中考数学第一轮复习解直角三角形的实际应用学案

解直角三角形的实际应用
【学习目标】
1.理解直角三角形的概念及仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念。

2.灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力。

【学习重难点】
运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【教学过程】
预习导航：
1.在正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（ ） A ．
5
5
B ．25
5
C ．
12
D ．2
2..如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m ，迎水斜坡AB=10m ，斜坡的坡角为α，则tan α的
值为（ ） A ．
53 B ．54 C ．34 D ．4
3 3.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是（ ）
A.533(
)32m B.3(53)2m C.m 3
35 D.4m 典型例题
1． 仰角、俯角问题
例1．(2020张家界中考)如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一条直线上，小明在地面D 处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m 到达地面的E 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC ＝12 m ，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1 m ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)
A
A B
q
h
O
B
2.方位角问题
例2．(2020临沂中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)
3.坡度、坡比问
题
例3．(2020巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比
【课堂检测】
1（2020随州中考)某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎
帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1 620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
2.(2020乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
3．(2020石家庄二十八中二模)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 2 m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两个小题结果都保留根号)
(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33 m远(即AG＝33 m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，建筑物GH高为多少米？
【课后巩固】．
1(2020济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 5 m，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B 点与A点有一条彩带相连．若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为( )
A．5 m B．6 m
C．8 m D．(3＋5)m
2.(2020长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A ) A．160 3 m B．120 3 m C．300 m D．160 2 m
3.(2020钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6 m的B处安置高为1.5 m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
4.(2020绍兴中考)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度．(结果精确到1m，备用数据：3≈1.7，2≈1.4)
5.. 如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡
角∠BAD=
60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈).
(2题图)
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
如图所示，
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
2．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2
【答案】C
【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．
又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．
故选C．
3．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（）
A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2
【答案】A
【解析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；
【详解】观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1．故选A．
【点睛】
本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）
A．75°B．90°C．105°D．115°
【答案】C
【解析】分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．
详解：∵AB∥EF，
∴∠BDE=∠E=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，
故选C．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图
像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（） A ．3y x = B ．3y x
=
C ．1y x
=-
D ．2y
x
【答案】B
【解析】y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随x 的增大而增大，故选项A 错误；
y=
3
x 的图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确； y=−1
x
的图象在二、四象限，故选项C 错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D 错误； 故选B.
6．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【答案】C
【解析】解:如图所示，分别作直线AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G 、H 、I ．
因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°． 所以AFI BGC DHE GHI 、、、都是等边三角形． 所以31
AI AF BG BC ====，． 3317GI GH AI AB BG ∴==++=++=， 7232DE HE HI EF FI ==--=--=， 7124CD HG CG HD ．=--=--= 所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故选C ．
7．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x 的值是（ ）．
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．8
【答案】D
【解析】根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x 的值． 【详解】解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对, 故x=8,故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征. 8．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．1m
C ．1m
D ．1m <
【答案】D
【解析】由抛物线与x 轴有两个交点可得出△=b 2-4ac ＞0，进而可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．
【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，即4-4m ＞0， 解得：m ＜1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点”是解题的关键． 9．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．
【详解】解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，1，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，1．
故选D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变是解题的关键．
10．下列四个多项式，能因式分解的是()
A．a－1 B．a2＋1
C．x2－4y D．x2－6x＋9
【答案】D
【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．
试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．
故选D．
考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．若关于x、y的二元一次方程组
21
33
x y m
x y
-=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足x＋y＞0，则m的取值范围是____．
【答案】m>-1
【解析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：
21
33
x y m
x y
-=+
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①+②得1x+1y＝1m+4，则x+y＝m+1，
根据题意得m+1＞0，
解得m＞﹣1．
故答案是：m＞﹣1．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．
12．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：
方式1：如图1；
方式2：如图2；
若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是_______.有n个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为__________．
【答案】18 1
【解析】有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2进行拼接可使周长为8，六边形的个数最多．
【详解】解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2=18；按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为1．
故答案为：18；1．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键．
13．已知同一个反比例函数图象上的两点()111P x ,y 、()222P x ,y ，若21x x 2=+，且21111
y y 2
=+，则这个反比例函数的解析式为______． 【答案】y=
4x
【解析】解：设这个反比例函数的表达式为y=
k
x
．∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x 1y 1=x 2y 2=k ，∴
11y =121x k y ，=2211112x k y y =+．
，∴21y ﹣11y =12，∴21x x k k -=12
，∴
21x x k -=1
2，∴k=2（x 2﹣x 1）．∵x 2=x 1+2，∴x 2﹣x 1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=4x ．故答案为y=4x
． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形．
14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心在x 轴上，且经过点A （m ，﹣3）和点B （﹣1，n ），点C 是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P 的圆心的坐标是_____．
【答案】（2，0）
【解析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE ≌△PAF ，根据PE=AF=3，列式可得结论．
【详解】连接PB 、PA ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过A 作AF ⊥x 轴于F ，
∵A （m ，﹣3）和点B （﹣1，n ）， ∴OE=1，AF=3， ∵∠ACB=45°， ∴∠APB=90°， ∴∠BPE+∠APF=90°， ∵∠BPE+∠EBP=90°， ∴∠APF=∠EBP ，
∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB ，
∴△BPE≌△PAF，
∴PE=AF=3，
设P（a，0），
∴a+1=3，
a=2，
∴P（2，0），
故答案为（2，0）．
【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE
EC
的值是．
3
【解析】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．∴BE AB EC CD
=．
∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC．
∵在RtACD中，∠D=30°，∴
AC
CD3AC
tan30
==
︒
．
∴BE AB3 EC CD3
3AC
===．
16．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．
【答案】1．
【解析】设小矩形的长为x ，宽为y ，则由图1可得5y=3x ；由图2可知2y-x=2. 【详解】解：设小矩形的长为x ，宽为y ，则可列出方程组，
3522x y y x =⎧⎨
-=⎩，解得10
6x y =⎧⎨=⎩
， 则小矩形的面积为6×10=1. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用.
17．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ．
【答案】()24002400
8.120%x x
-=+. 【解析】试题解析：∵原计划用的时间为：
2400
x
， 实际用的时间为：
()2400
120%x +， ∴可列方程为：()24002400
8.120%x x -=+ 故答案为()240024008.120%x x
-=+ 181
8
_____． 【答案】
24
【解析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 11284822
===
,2
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，直线y=1
2
x+2与双曲线y=
k
x
相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点
P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）
6
y
x
（2）(-6,0)或(-2,0).
【解析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．
详解：（1）把A点坐标代入y=1
2
x+2，可得：3=
1
2
m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在
双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6
x
；
（2）在y=1
2
x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点
坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=1
2
×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴
1
2
×3|t+4|=3，
解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．20．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/2m下降到12月份的11340元/2m.求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2
m？请说明理由
【答案】（1）10%；（1）会跌破10000元/m1．
【解析】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1-x），11月份的房价为14000（1-x）1，然后根据11月份的11340元/m1即可列出方程解决问题；
（1）根据（1）的结果可以计算出今年1月份商品房成交均价，然后和10000元/m1进行比较即可作出判断．
【详解】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是：14000（1-x），
11月份的成交价是：14000（1-x）1，
∴14000（1-x）1=11340，
∴（1-x）1=0.81，
∴x1=0.1=10%，x1=1.9（不合题意，舍去）
答：11、11两月平均每月降价的百分率是10%；
（1）会跌破10000元/m1．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年1月份该市的商品房成交均价为：
11340（1-x）1=11340×0.81=9184.5＜10000，
由此可知今年1月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
21．九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.
根据以上信息解决下列问题:m=，n=;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
【答案】（1）8，3；（2）144；（3）2 3 .
【解析】试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n .（2）小组所占圆心角=；（3）列表格求概率.
试题解析：（1）；
(2)；
(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：
由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有种可能.(名男生、名女生).(如用树状图，酌情相应给分)
考点：统计与概率的综合运用.
22．2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图1）补充完整；
求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；
如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
【答案】（1）一共调查了300名学生．
（2）
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为48°．
（4）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．
【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解．
（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可．（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解．
（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
【详解】解：（1）∵90÷30%=300（名），
∴一共调查了300名学生．
（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名．
补全折线图如下：
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：40
300
×360°=48°．
（4）∵1800×80
300
=1（名），
∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．
23．如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到
△A′B′C′；△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；5π（平方单位）．
【解析】（1）连接AO 、BO 、CO 并延长到2AO 、2BO 、2CO 长度找到各点的对应点，顺次连接即可． （2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）见图中△A′B′C′
（2）见图中△A″B′C″ 扇形的面积()
22901
242053604
S πππ=+=⋅=（平方单位）． 【点睛】
本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式．
24．如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，以AD 为斜边作△ADC ，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB 求证：DC 是⊙O 的切线；若AB=9，AD=6，求DC 的长．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：
（1）如下图，连接OD ，由OA=OD 可得∠DAO=∠ADO ，结合∠CAD=∠DAB ，可得∠CAD=∠ADO ，从而可得OD ∥AC ，由此可得∠C+∠CDO=180°，结合∠C=90°可得∠CDO=90°即可证得CD 是⊙O 的切线；
（2）如下图，连接BD ，由AB 是⊙O 的直径可得∠ADB=90°=∠C ，结合∠CAD=∠DAB 可得
△ACD ∽△ADB ，由此可得AD AB
CD BD
=，在Rt △ABD 中由AD=6，AB=9易得BD=，由此即可解得CD 的长了. 详解：
（1）如下图，连接OD ． ∵OA=OD ， ∴∠DAB=∠ODA ， ∵∠CAD=∠DAB ， ∴∠ODA=∠CAD ∴AC ∥OD
∴∠C+∠ODC=180° ∵∠C=90° ∴∠ODC=90° ∴OD ⊥CD ， ∴CD 是⊙O 的切线． （2）如下图，连接BD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=9，AD=6，
∴ ∵∠CAD=∠BAD ，∠C=∠ADB=90°， ∴△ACD ∽△ADB ， ∴
AD AB
CD BD
=， ∴6
CD =，
∴CD=185=259
．
点睛：这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.
25．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 延长线上的点，CD 与⊙O 相切于点D ，连结BD 、AD ．求证；∠BDC ＝∠A ．若∠C ＝45°，⊙O 的半径为1，直接写出AC 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】（1）连接OD ，结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解（2）根据勾股定理先求OC ，再求AC. 【详解】（1）证明：连结OD ．如图，
CD 与O 相切于点D ，
OD CD ，∴⊥
2BDC 90∠∠∴+︒＝，
AB 是O 的直径，
ADB 90∠∴︒＝，即1290∠∠+︒＝，
1BDC ∠∠∴＝，
OA OD ＝，
1A ∠∠∴＝，
BDC A ∠∠∴＝；
（2）解：在Rt ODC 中，C 45∠︒＝，
22
12
OC OD AC OA OC ∴==∴=+=.
【点睛】
此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
26．如图，AB 是O 的直径，AF 是O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为点E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，已知CD 23=，BE 1=．
()1求AD 的长； ()2求证：FC 是O 的切线．
【答案】（1）AD 23=；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先连接OD ，由垂径定理，可求得DE 的长，又由勾股定理，可求得半径OD 的长，然后由勾股定理求得AD 的长；
（2）连接OF 、OC ，先证明四边形AFCD 是菱形，易证得△AFO ≌△CFO ，继而可证得FC 是⊙O 的切线．
【详解】证明：()1连接OD ，
AB 是O 的直径，CD AB ⊥，
11CE DE CD 23322
∴==
=⨯= 设OD x =， BE 1=，
OE x 1∴=-，
在Rt ODE 中，222OD OE DE =+，
222x (x 1)∴=-+，
解得：x 2=，
OA OD 2∴==，OE 1=，
AE 3∴=，
在Rt AED 中，AD ===
()2连接OF 、OC ， AF 是O 切线，
AF AB ∴⊥，
CD AB ⊥，
AF //CD ∴，
CF //AD ，
∴四边形FADC 是平行四边形，
AB CD ⊥
AC AD ∴=
AD CD ∴=，
∴平行四边形FADC 是菱形
FA FC ∴=，
FAC FCA ∠∠∴=，
AO CO =，
OAC OCA ∠∠∴=，
FAC OAC FCA OCA ∠∠∠∠∴+=+，
即OCF OAF 90∠∠==，
即OC FC ⊥，
点C 在O 上，
FC ∴是O 的切线．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
【答案】B
【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B.
考点：概率.
2．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--
【答案】A
【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ．
3．一、单选题
在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ） A ．平均数
B ．众数
C ．中位数
D ．方差
【答案】C
【解析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．三角形的外心到三边的距离相等
B ．某射击运动员射击一次，命中靶心
C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上
【答案】C
【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
详解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选C ．
点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．关于x 的不等式21x a --的解集如图所示，则a 的取值是( )
A ．0
B ．3-
C ．2-
D ．1- 【答案】D
【解析】首先根据不等式的性质，解出x≤
12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可； 【详解】解：不等式21x a -≤-，
解得x<12
a -， 由数轴可知1x <-， 所以112
a -=-， 解得1a =-；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 为弧BDC 的中点，∠ABD ＝35°，则∠DBC ＝（ ）
A．20°B．35°C．15°D．45°
【答案】A
【解析】根据∠ABD＝35°就可以求出AD的度数，再根据180
BD︒
=，可以求出AB,因此就可以求得∠的度数，从而求得∠DBC
ABC
【详解】解：∵∠ABD＝35°，
∴的度数都是70°，
∵BD为直径，
∴的度数是180°﹣70°＝110°，
∵点A为弧BDC的中点，
∴的度数也是110°，
∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，
∴∠DBC＝＝20°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为42，则a的值是（）
A．4 B．32C．2D．33
【答案】B
【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，。