(专题精选)初中数学圆的全集汇编含解析

（专题精选）初中数学圆的全集汇编含解析一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为
半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A
．
53
2
π
-B．
53
2
π
+C．23π
-D．43
2
π
-
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=
3
23
BC
AB
==，
∴∠A=30°，
∴OH=1
2
OA=
3
，AH=AO•cos∠A=
33
3
2
⨯=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
222360
π⨯
⨯⨯-⨯⨯-=
53
2
π
-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )
A．1 B．3
2
C．3D．
5
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
OE=1
2
AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.
【详解】
解：连接CE，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED=90°，
∴∠AEC=180°-∠CED=90°，
∴E点也在以AC为直径的圆上，
设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，
∴OC=1
2
AC=4，
∵BC=3，∠ACB=90°，
∴22
OC BC
，∵OE=OC=4，
∴BE=OB-OE=5-4=1.
故选A.
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.
3．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．13π
B ．1324π+
C ．1324π-
D ．524π+
【答案】C
【解析】
【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．
【详解】
解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 2
40360
94ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝9π﹣24+4π
＝13π﹣24
故选：C ．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．
4．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()
A．4 B．83C．6 D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，
∴光盘的直径为83．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB
的长．
【详解】连接AI 、BI ，
∵点I 为△ABC 的内心，
∴AI 平分∠CAB ，
∴∠CAI=∠BAI ，
由平移得：AC ∥DI ，
∴∠CAI=∠AID ，
∴∠BAI=∠AID ，
∴AD=DI ，
同理可得：BE=EI ，
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B ．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
6．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．20833
π- B ．20833π+C ．20833π D ．20433
π 【答案】A
【解析】
【分析】 如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，连接CE ．
∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．
又∵OE∥AC，
∴∠ACB＝∠COE＝90°．
∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，
∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，
∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE
＝
2
2
60811
-4-443 36042
π
π
⨯
⨯⨯⨯
=20
-83 3
π
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
7．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）
A．3
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】
解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
Q 圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，
∴大正方形的边长为2，
则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12
． 故选：C ．
【点睛】
概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.
8．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.
【详解】
如图，连接AD ，AO ，DO
∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，
∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒
∴1452
ABD AOD ∠=
∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=︒，
又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），
在△ADB 和△DBE 中
ABD EDB AB ED
DAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,
∴AD=EB=BC=1.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.
9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=3，AC=4，则sin ∠ABD 的值是（ ）
A ．43
B ．34
C ．35
D ．45
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC ，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin ∠ABD 的值．
【详解】
∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，
∴弧AC=弧AD ，
∴∠ABD=∠ABC ．
根据勾股定理求得AB=5，
∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=
45． 故选D ．
【点睛】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．
10．如图，在扇形OAB中，120
AOB
∠=︒，点P是弧AB
上的一个动点（不与点A、B
重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33
CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π
【答案】
A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝63
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝33
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO
，
∴AO＝
33
6 sin3
2
AH
AOH
==
∠，
∴扇形AOB的面积为：
2
1206
12
360
π
π
=
g g
，
故选：A．【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）
A ．33°
B ．56°
C ．57°
D ．66°
【答案】A
【解析】
【分析】 根据垂径定理可得»»AC
AB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】
∵OA ⊥BC ，
∴»»AC
AB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB
和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12
∠AOB=33°， 故选：A ．
【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．
12．如图，将△ABC 绕点C 旋转60°得到△A ′B ′C ′，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）
A ．32π
B ．83π
C ．6π
D ．以上答案都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．
【详解】
阴影面积=()603616103603
π⨯-=π． 故选D ．
【点睛】
本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形． 13．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）
A ．12
B ．1
C 3
D 31
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．
【详解】
解：在菱形ABCD 中，
∵∠ABC=60°，AB=1，
∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，
①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；
②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31
③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
上所述，PD 的最小值为 31-
故选D ．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O 经过的路线长是（ ）cm ．
A ．82
B ．8
C ．3π
D ．4π
【答案】D
【解析】
【分析】 由题意可得翻转一次中心O 经过的路线长就是1个半径为1，圆心角是90°的弧长，然后进行计算即可解答．
【详解】
解：∵正方形ABCD 的边长为2cm ，
∴对角线的一半＝1cm ，
则连续翻动8次后，正方形的中心O 经过的路线长＝8×
901180π⨯＝4π． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，审清题意、确定点O 的路线和长度是解答本题的关键．
15．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）
A ．99︒
B ．100︒
C ．101°
D ．102︒
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.
【详解】
解：连接OB ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=56°，
∴∠A=180°-56°-56°=68°=
12
∠BOC ， ∴∠BOC=68°×2=136°，
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，
∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，
∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.
故选D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB ，得到∠BOC 的度数.
16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC
的长为( )
A ．3π
B ．23π
C 3π
D 23π 【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到3CE DE ==，»»BC
BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.
【详解】
如图：连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，
∴3CE DE ==
，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，
∴OD=2sin 60
DE =o ， ∴»BC
的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.
【点睛】
此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.
17．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
A ．3m
B ．33
C ．35
D ．4m
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.
BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=
故小猫经过的最短距离是35.m
故选C.
18．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）
A．2 B．3C．2D．1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =PA OA
,
∴PA= tan60°×1=3.
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
19．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）
A．23B．13C．4 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.
【详解】
如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD-OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
OB= 22
BD OD13
+=
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.
20．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()
A．54°B．27°C．36°D．46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】
解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝1
2
∠AOB＝36°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.。