福建省普通高中毕业班质量检查数学试卷(理科)

2009年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题 为必考题。

本试卷共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知x R ∈，i 不虚数单位，若()()12i x i 43i -+=-，则x 的值等于 A ．6-B ．2-C ．2D ．6 2． 设向量()a 4sin ,3=α ，()b 2,3cos =α，且a ∥b ，则锐角α为A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π 3． “k 1=”是“线x y k 0-+=与圆22x y 1+=相交”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 函数()y ln 1x =-的图像大致为B5． 设α、β为不重合的平面，m 、n 为不重合的直线，则下列命题正确的是 A ．若α⊥β，n αβ= ，m n ⊥，则m ⊥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α6．关于函数y sin 2x =图像的对称性，下列说法正确的是 A ．关于直线x 3π=对称 B ．关于直线x 6π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称7． 右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x = B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =8． 已知直线2a x y 20+==与直线()2bx a 1y 10-+-=互相垂直，则ab 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．2 D ．19． 已知函数()f x 满足()()f x f x π+=π-，且当()x 0,∈π时，()f x x cos x =+， 则()f 2，()f 3，()f 4的大小关系是 A ．()()()f 2f 3f 4<< B ．()()()f 2f 4f 3<<C ．()()()f 4f 3f 2<<D ．()()()f 3f 4f 2<<10．()n1x +的展开式中，k x 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数。

下列 各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为1、2、3、…、10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是A ．()()()()23101x 1x 1x 1x ++++ B ．()()()()1x 12x 13x 110x ++++C ．()()()()23101x 12x 13x 110x ++++D ．()()()()22323101x 1x x 1x xx 1x xx x +++++++++++第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置。

11．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点。

已知恰有 200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是 _____________。

12．已知x ，y 满足约束条件y x x y 1y 1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则x 2x y =-的最大值是_____13．如图，直线y 1=与曲线2y x 2=-+所围图形的面积是_________。

14．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 4b sin A =，则cos B =______。

15．已知椭圆1C 的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线2C 小明从曲线1C 、2C ()x ,y 。

由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1C 上，也不在抛物线2C 上。

小明的记1三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，1a 2=，4a 16=。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令*n 2n 2n 11b ,n N log a log a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。

现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 9588 93 84乙 92 95 80 75 8380 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

18．（本小题满分13分） 四棱锥P －ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。

（Ⅱ）在四棱锥P －ABCD 中，若E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ；（Ⅲ）在四棱锥P －ABCD 中，设面PAB 与面PCD 所成的角为θ()090︒<θ≤︒，求cos θ的值19．（本题满分13分）已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点分 别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

B已知函数()f x ax ln x ,a R =+∈（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）对于曲线上的不同两点()111P x ,y ，()222P x ,y ，如果存在曲线上的点()00Q x ,y ，且102x x x <<，使得曲线在点Q 处的切线 ∥12P P ，则称 为弦12P P 的伴随切线。

特别地，当()()012x x 1x 01=λ+-λ<λ<时，又称 为12P P 的λ－伴随切线。

（ⅰ）求证：曲线y f (x)=的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的； （ⅱ）是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知a R ∈，矩阵 1 2A a 1⎛⎫=⎪⎝⎭对应的线性变换把点()P 1,1变成点()P 3,3'， 求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线 经过点()M 1,3，且倾斜角为3π，圆C 的参数方程为x 15cos y 5sin =+θ⎧⎨=θ⎩（θ是参数）。

直线 与圆C 交于1P 、2P 两点，求1P 、2P 两点间的距离。

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲解不等式：2x 1x 2x 1++-<+。

2009年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

11、9 12、5 13、431415、22x y 1126+=三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，1a 2=，4a 16=。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令*n 2n 2n 11b ,n N log a log a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

16、本小主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。

满分13分 解：（Ⅰ） 设等比数列{}n a 的公比为q 。

依题意，得1341a 2a a q 16=⎧⎪⎨==⎪⎩ ………………………………………………2分解得q 2=，………………………………………………………………4分∴数列{}n a 的通项公式：n 1n n a 222-=⨯=。

…………………………7分（Ⅱ） 由（Ⅰ）得2n log a n =，2n 1log a n 1+=+。

()n 111b n n 1n n 1==-++。

………………………10分∴n 12n S b b b =+++ 111111223n n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n1n 1n 1=-=++。

………………………… 13分17、（本小题满分13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。

现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取8次，记录如下： 甲 82 8179 78 95 88 93 84乙 92 9580 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。