 方向同样或相反，∴ a ＋ b ＝ 0 或 a － b ＝ 0.关于③，向量 → →AB 与向量 BA 方向相反，但长度相等．关于④，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向同样．故 选 D.8． 2 [ 分析 → → → → 对．] AB ＝ DC ， BC ＝AD ，共 29． 0 [ 分析→ → → → ] ∵A ， B ， C 不共线，∴ AB 与 BC 不共线．又∵ m 与 AB ，BC 都共线，∴ m ＝0. 10．①②③ [分析] 依据正方形的特点，联合相等向量、平行向量的定义可知，只有→ →④是错误的， AO 与 BO 不过模相等，因为方向不同样，因此不是相等向量．11．③ [分析] 起点和终点都同样的向量必定相等，但相等的向量只需求长度相等、方向同样，其实不要求起点同样，故①错；若 → →AB ＝ DC ，则 A ， B ， C ，D 四点还可能共线，∴②错，③正确；当 a ＝b 时， a 与 b 必定共线，但当a 与b 共线时，不必定有 a ＝b ，故 a ≠b 时， a 与 b 可能共线，④错．故填③ .12．解： 依据题意作出表示图，如下图， A ， B ， C ， D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形 ABC 为正三角形，∴ AC ＝2000.又∵∠ ACD ＝45°， CD ＝1000 2，∴△ ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝ 1000 2，∠ CAD＝ 45°.故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2 km.13．解： (1) 依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反→向量都和 AB 平行且模为 2.因为共有 12 个小方格，因此知足条件的向量共有 24 个．→ 3 2的向量共有 2 个．(2) 易知与向量 AB 方向同样且模为 14．沿西偏北 15°长度为 100 m [ 分析 ] 依据题意画出表示图 ( 图略 ) ．由题意可知， → → |AB| ＝ 100， |BC| ＝ 100，∠ ABC ＝45°＋ 15°＝ 60°，→∴△ ABC为正三角形，∴|CA| ＝ 100，即这人从 C 点回到 A 点所走的行程为100 m.又易知这人行走的方向为西偏北15°，因此这人从C点走回 A 点的位移为沿西偏北15°长度为 100 m.→ →ABCD是平行四边形，∴→ →15．证明：∵ AB＝ DC，∴ AB＝ DC且 AB∥CD，∴四边形CB＝DA.→ →→ →又CN＝ MA，∴ CN＝ MA，CN∥ MA，∴四边形 CNAM是平行四边形，∴ CM＝ NA. ∵ CB＝ DA，CM＝NA，→ →→→∴MB＝ DN.又 DN∥ MB，∴ DN与 MB的模相等且方向同样，∴DN＝MB.。
新人教版高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课后习题新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量是()A.有相同起点的向量B.方向相同的向量C.模相等的向量D.相等的向量解析:因为这三个向量的起点不同,方向也不同,但长度都等于圆的半径.所以A,B,D不正确,C正确.答案:C2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()A.B.C.D.解析:由相等向量的定义知,,故选D.答案:D3.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”()A.恒成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立解析:当b=0时,a,c为任意向量都满足a∥b,b∥c,故a与c不一定平行.答案:C4.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量平行且模相等的向量有()A.B.C.D.解析:与平行包含两个方面:方向相同或相反,故选D.答案:D5.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.解析:由已知不共线,所以当m∥,m∥时,m=0.答案:06.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析:②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.答案:①③④7.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由已知得AB∥EF∥CD,所以与向量方向相反的向量有.答案:8.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和-3,且为单位向量,则点B对应的实数为;点D对应的实数为;||=.解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为-7;又||=1,所以点D对应的实数为-4或-2;||=||=4.答案:-7-4或-249.如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为.解析:注意到从A点出发,这些向量的顺序是a,e,d,c,b.答案:a,e,d,c,b10.如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与相等的向量共有5个(不包括本身),如图.(2)与方向相同且模为3的向量共有2个,如图.11.如图所示,在△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点.(1)写出与共线的向量;(2)写出与模相等的向量;(3)写出与相等的向量.解:(1)∵E,F分别是边AC,AB的中点,∴EF∥BC,从而与共线的向量有:.(2)∵E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC均不相等,∴与的模相等的向量有:.(3)与相等的向量有两个,它们是.。
人教版数学高一-人教A版必修4练习 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．基础梳理一、向量的概念1．向量的实际背景．有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．2．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？答案：位移、力思考应用1．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？解析：x 轴，y 轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．二、向量的几何表示1．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB →．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素起点、方向、长度．2．向量的有向线段表示方法．向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．3．向量也可以用黑体的字母表示，如a ，b ，c .强调：箭头不能不写，否则表示数量．4．向量的模．|AB→|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．思考应用2．(1)单位向量是否唯一？有多少个单位向量？(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数个单位向量．(2)圆三、共线向量与相等向量1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．2．相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a ＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．3．共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b.思考应用3．共线向量有几种情况？方向为西南方向的向量与东北方向的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方向为西南方向的向量与东北方向的向量方向相反，它们是共线向量．自测自评1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的个数是(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：②③④⑤是向量，故选D.2．向量a与任一向量b平行，则a一定是0．解析：零向量与任一向量平行，∴a一定是0.→、OB→、OC→是(C)3．如图，在圆O中，向量AOA．有相同的起点B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量→＝DC→，则相等的向量是(D) 4．如图，在四边形ABCD中，AB→与CB→B.OB→与OD→A.AD→与BD→D.AO→与OC→C.AC基础提升1．下列关于向量的说法中正确的是 (C )A ．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不一定相等C ．向量的大小与有向线段起点无关D ．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同2．下列条件中能得到a ＝b 的是(D )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝0解析：由相等向量的定义知，D 正确．故选D .3．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是(D )A ．与AB→相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB→的模相等的向量有9个(不含AB →) C .BD→的模恰为DA →模的3倍D .CB→与DA →不共线 4．若|AB|→＝|AD|→且（BA →＝CD ）→，则四边形ABCD 的形状为(B )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形解析：由BA→＝CD →知，AB 綊CD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．故选B .5．若|a |＝2，b ＝a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．若b ＝－a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．答案：2 相同 2 相反 巩固提高6．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：①③④7．如下图，设ABCD 是菱形，可以用同一条有向线段表示的两个向量是________．解析：∵相等向量可以平行移动，∴相等向量可用同一条有向线段表示．图中AD→和BC →是相等向量． 答案：AD→和BC →8．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量FE →共线的有________________________________________________________________________．(2)与向量DF →的模相等的有________________________________________________________________________．(3)与向量ED →相等的有________________________________________________________________________．答案：(1)EF→、BC →、CB →、BD →、DB →、CD →、DC → (2)FD →、AE →、EA →、EC→、CE → (3)AF →、FB → 9．已知四边形ABCD ，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是__________．解析：∵AB →＝12DC →，∴AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．∵|AD→|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形．答案：等腰梯形10．在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3 cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3 cm”处，画出点P和点Q相对于点O的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P、Q)．解析：所求图如下：1．非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立．2．两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．3．与向量a同方向，且长度等于1个单位的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a|a|，这实质上告诉了求任意非零向量的单位向量的方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
1．下列说法正确的是( )
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量的长度是0
C ．长度相等的向量叫相等向量
D ．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：对A ，由于0与任意向量平行，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．
答案：B
2．设O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO →，BO →，CO →是( )
A ．相等向量
B ．平行向量
C ．模相等的向量
D ．起点相同的向量
解析：根据圆的性质可知AO →，BO →，CO →是模相等的向量．
答案：C
3.如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则必有( )
A.AD →＝CB →
B.OA →＝OC →
C.AC →＝DB →
D.DO →＝OB →
解析：由于AB →＝DC →，所以AB 綊DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，所以DO →＝OB →，故D
正确．
答案：D
4．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：
(1)|a |＞|b |；
(2)a ∥b ；
(3)|a |＞0；
(4)|b |＝±1；
(5)若a 0是与a 同向的单位向量，则a 0＝b .
其中正确的是____________．(填序号)
解析：对(1)，不一定有|a |＞|b |；对(2)，a 与b 方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a |＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a 0与b 方向不一定相同．综上可知(3)正确．
答案：(3)
5.如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中：
(1)写出与AF →，AE →相等的向量；
(2)写出与AD →模相等的向量．
解：(1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →.
(2)DA →，CF →，FC →.。