2022-2023学年贵州省高一年级下册学期联合考试数学试题【含答案】

贵州省高一年级联合考试卷数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题题目要求的.
1.复数1511i z =-的虚部为（）
A.
11i
- B.-11
C.15
D.15i
【答案】B 【解析】
【分析】根据复数虚部的定义确定虚部即可.【详解】由1511i z =-，则其虚部为11-.故选：B
2.2MN MQ NQ -+=
（
）
A.MQ
B.QM
C.NQ
D.QN
【答案】C 【解析】
【分析】根据向量的加减法运算求解.
【详解】2MN MQ NQ MN NQ NQ MQ MQ NM NQ -+=++-=+=
，
故选：C
3.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1
sin ,2,312
A a b ===，则sin
B =（）
A
.18
B.
16
C.
14
D.
12
【答案】A 【解析】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由sin sin a b A B
=，得23
1sin 12
B =
，所以1
sin 8
B =．
故选：A.
4.一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则
这个几何体是（）
A.三棱柱
B.三棱台
C.四棱柱
D.四棱台
【答案】D 【解析】
【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.
【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求，四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台.故选：D.
5.若向量()()()2,1,1,4,,3a b c m =-=--=
，且()
//a b c + ，则m =（
）A.35
-
B.
35
C.53
-
D.
53
【答案】A 【解析】
【分析】由向量线性关系坐标运算求得(1,5)a b +=-
，再由向量平行的坐标表示求参数即可.【详解】由(1,5)a b +=- ，又()
//a b c +
，
所以513m -=⨯，可得35
m =-.故选：A
6.水平放置的四边形ABCD 用斜二测画法得到的直观图为矩形A B C D ''''，已知23A B B C ''=''=，则四边形ABCD 的面积为（）A.9 B.182
C.
92
D.92
【答案】D 【解析】
【分析】根据斜二测法确定原四边形中的高和底，进而求四边形ABCD 的面积.【详解】如下图，因为'''45E A B ∠=︒，所以A D E ∆'''为等腰直角三角形，即32
2
A E ''=
，
所以，构建如图斜坐标系x A y '''，故在原四边形中的高232AE A E ''==，3AB A B ''==，所以四边形ABCD 的面积为92AE AB ⋅=.故选：D
7.为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
的图象（
）
A.向左平移5π
8
个单位长度 B.向右平移5π
8
个单位长度C.向左平移5π
16
个单位长度 D.向右平移
5π
16
个单位长度【答案】C 【解析】
【分析】根据函数解析式，结合诱导公式判断函数图象的平移过程.【详解】由5πππ5ππππcos[2()]cos 2cos 2sin(2)16448828x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
-=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭的图象向左平移5π16个单位长度可得
πsin 28y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：C
8.根据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁.如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为4cm 且高为3cm 的圆台与一个半球这两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍，圆台的质量为100g ，则该不倒翁的总质量为（
）
A.
2700
g 7
B.
3900
g 7
C.
3600
g 7
D.
4100
g 7
【答案】B
【分析】求出圆台的体积，计算出圆台的密度，由球的体积求出球的质量，从而得到不倒翁的总质量.【详解】设圆台的密度为ρ，则球的密度为3ρ，圆台体积公式为()221
π3
V h R r Rr =++，其中h 为圆台的高，r 为上底圆半径，R 为下底圆半径，
3,2,4h r R ===，则()2231
π3242428πcm 3
V =⨯⨯++⨯=台，
且圆台的质量为100g ，则有10028πρ=，所以325
g/cm 7π
ρ=，球的半径为4，则3
314128π4πcm 233V =⨯⨯=
半球，则球的质量为128253200
33πg 37π7V ρ=⨯⨯=球，故不倒翁的总质量为320010039g 700
7
+=，故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知某时钟的分针长4cm ，将快了5分钟的该时钟校准后，则（）
A.时针转过的角为36
πB.分针转过的角为
6
πC.分针扫过的扇形的弧长为
2cm 3
πD.分针扫过的扇形的面积为28cm 3
π【答案】BC 【解析】
【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.
【详解】由题意，得时针转过的角为
52601276ππ⨯=，分针转过的角为52606
ππ⨯=，分针扫过的扇形的弧长为
24cm 63ππ⨯=，面积为21416cm 263
ππ
⨯⨯=.
10.已知复数5i
1i
z -=-，则（）
A.13z =
B.z 在复平面内对应的点位于第一象限
C.32i z =-+
D.2512i
z =+【答案】ABD 【解析】
【分析】利用复数除法化简复数，再由模长公式、复数的几何意义、共轭复数及其平方运算判断各项正误.【详解】5i (5i)(1i)64i
32i 1i (1i)(1i)2
z --++=
===+--+，故13z =，对应点(3,2)位于第一象限，32i z =-，222(32i)912i 4i 512i z =+=++=+.
故选：ABD
11.下列等式成立的是（）
A.1
sin 6cos 6sin122
︒︒=
︒B.sin100cos70cos100sin 70sin10︒︒+︒︒=-︒C.sin 6cos 62sin 39︒-︒=-︒
D.()()cos cos 2cos cos αβαβαβ++-=【答案】ACD 【解析】
【分析】利用和差角正余弦、二倍角正弦、辅助角公式判断各项的正误.【详解】A ：由二倍角正弦公式有1
sin 6cos 6sin122
︒︒=
︒，对；B ：由和角正弦公式有sin100cos70cos100sin 70sin170sin(18010)sin10︒︒+︒︒=︒=︒-︒=︒，错；C ：由辅助角公式有sin 6cos62(cos 45sin 6sin 45cos6)2sin(645)2sin 39︒-︒=︒︒-︒︒=︒-︒=-︒，
对；
D ：由和差角余弦公式有
()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ++-=-++=，对
.
故选：ACD
12.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin ::5::23A B C =
，则（
）
A.::::253
A B C = B.△ABC 为钝角三角形 C.△ABC 的面积为24
ac D.π06
A <<
【答案】BCD 【解析】
【分析】运用正弦定理角化边可以判断A 项，通过计算最大角的余弦值判断其符号进而判断三角形形状可判断B 项，运用余弦定理及三角形面积公式计算可判断C 项，运用余弦定理求得3
cos 2
A >，解三角函数不等式即可判断D 项.
【详解】对于A 项，由正弦定理得：sin :sin :sin ::2:5:3A B C a b c ==，故A 项不成立；对于B 项，由A 项知，设2a
m =，5b m =，3c m =，
由大边对大角可知，C 为最大角，
2222222
25910
cos 0210210a b c m m m C ab m
+-+-===-<，所以C 为钝角，
所以△ABC 为钝角三角形，故B 项正确；
对于C 项，因为2222222
2952
cos 2262a c b m m m B ac m
+-+-===，π(0,)2B ∈，所以2
sin 2
B =，所以12sin 24
ABC S ac B ac =
= ，故C 项正确；对于D 项，因为2222222
592253
cos 25265b c a m m m A bc m
+-+-===>，π(0,)2A ∈，所以π
06
A <<，故D 项正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角θ的终边经过点()2,5-，则cos θ=______.【答案】229
29
-
##22929-
【解析】
【分析】由角终边上的点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设以及三角函数定义得，22
2229
cos 29
(2)5θ-=
=-
-+.故答案为：22929
-14.已知
tan 1
31tan αα
+=-，请写出一个满足条件的角；α=_______.
【答案】15 （答案不唯一）【解析】【分析】由
tan 1
31tan αα
+=-得()tan 453α+= ，写出一个满足条件的角即可.
【详解】()tan 1tan tan 45tan 4531tan 1tan 45tan ααααα
++==+=--⋅
，所以4560180,Z k k α+=+⋅∈ ，则15180,Z k k α=+⋅∈ ，故满足条件的一个角为15 .故答案为：15 （答案不唯一）.
15.LED
（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED 灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED 灯是正
六边形形状的，其平面图可简化为正六边形ABCDEF ，若向量AC 在向量ED
方向上的投影为aED ，则=a ______.
【答案】32
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可计算.
【详解】如图，ED AB =
，过点C 作CG 垂直于直线AB ，垂足为G ，因为2π3ABC ∠=
，所以π
3
CBG ∠=，
则1122BG BC AB ==，AC 在AB
方向上的投影为3322
AG AB ED == .
故答案为：
32
16.在直角梯形ABCD 中，,,3,22AB AD AB CD AB AD CD ⊥===∥，以AB 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为________，表面积为________.【答案】①.
20π3
②.
()
4
2+8π
【解析】
【分析】所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，分别求出圆锥与圆柱的体积得几何体的体积；求出圆锥的侧面积与圆柱的侧面积再加上圆柱下底面面积得几何体的表面积.【详解】旋转后所得几何体如图所示:
所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，由题意可得，2,1,AD OC OB AO CD =====，2222BC BO OC =
+=，
所以底面圆的周长为2π24π⨯=，底面圆的面积为2π24π⨯=，
圆锥的体积为18
4π2π3
3⨯⨯=
，圆柱的体积为4π14π⨯=，所以所得几何体的体积为820
π4ππ33
+=
.圆锥的侧面积为1
4π2242π2
⨯⨯=，圆柱的侧面积为4π14π⨯=，
所以所得几何体的表面积为()
42π+4π4=42+8ππ+.故答案为：
20
π3
；()
42+8π
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数()2
5453i,R z m m m =-++∈.
（1）若z 为实数，求m 的值；（2）若z 为纯虚数，求m 的值.【答案】（1）3m =-（2）3m =【解析】
【分析】（1）（2）根据复数的类型列方程或不等式求参数m 即可.【小问1详解】
若z 为实数，则30m +=，即3m =-；【小问2详解】
若z 为纯虚数，则2545030
m m ⎧-=⎨+≠⎩，可得3m =.
18.如图，观察站B 在城A 的东偏南75°方向上，由城A 出发的一条公路的走向是南偏西30°方向，在B 处测得公路上距B 处37km 的C 处有一人正沿公路向城A 走去，走4km 之后到达D 处，此时B ，D 之间的距离为3km ，求城A 与观察站B 之间的距离.
【答案】36
2
km 【解析】
【分析】由题设，应用余弦定理求得1
cos 2
BDC ∠=-
，再求其正弦值，根据180BDC ADB ∠+∠=︒及△ABD 中应用正弦定理求城A 与观察站B 之间的距离.【详解】由题设45BAC ∠=︒，37BC =
，3BD =，4CD =，
所以222169371
cos 22342
CD BD BC BDC CD BD +-+-∠===-⋅⨯⨯，
因为sin 0BDC Ð>，则3
sin 2
BDC Ð=
，又180BDC ADB ∠+∠=︒，故3sin 2
ADB ∠=
，在△ABD 中，
sin sin BD AB BAC ADB =∠∠，则sin 36
sin 2
BD ADB AB BAC ∠==
∠km .所以城A 与观察站B 之间的距离为
36
2
km 19.已知点()2,0A ，()8,3B ，()6,1C -，D 为线段BC 的中点，E 为线段AB 上靠近B 的三等分点.（1）求D ，E 的坐标.
（2）在①ADE V ，②BDE 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】（1）D 的坐标为()7,1，E 的坐标为()6,2（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式求出D 的坐标，先得到()24,23
AE AB == ，从而得到E 点的坐标；
（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状.【小问1详解】因为
8631
7,122
+-==，故D 的坐标为()7,1，()6,3AB =
，故()24,23
AE AB == ，
所以()6,2OE OA AE =+=
，即E 的坐标为()6,2；
【小问2详解】
选①，ADE V 为钝角三角形，
理由如下：由（1）可知()4,2AE = ，()5,1AD = ，()1,1DE =- ，
因为4521220AE AD ⋅=⨯+⨯=> ，所以DAE ∠为锐角.
易得()5,1DA =-- ，因为5140DA DE ⋅=-=> ，所以ADE ∠为锐角.
因为4220EA ED AE DE ⋅=⋅=-+=-<
，所以AED ∠为钝角.
故ADE V 为钝角三角形.
选②，BDE 为锐角三角形.理由如下：由（1）可知()1,2BD =-- ，()2,1BE =-- ，()1,1DE =- ，
因为2240BD BE ⋅=+=> ，所以DBE ∠为锐角.
易得()1,2DB = ，因为1210DB DE ⋅=-+=> ，所以BDE ∠为锐角.
因为2110EB ED BE DE ⋅=⋅=-=> ，所以AED ∠为锐角.
故BDE 为锐角三角形.
20.已知函数()()πsin 04f x a ax b a ⎛⎫ ⎪⎭+⎝=+
>的值域为[]1,3-.（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若()()0f x ωω>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有一个零点，求ω的取值范围.【答案】（1）递增区间为3ππ[π,π],Z 88
k k k -++∈（2）92144
ω≤<【解析】
【分析】（1）由正弦型函数的值域有3a b +=、1a b -+=-求参数，再根据正弦函数的性质求()f x 的增区间；
（2）由题设知ππππ2[,]4434
x ωω+
∈+，根据区间零点个数及正弦函数图象列不等式求参数范围.【小问1详解】
由题设，当πsin 41ax ⎛
⎫= ⎪⎝⎭+时，3a b +=；当πsin 41ax ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭+时，1a b -+=-；所以2a =，1b =，故()π2sin 214f x x ⎛
⎫=+
+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，则3ππππ,Z 88
k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],Z 88k k k -
++∈.【小问2详解】由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ2[,]4434x ωω+∈+，要()()0f x ωω>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有一个零点，结合正弦函数图象知：πππ2π34ω≤
+<，可得92144ω≤<.21.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱16AA '=，底面边长43AB =，若侧面AA BB ''水平放置时，水面恰好经过AC ，BC ，,A C B C ''''的中点D ，E ，,D E ''，现将底面ABC 水平放置.
（1）求水面的高度；
（2）打开上底面A B C '''的盖子，从上底面A B C '''放入半径为2的小铁球，当水从上底面A B C '''溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.
【答案】（1）12
（2）3
【解析】
【分析】（1）首先利用ABC A B C CDE C D E V V V ''''''--=-求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC 水平放置后水面的高度；
（2）由题设只需放入小铁球的总体积大于CDE C D E V '''-，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值.
【小问1详解】
由题意，水的体积
1sin 60()2
ABC A B C CDE C D E V V V AA CA CB CD CE ''''''--'=-=︒⋅⋅-⋅43(4812)1443=⨯-=，将底面ABC 水平放置，若水面的高度为h ，则1
sin 6014432h CA CB ⋅⋅︒=，所以12h =.
【小问2详解】由题意，只需放入小铁球的总体积大于1sin 604832
CDE C D E V CD CE AA '''-'=⋅︒⋅=即可，而小铁球的体积3432π2π33
V '=⨯⨯=，若放入n 个小铁球水从上底面A B C '''溢出，所以32π4833n ⨯>，则93 2.482π
n >≈，而*N n ∈，故n 最小为3.22.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2225sin 5sin 8sin sin 5sin B C B C A +=+.（1）求cos A ；
（2）若O 为ABC 的重心，且OB OC ⊥，证明：ABC 是等腰三角形.
【答案】（1）45
；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由正弦边角关系得22285
b c a bc +-=，再应用余弦定理求cos A ；（2）由题意有1()3CO CB CA =+ ，1()3
BO BC BA =+ ，结合OB OC ⊥及向量数量积的运算律可得22cos a A bc =，根据（1）结论有222()16455
b c bc +-=，即可证结论.【小问1详解】
由正弦边角关系得2225585b c bc a +=+，则22285
b c a bc +-=，所以2224cos 25b c a A bc +-==.
【小问2详解】由题可得211()()323CO CB CA CB CA =⨯+=+ ，1()3
BO BC BA =+ ，
所以22111()()(2)(cos 2)999
CO BO CB CA BC BA AC AB BC bc A a ⋅=+⋅+=⋅-=- ，又OB OC ⊥及（1）结论，故22cos a A bc
=，而22285a b c bc =+-，所以222()164cos 55b c A bc +=-=，则22
2b c bc
+=，即2()0b c -=，故b c =，即ABC 是等腰三角形.。