第07周 数列-试题君之周末培优君2017-2018学年高考数学理 含解析 精品

第07周 数列
（测试时间：60分钟，总分：90分）
班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．等差数列{}n a 满足122,3n n a a a +=-=，则2a = A ．5 B ．
5
2
C ．
7
2
D ．
32
【答案】C
【解析】由题意可知等差数列的公差为
32，所以217
2
a a d =+=，选C. 2．数列{}n a 满足111,21,n n a a a +==-则1000a = A ．1
B ．1999
C ．1000
D ．−1
【答案】A
【解析】121n n a a +=-()1110001000121,
10,10,1n n a a a a a +⇒-=--=∴-==，选A.
【名师点睛】(1)形如1n n a pa q +=+的递推关系式可以化为()1n n a x p a x ++=+的形式，构成新的数列，进而求出通项公式，解题中求变量x 是关键，可由待定系数法确定. (2)形如1n
n n Aa a Ba C
+=
+(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
3．在等比数列{}中，若=2，=16，则{}的前5项和等于 A ．30 B ．31 C ．62
D ．64
【答案】C
【解析】由题意可得，3418,2a
q q a ===，所以()
5
52126212
S -==-，选C.
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2718,a a =-则8S = A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
【答案】D 【解析】2718a a =-，271818a a a a ∴+==+，()()1881884418722
a a S a a +∴=
=+=⨯=，故
选D.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是 A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．可能是等差数列，但不会是等比数列
D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】
C
【名师点睛】给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用()12n n n S S a n --=≥转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 6．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则23
1
a a a += A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，∵124,,S S S 成等比数列，∴2214S S S =，即
()
()2
111246a d a a d +=+，解方程可得12d a =，故
2311
11
358a a a a a a ++==，故选C.
7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为 A ．48里 B ．24里 C ．12里
D ．6里
【答案】
C
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列求和公式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的实例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，解答本题的关键是将古代数学著作问题转化为等比数列求和问题. 8．已知数列{}n a 的通项为()()143n
n a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =
A ．98
B ．99
C ．100
D ．101
【答案】C
【解析】数列{a n }的通项为()
()143n
n a n =--，前50项和
501591317197T =-+-+-+
+=()15-++
()()()91317211931974444425100-++-+++-+=+++
+=⨯=，本题选择C 选项.
【名师点睛】(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
9．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足()2
1n n n S a S =-，设2
2
l o g
n
n n S b S +=，数列{}n b
的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是 A ．12 B ．11 C ．10
D ．9
【答案】C
数列{b n }的前n 项和为2
222
2345
12
log log log log log 123
1n n n T n n
++=+++++- ()()2212345
12log log 123
12
n n n n n n ++++⎛⎫
=⨯⨯⨯
⨯
⨯= ⎪-⎝⎭， 由6n T ≥,即()()2
12log 6
2
n n ++≥,解得()()7
122n n ++≥，
令()2
231312612824f x x x x ⎛
⎫=+-=+-- ⎪⎝
⎭，可得：f (x )在[1,+∞)上单调递增，且
f (9)=−18<0,f (10)=4>0，
若*
x ∈N ，则10n ≥.则满足6n T ≥的最小正整数n 是10. 本题选择C 选项.
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10．若等比数列
的前项和为,且
，
，则
____________.
【答案】511
【解析】由等比数列的性质可得：
，即：
，解得：
.
11．设等差数列{}n a 的公差是d ，其前n 项和是n S ，若11a d ==，则
8
n n
S a +的最小值是____________. 【答案】
92
【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a d ==，∴()
2
1,2
n n S n n a n =
+=， ∴28168192222
n n S n n n a n n +++==++≥(当且仅当n =4时取等号)．
故答案为：
9
2
． 【名师点睛】本题考查数列与不等式的综合 ,等差数列的通项公式 ,等差数列的前n 项和以及数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和公式的应用，主要考查转化思想以及计算能力． 12．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(
)*
21n n S a n =-∈N
，则该数列的第5项等于____________.
【答案】
16
【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．已知数列
是首项
，公比
的等比数列．设(
)*
13
2log 1n n b a n =-∈N
．
（1）求证：数列{}n b 为等差数列； （2）设2n n n c a b =+，求数列
的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）2*1112()223n
n T n n n ⎛⎫
=++-⋅ ⎝∈⎪⎭N .
【解析】（1）由已知得：1
111333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫=⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以1312log 1213n
n b n ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
*()n ∈N .
则()1211212n n b b n n +-=+--+=.
所以数列{}n b 是以为首项，为公差的等差数列
.
【名师点睛】一个等比数列{}n a ,当0n a >时，{}log (0,1)a n a a a >≠是等差数列；一个等差数列
{}n a ，{}n
a a 是等比数列.以上两个通过指数、对数，达到等差与等比数列的相互转化，对于通项由
等比数列与等差数列构成的数列，一般用分组求和法进行求解.
14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+()
*
n ∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）3n n a =；（2）()1
13
3n n T n +=-⋅+.
【解析】（1）当2n ≥时,由123n n a S +=+,得123n n a S -=+,
两式相减,得11222n n n n n a a S S a +--=-=,
13n n a a +∴=,
1
3n n
a a +∴
=, 当1n =时,12113,23239a a S a ==+=+=,则
2
1
3a a =. ∴数列{}n a 是以13a =为首项, 公比为3的等比数列.
1333n n n a -∴=⨯=.
（2）解法一:由（1）得()()21213n
n n b n a n =-=-⋅,
()23133353213n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅, ① ()23413133353213n n T n +=⨯+⨯+⨯+
+-⋅, ②
①−②得()2
3
1213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⋅
(
)
()23132333213n n n +=+⨯++
+--⋅
(
)()21
1
31332213
13
n n n -+-=+⨯
--⋅-
()16223n n +=---⋅. ()1133n n T n +∴=-⋅+.
解法二:由（1）得()()21213n
n n b n a n =-=-⋅,
而()()()1
21313
23n
n n n n n +-⋅=-⋅--⋅,
123n n T b b b b ∴=++++
()()()
()()343103302331323n n
n n +⎡⎤=++-+⨯-+
+-⋅--⋅⎣⎦
()1133n n +=-⋅+.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和，其中解答中涉及等比数列的概念、等比数列的通项公式，乘公比错位相减法求和等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题
的能力，以及推理与运算能力和转化与化归思想，本题解答中根据等差数列和数列求和的方法，准确计算是解题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 15．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11
11n n n n n a a
b a a ++=
-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.
【答案】（1）*13n
n a n ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，N ；
（2）见解析
.
（2）11111111133111131311133
n n n n n n n n n n n a a b a a +++++=-=-=-+-+-+-． 又111111
313313
n
n n n ++<>+-，， 所以111111
313133
n n
n n n b ++=-<-+-， 所以122231111111
11133333333
n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为11
03n +-
<， 所以1111333n +-<，即13
n T <．
【名师点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用
关系式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否能整合在一起.。