推荐-2019年中考数学复习第4章图形的性质第15课时等腰三角形与直角三角形精讲课件
2019年中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材
§ ４．３ 等腰三角形与直角三角形
第四章 图形的认识 ３ ９
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９１
考点一 等腰三角形
１．等腰三角形的概念、性质与判定
解析 当四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形时，△Ａ′ＤＥ 是等腰三角 形，△Ａ′ＤＥ≌△ＥＦＣ′．
理由如下： ∵ ＣＤ 是直角三角形 ＡＢＣ 的中线， ∴ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ ＢＤ，∴ ∠Ａ ＝ ∠ＡＣＤ． ∵ △ＡＣＤ 沿 ＤＢ 方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′，∴ ＡＣ∥Ａ′Ｃ′， ∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ，∠ＡＣＤ ＝ ∠Ａ′ＥＤ，∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ′ＥＤ， ∴ △Ａ′ＤＥ 是等腰三角形． ∵ 四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形，
概念 有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形
等腰三 性质
角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． （２）性质 １：等腰三角形的两底角② 相等 （ 简写成“ 等 边对③ 等角 ”） （３） 性质 ２： 等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的 ④ 中线 、底边上的⑤ 高 源自互重合（ 简写成“ 三线合 一” ）
九年级数学等腰三角形与直角三角形中考一轮复习优秀课件ppt
1．[德州，T6，3分]如图，△ABC中
，∠B＝55°，∠C＝30°.分别以(Yi)点A和C为
圆心，大于 1AC的长为半径画弧，两弧相交 2
于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接
AD，则∠BAD的度数为
A．65°
B．60°
() A
C．55°
D．45°
2．[德(De)州，T11，3分]关联考题见第14讲“过真题”T2.
第十五页，共十五页。
9．[潍坊]如图，木(Mu)工师傅在板材边角 处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法 是：(1)作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C；(2)以C为圆 心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D ；(3)连接BD，BC.下列说法不正确的是 ( ) D
10．[玉林]如图，∠AOB＝60°，OA＝O
第三页，共十五页。
点拨►等(Deng)边三角形不是中心对称图形．
考点 线段垂直平分线与角平分线的性质及判(Pan)定6年3考
性质 判定
线段的垂直平分线
角平分线
线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的 ① 距离 相等
角平分线上的点到角的两 边的② 距离 相等
与线段两个端点③距离 相 角的内部到角的两边的 等的点，在这条线段的垂 ④ 距离 相等的点在角的
九年级数学等(Deng)腰三角形与直角三角形中考一轮 复习
第一页，共十五页。
考点
等腰(Yao)三角形的性质及判定 6年
(Nian)1
等腰三角形的两腰①考相等 (定义赋予)
性质
等腰三角形的两个底角相等，即“② 等边对等角 ”
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高相互重合，即“③ 三线合一 ”
初二升初三数学、第四讲、等腰三角形与直角三角形
等腰三角形【知识精读】:（一）等腰三角形的性质:1. 有关定理及其推论：定理：等腰三角形有两边(即两腰)相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
注意必须是在同一个三角形中。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”）。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用：等腰三角形的性质定理揭示了三角形中的边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定： 1. 有关的定理及其推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中的角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
人教版初中数学中考考点系统复习 第19讲 等腰三角形与直角三角形
60°
的三角形是等边三角形；
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的 等腰三角形； （3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面 的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
质 （4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线 所在的直线（如图中AD所在的直线）
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等 ，那么这两个角所对的边也
2024年中考数学一轮复习考点课件：等腰三角形与直角三角形
9，12，15 ）.
（2） 研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如
果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三
边的三角形为直角三角形[即（x，y，z）为勾股数]，请你加以证明.
解：∵ x2＋y2＝（2n）2＋（n2－1）2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝
B. 15°
C. 20°
D. 25°
考点二
等腰三角形的判定
典例4 如图，下列说法中，正确的是（ B ）
A. ①是等腰三角形
B. ②是等腰三角形
C. ①和②均是等腰三角形
D. ①和②都不是等腰三角形
典例4图
典例5 （2023·蚌埠模拟）在如图所示的网格中找到格点C，使△ABC为
等腰三角形，则这样的点有（ C ）
开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形
模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的
高是（ B ）
第4题
A. 4m
B. 6m
1
2
3
C. 10m
4
5
6
7
8
D. 12m
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使
三边相等，即＝＝（如图1）
三个内角相等，每一个角都等于60°，
性质 即∠＝∠＝∠ = 60° 如图1
等边三角形
等边三角形是轴对称图形，有⑤
三 条对称轴
三条边相等的三角形是等边三角形（定义）
判定 三个角都相等的三角形是等边三角形
2019年中考数学总复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材
解题导引
设 ＢＤ ＝ ｘ
ＡＤ２ ＝ ＡＢ２ －
→
→ ＡＤ ＝ １７２ －
ＡＤ２ ＝ ＡＣ２ － →
→
(２８ － ｘ) ２
ＣＤ２
列方程→ 得出 结论
解析 设 ＢＤ ＝ ｘꎬ则 ＣＤ ＝ ２８－ｘꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＤ 中ꎬＡＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＢＤ２ ＝ ２５２ －ｘ２ .
判定 等角对⑥ 等边
２.等边三角形
ìï定义:三条边都相等的三角形是等边三角形
{ ï
有三条对称轴
ïï性质 三个内角都是⑦ ６０°
等边三角形í
ï ï判定 îïï
ìïï三个内角都相等的三角形是等边三角形 í有一个内角是⑧ ６０° 的等腰三角形 îï是等边三角形
提醒:等边三角形是特殊的等腰三角形ꎬ它具有等腰三角形
则∠ＥＤＢ＋∠ＢＤＦ ＝ ∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＥＤＢ ＝ ∠ＣＤＦ.
∵ △ＡＢＣ 为等腰直角三角形ꎬＤ 为 ＡＣ 的中点ꎬ
∴
∠ＥＢＤ ＝ ∠ＤＣＦ ＝ ４５°ꎬＢＤ ＝
１ ２
ＡＣ ＝ ＣＤꎬ∴
△ＥＢＤ≌△ＦＣＤꎬ
∴ ＥＢ ＝ ＦＣ ＝ ３ꎬ又 ＡＥ＋ＢＥ ＝ ＢＦ＋ＦＣꎬ∴ ＡＥ ＝ ＢＦ ＝ ４ꎬ
ìïï∠２ ＝ ∠Ｆꎬ 在△ＥＤＧ 和△ＦＤＣ 中ꎬ∵ í∠ＥＤＧ ＝ ∠ＦＤＣꎬ
îïＧＥ ＝ ＣＦꎬ
∴ △ＥＤＧ≌△ＦＤＣ( ＡＡＳ) ꎬ∴ ＤＥ ＝ ＤＦ. 变式训练 如图ꎬ在等腰直角三角形 ＡＢＣ 中ꎬ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ Ｄ 为 ＡＣ 边上的中点ꎬ过 Ｄ 点作 ＤＥ⊥ＤＦꎬ交 ＡＢ 于 Ｅꎬ交 ＢＣ 于 Ｆ. 若 ＡＥ ＝ ４ꎬＦＣ ＝ ３ꎬ求 ＥＦ 的长.
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中考数学第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形含解析
第四篇图形的性质专题18 等腰三角形与直角三角形☞解读考点知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】试题分析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．2．（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC【答案】B．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰三角形的性质；3．最值问题．3．（2017山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．52B．83C．103D．154【答案】C．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．综合题．4．（2017湖北省武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D．【解析】试题分析：如图：故选D．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．分类讨论；3．综合题；4．操作型．5．（2017湖北省荆州市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．6．（2017湖北省鄂州市）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D．【解析】考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．7．（2017贵州省毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【答案】D．【解析】试题分析：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C 正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．考点：1．旋转的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．正方形的性质；6．相似三角形的判定．8．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=2CD【答案】C．【解析】∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC2CD，∵AB=AC，∴AB2CD，故D正确，不符合题意．故选C．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质．9．（2017广西河池市）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF ⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】B．【解析】试题分析：设AD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG ⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．含30度角的直角三角形；3．动点型．10．（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°【答案】C．【解析】考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．旋转的性质．11．（2017天门）如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A．92B．33C．934+D．9332+【答案】D．【解析】考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．等边三角形的性质．12．（2017内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．85【答案】A．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．角平分线的性质；4．综合题．13．（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．253【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴AB BMMC CG=，即1257CG=，解得CG=3512，∴DG=12﹣3512=10912．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴MC CGDE DG=，即3571210912DE=，解得DE=1095．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．14．（2017山东省聊城市）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B ． 【解析】考点：等腰直角三角形．15．（2017江苏省无锡市）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75【答案】D ． 【解析】试题分析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC =4，AB =3，∴BC =2234+=5，∵CD =DB ，∴AD =DC =DB =52，∵12•BC •AH =12•AB •AC ，∴AH =125，∵AE =AB ，DE =DB =DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12•AD •BO =12•BD •AH ，∴OB =125，∴BE =2OB =245，在Rt △BCE 中，EC 22BC BE -22245()5-75，故选D ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．16．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米 【答案】C ． 【解析】考点：勾股定理的应用．17．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ． 【解析】试题分析：如图所示，∵()221a b +=，∴222a ab b ++=21，∵大正方形的面积为13，2ab =21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ． 考点：勾股定理的证明．18．（2017辽宁省大连市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD =DE =a ，则AB 的长为（ ）A ．a 2B ．a 22C ． a 3D ．a 334 【答案】B ． 【解析】考点：直角三角形斜边上的中线．19．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B ． 【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰直角三角形；3．最值问题．20．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．103B．4 C．4.5 D．5【答案】D．【解析】试题分析：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．考点：1．矩形的性质；2．勾股定理．21．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（）A．33B．3 C．23D．4【答案】A．【解析】考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形．二、填空题22．（2017吉林省长春市）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．【答案】10．【解析】考点：勾股定理的证明．23．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．【答案】（﹣2，﹣3）．【解析】试题分析：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得：B C=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=22，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得：2132k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：11kb=⎧⎨=-⎩，AB的解析式为y=x﹣1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P﹣x A=2﹣4=﹣2，y A′=2y A′﹣y A=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．等腰直角三角形．24．（2017四川省乐山市）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．【答案】355．【解析】考点：勾股定理．25．（2017山东省东营市）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．【答案】25．【解析】考点：1．平面展开﹣最短路径问题；2．勾股定理的应用；3．压轴题；4．转化思想．26．（2017山东省青岛市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度．【答案】32．【解析】试题分析：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD=58°，∴∠DEB=116°，∵DE=BE=12AC，∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案为：32．考点：直角三角形斜边上的中线．27．（2017江苏省徐州市）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．【答案】2n．【解析】考点：1．等腰直角三角形；2．规律型；3．综合题．28．（2017河南省）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．【答案】212或1．【解析】试题分析：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=12BC=212；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM2MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM =B ′M ，∴CM =2BM ，∵BC =2+1，∴CM +BM =2BM +BM =2+1，∴BM =1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为212+或1，故答案为：212+或1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．等腰直角三角形；3．分类讨论．29．（2017湖北省武汉市）如图，在△ABC 中，AB =AC =23，∠BAC =120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若BD =2CE ，则DE 的长为 ．【答案】333-． 【解析】∵∠BAC =120°，∠DAE =60°，∴∠BAD +∠CAE =60°，∴∠FAE =∠FAC +∠CAE =∠BAD +∠CAE =60°． 在△ADE 和△AFE 中，∵AD =AF ，∠DAE =∠FAE =60°，AE =AE ，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE =FE ． ∵BD =2CE ，BD =CF ，∠ACF =∠B =30°，∴设CE =2x ，则CM =x ，EM 3，FM =4x ﹣x =3x ，EF =ED =6﹣6x ．在Rt △EFM 中，FE =6﹣6x ，FM =3x ，EM 3，∴EF 2=FM 2+EM 2，即222(66)(3)3)x x x -=+，解得：x 1=332，x 2=332+（不合题意，舍去），∴DE =6﹣6x =333-．故答案为：333-．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．旋转的性质． 30．（2017宁夏）在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =13DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 ．【答案】8． 【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．31．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．【答案】x =0或x =424 或442x <<． 【解析】试题分析：以MN 为底边时，可作MN 的垂直平分线，与OB 的必有一个交点P 1 ， 且MN =4，以M 为圆心MN 为半径画圆，以N 为圆心MN 为半径画圆，①如下图，当M 与点O 重合时，即x =0时，除了P 1 ， 当MN =MP ，即为P 3；当NP =MN 时，即为P 2；只有3个点P；②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= 2NP2-4=．424③因为MN=4，所以当x＞0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM2MD=424≤x＜42与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=424或4≤x＜42．考点：1．等腰三角形的判定；2．相交两圆的性质；3．分类讨论；4．综合题．32．（2017黑龙江省绥化市）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为．【答案】30°或150°或90°．【解析】考点：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．33．（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4． 【解析】如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．动点型；5．综合题．34．（2017辽宁省抚顺市）如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1的周长和为 ．（n ≥2，且n 为整数）【答案】1212n n --．【解析】考点：1．等边三角形的性质；2．规律型；3．综合题．35．（2017辽宁省营口市）如图，点A 1（1，3）在直线l 1：y =3x 上，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2：y =3x 于点B 1，A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第n 个等边三角形A n B n C n 的面积为 ．（用含n 的代数式表示）2333()2n -． 【解析】试题分析：∵点A 1（13，∴OA 1=2．∵直线l1：y=3x，直线l2：y=33x，∴∠A1OB1=30°．在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A1B1=12OB1，∴A1B1=233．∵△A1B1C1为等边三角形，∴A1A2=32A1B1=1，∴OA2=3，A2B2=3．同理，可得出：A3B3=332，A4B4=934，…，A n B n=233()2n-⋅，∴第n个等边三角形A n B n C n的面积为12×3 2A n B n2=2333()22n-⋅．故答案为：2333()22n-⋅．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型；4．综合题．三、解答题36．（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是33．【解析】（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=12x，PM3，CN=12（2﹣x），PN=32（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12A B •CD =12AB •PM +12AC •PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；（2）设BP =x ，则CP =2﹣x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =12x ，PM =32x ，CN =12（2﹣x ），PN =32（2﹣x ），∴四边形AMPN 的面积=12×（2﹣12x ）•32x +12×[2﹣12（2﹣x ）]•3（2﹣x ）=2333x x -++ =2333(1)x --+，∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是33．考点：1．等边三角形的性质；2．二次函数的最值；3．定值问题；4．动点型；5．最值问题． 37．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． （1）求证：B D =CE ；（2）设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN 是正方形． 【解析】试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性质．38．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【答案】（1）∠ABE=∠ACD；（2）证明见解析．【解析】（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．探究型．39．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【答案】（1）∠AMQ=45°+α；（2）PQ2．【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=2MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴1 2PQ=22MB，∴PQ=2MB．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．动点型．40．（2017四川省阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：B D=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为25或65．【解析】试题解析：（1）∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠DAB =∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD =CE ．（2）解：①当点E 在AB 上时，BE =AB ﹣AE =1．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠PEB =∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴125PB =，∴PB =255． ②当点E 在BA 延长线上时，BE =3．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠BEP =∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴25PB =，∴PB =655． 综上所述，PB 2565． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质；5．分类讨论．41．（2017山西省）综合与实践背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF 交于点N，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【解析】试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．∵四边形AEFD 是正方形，∴∠EFD =90°．∵∠AD ′H =90°，∴∠HD ′N =90°．在Rt △HNF 和Rt △HND ′中，∵HN =HN ，HF =HD ′，∴Rt △HNF ≌Rt △HND ′，∴NF =ND ′．（3）∵四边形AEFD 是正方形，∴AE =EF =AD =8cm ，由折叠知：A D ′=AD =8cm ，EN =EF -NF =（8-x ）㎝．在Rt △AEN 中，由勾股定理得：222AN AE EN =+ ，即222(8)8(8)x x +=+-，解得：x =2，∴AN =8+x =10（㎝），EN =6（㎝），∴AN =6：8：10=3：4：5，∴△AEN 是（3，4，5）型三角形．（4）∵△AEN 是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN 相似的△都是（3，4，5）型三角形，故答案为：△MFN ，△MD ′H ，△MDA ．考点：1．勾股定理的应用；2．新定义；3．阅读型；4．探究型；5．翻折变换（折叠问题）；6．压轴题．42．（2017甘肃省天水市）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =2，CQ =9时BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，62．【解析】试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BP BE，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=32，∴BC=62．CE CQ考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质．43．（2017重庆）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．【答案】（113（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）∵∠ABM =45°，AM ⊥BM ，∴AM =BM =ABcos 45°=32×22=3，则CM =BC ﹣BM =5﹣2=2，∴AC =22AM CM + =2223+ =13；（2）延长EF 到点G ，使得FG =EF ，连接BG ．由DM =MC ，∠BMD =∠AMC ，BM =AM ，∴△BMD ≌△AMC （SAS ），∴AC =BD ，又CE =AC ，因此BD =CE ，由BF =FC ，∠BFG =∠EFC ，FG =FE ，∴△BFG ≌△CFE ，故BG =CE ，∠G =∠E ，所以BD =BG =CE ，因此∠BDG =∠G =∠E ． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．44．（2017黑龙江省哈尔滨市）已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1，求证：A E =BD ；（2）如图2，若AC =DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE．【解析】（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．45．（2017黑龙江省龙东地区）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=12AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）图2，图3的结论都相同：OH=12AD，OH⊥AD．【解析】试题解析：（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD与△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；（2）解：①结论：OH=12AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．和差倍分；5．探究型；6．变式探究；7．压轴题．46．（2017山东省莱芜市）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．【解析】试题解析：（1）AE=DB，AE⊥DB．证明如下：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．变式探究．【2016年题组】一、选择题1．（2016内蒙古赤峰市）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【答案】B．【解析】考点：等腰三角形的性质．2．（2016四川省乐山市）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．3．（2016四川省甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．4．（2016四川省雅安市）如图所示，底边BC为23A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A ．223+B ．23+C ．4D ．33【答案】A ．【解析】试题分析：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，∠A =120°，∴∠B =∠C =30°，∴AB =AC =2，∵DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ，∴AE +CE =BC =23，∴△ACE 的周长=AC +AE +CE =AC +BC =223+，故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．5．（2016陕西省）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B ．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．6．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A．702nB．1702n+C．1702n-D．2702n+【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．规律型．7．（2016湖南省怀化市）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C．【解析】试题分析：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．8．（2016四川省内江市）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A．32B．332C．32D．不能确定【答案】B．【解析】试题分析：如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×32=332，S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，∴12×3AH=12×3PD+12×3PE+12×3PF，∴PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为33．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．定值问题．9．（2016山东省临沂市）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D．【解析】。
等腰三角形与直角三角形讲义
等腰三角形与直角三角形讲义1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°【知识梳理】1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或.（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：（1）①③，①④，②③，②④．（2）选择①④来证明结论成立．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：延长AO交BC于D．在△ABO与△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：设∠A=x．∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD=∠EDB=．∴BDC=∠A＋∠ABD=．∵BD=BC，AB=AC，∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，即，∴x=45°，即∠A=45°．例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．（1）当H是AD与BE的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠4=∠3=∠5=90°，∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，∴∠2=∠1．又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．又∵∠6＋∠DBA=90°，∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．（2）当H是AD、EB延长线的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，∴∠1=∠CAD．又∵BH=AC，∴△DBH≌△DAC，∴DB=DA，∴∠5=∠6．又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠ABC=180°－45°=135°．故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．因为∠3=∠C＋∠4，所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，所以DE=CE．所以CE=BD．所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），所以AC=AE．因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例8、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：取AB的中点E，连结DE．∵AD=BD，∴DE⊥AB，∴∠3=90°．又∵AB=2AC，AB=2AE，∴AE=AC．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC．例9、如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠1=∠ECG，∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．又∵BD=CE，∴BD=GE．又∵∠BFD=∠GFE，∴△BDF≌△GEF，∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。
中考数学总复习--等腰三角形与直角三角形
中考数学总复习--等腰三角形与直角三角形1.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 （ ）A.23 B.2 C.13138 D.1313122.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 为边AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，点M 为BD 的中点，CM 的延长线交AB 于点F 。
（1）求证：CM=EM ；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF 的大小；（3）如图2，若△DAE ≌△CEM ，点N 为CM 的中点，求证：AN ∥EM 。
3.如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点。
（1）求证：△PCE ≌△EDQ ；（2）延长PC ，QD 交于点R 。
①如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR 为等边三角形；②如图3，若△ARB ∽△PEQ ，求∠MON 的大小和PQAB 的值。
1.如图，在三角形ABC 中，直线DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD 为 （ ）A.50°B.70°C.75°D.80°2.平面直角坐标系中，已知A （2,2），B （4,0），若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是 （ ）A.5B.6C.7D.83.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 。
等腰三角形、直角三角形、勾股定理
自己动手来构造。
1、一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边 与斜边长的和是49cm，则斜边( D ) A、18cm B、20cm C、24cm D、25cm 2、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构 成直角三角形的是 （ D、 ） A、a=9,b=41,c=40 C、a:b:c=3:4:5 B、a=b=5, c 5 2 D、a=11 b=12 ,c=15
②
与AE重合，你能求出CD的长吗？
(CD=3cm)
5、如图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （2）求∠ADC的度数。
（1）面积：5＋7.5＝12.5
周长： 12 ＋2 2 ＋ 3 2 ＋3 2 ＋ 2 2 ＋3 2 ＋ 2 2 ＋4 2 ＝ 5＋ 18＋ 13＋ 20
7.如图，若直角三角形ABC 的周长 E 为2+ 6， 斜边上的中线长为l，那么这个 1/2B 直角三角形的面积是_________.
C
三、基本练习
㈡ 选择题
1. 下列命题中，正确的是（ C ）。
(A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等 (C) 有一高对应相等的等边三角形全等 (D) 有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等 2. 等腰三角形的一个内角为98 º ，那么一腰上的高 线与底边的夹角为（ A ）。 (A) 49º (B) 41º (C) 36º (D) 8º 3. 下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③ 已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高；⑤ 已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角 形的条件是（ ）。 B
3.在△ABC中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC的长为 （ B.） A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8
2019中考数学第一轮复习 第4章第16讲 等腰三角形与直角三角形(共29张PPT)
∠DBH＝∠DCA， BD＝CD， ∠BDH＝∠CDA，
∴△DBH≌△DCA(ASA)， ∴BH＝AC.
(2)AD⊥MC.理由如下： 由(1)知，∠MFC＝90°，FD＝EF，FM＝FC， ∴∠FDE＝∠FMC＝45°. ∴DE∥CM. ∴AD⊥MC.
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别 为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE. (1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； (2)求证：BG2－GE2＝EA2.
技法点拨►解答此题需要用到勾股定理、等腰三角形的判定与性质、 三角形的面积等知识，重点是注意分情况讨论．
变式运用►3.在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°， ∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
解：如图所示，连接BD. 由AB＝AD，∠A＝60°.则△ABD是等边三角形． 即BD＝8，∠1＝60°. 又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设BC＝x，CD＝16－x，由勾股定理， 得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10，16－x＝6， 所以BC＝10，CD＝6.
AD
解：(1)证明：过D点作DF∥BC交AC于点F，如图1所示， 则AD＝DF，∴∠FDC＝∠ECD. ∵∠DEC＝∠ECD， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD. ∠DBE＝∠DFC＝120°. 在△DBE和△CFD中，
∠DEB＝∠CDF， ∠DBE＝∠CFD＝120°， ED＝DC，
(毕节专版)2019年中考数学复习第4章图形的性质第15课时等腰三角形与直角三角形(精讲)课件
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