2020-2021度湖北省荆州市部分重点高中元月调研考试数学试题

2020—2021学年度湖北省荆州市部分重点高中
高二年级上学期元月调研考试数学试题
一、选择题（一）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、直线01150cos 30sin :=++
y x l 的斜率是（ ） A.3
3 B.3 C.3- D.3
3-
2、已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是（ ）
A.0或1
B.0或
41 C.1或41 D.4
1
3、位于德国东部萨克森州的莱克勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为m 5，跨径为m 12，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A.
m 1225 B.m 625
C.
m 59 D.m 5
18 4、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为35，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为
12，则椭圆短轴长为（ ） A.8 B.6 C.5 D.4
5、中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。

”问该人第四天走的路程为（ ） A.48里 B.24里 C.12里 D.6里
6、若圆)0(2
2
2
>=+r r y x 上恒有2个点到直线02:=--y x l 的距离为1，则实数r 的取
值范围是（ ）
A.),12(+∞+
B.)12,12(+-
C.)12,0(-
D.)12,0(+
7、已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 是等差数列，若
π7,3311611062=++=⋅⋅b b b a a a ，则9
310
21tan
a a
b b ⋅-+的值是（ ）
A.1
B.
22 C.2
2- D.3- 8、若双曲线)0(1222>=-a y a x 的一条渐近线方程为
x y 21-=，则其离心率为（ ） A.23 B.25
C.2
D.3
二、选择题（二）：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9、已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点21,F F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为3
6
，过焦点1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于Q 、P 两点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆C 的方程为132
2=+x y B.椭圆C 的方程为13
22=+y x C.3
3
2=
PQ D.Q PF 2∆的周长为34 10、已知曲线C 的方程为
)(1622
2R k k
y k x ∈=-+-，则下列结论正确的是（ ） A.当4=k 时，曲线为圆 B.存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为2 C.“4>k ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D.当0=k 时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为x y 3±=
11、已知ABC ∆为等腰直角三角形，其顶点为C B A ,,，若圆锥曲线E 以B A ,为焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是（ ）
A.12-
B. 2
C.
2
2
D.12+ 12、已知数列,,10
9
102101,,434241,3231,21:
}{ ++++++n a 若11+⋅=
n n n a a b ，设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则（ ）
A.2n a n =
B.n a n =
C.14+=n n S n
D.15+=n n
S n
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、在等差数列}{n a 中，7,8451==+a a a ，则=5a
14、过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 且倾斜角为
120的直线l 与抛物线在第一、四象限
分别交于A 、B 两点，则
BF
AF 的值等于
15、设直线a x y 2+=与圆022:2
2=--+ay y x C 相交于B A ,两点，若32AB =，则圆C 的面积为
16、已知数列}{n a 满足：)(213312211*∈+=++++N n n n a a a a n n ，设数列}{n b 满足：
112+⋅+=
n n n a a n b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若)(1
*∈+<
N n n n
T n λ恒成立，则实数λ的取值范围为
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本题满分10分）已知直线l 的方程为012=+-y x .
（1）求过点)2,3(A 且与l 垂直的直线l 的方程；
（2）求与l 平行，且到点)0,3(P 的距离为5的直线l 的方程.
18、（本题满分12分）在①圆经过)4,3(C ；②圆心在直线02=-+y x 上；③圆截y 轴所得弦长为8，且圆心在x 轴下方.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解：
已知圆E 经过点)3,6(),2,1(B A -，且 ； （1）求圆E 的方程；
（2）已知直线l 经过点)2,2(-，直线l 与圆E 相交所得的弦长为8，求直线l 的方程.
19、（本题满分12分）已知直线l 过抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. （1）求抛物线C 的方程；
（2）若点)2,2(P ，过点)4,2(-的直线m 与抛物线C 相交于B A ,两点，设直线PB PA ,的斜率分别为21,k k .求证：21k k ⋅为定值.
20、（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项.
（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；
（2）设数列}{n c 对任意*
∈N n 均有
122
11+=+++n n
n a b c b c b c 成立，求2021321c c c c ++++ 的值.
21、（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面F E PD PA PD PA ABCD ,,,,=⊥分别为PB AD ,的中点.
（1）求证：BC PE ⊥；
（2）求证：平面⊥PAB 平面PCD ； （3）求证：//EF 平面PCD .
22、（本题满分12分）设21F F ，分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，且
椭圆的离心率为
2
2
，过2F 的直线1l 与椭圆交于B A 、两点，且1ABF 的周长为28. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过2F 点且垂直于1l 的直线2l 与椭圆交于D C 、两点，求四边形ACBD 面积的最小值和最大值.。