2019年辽宁省阜新市海州区中考数学一模试卷

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2019年辽宁省阜新市海州区中考数学一模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
一、选择题（共10题）
1. 有理数
2
-的相反数是()
A.
1
2
- B.
1
2
C. 2-
D. 2
2. 如图所示的“h”型几何体的俯视图是（）
A.
B.
C.
D.
3. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这个正确答题数所组
成的一组数据的中位数和众数分别是()．
A．10，15B．13，
C．，20D．，
4. 不等式组{
1−x≤2
3x<6的解集，在数轴上表示正确的是（）
5
15
131515
A. B. C. D.
5. 如图，△ABD 的三个顶点在△O 上，AB 是直径，点C 在△O 上，且△ ABD=52°，则△ BCD
等于（ ）
A. 32°
B. 38°
C. 52°
D. 66°
6. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在C'处，BC'交AC 于点E ，若△ AEB=75°，
则△ BAC 的度数为（ ）
A. .60°
B. .65°
C. .70°
D. 75°
7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分
率为x ，根据题意可列方程为（ ） A. 162（1+x ）2=200 B. 200（1+x ）2=162 C. 200（1-x ）2=162 D. 162（1-x ）2=200
8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴上，
△ BAC=30°，点A 的坐标为（-3，0），将△ABC 沿直线AC 翻折，点B 的对应点D 恰好落在反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上，则k 的值为（ ）
A.
B. -
2 C. 4
D. -4
9. 如图，等腰直角三角形ABC 在平面直角坐标系中，直角边AC 在x 轴上，O 为AC 的中
点，点A 的坐标为（1，0），将△ABC 绕点A 顺时针旋转135°，使斜边AB 的对应边A′B′与x 轴重合，则点C 的对应点C'的坐标为（ ）
A. （2，2）
B. （
1+ ）
C. （1+ ，2）
D. （2
，2+
）
10. 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象如图所示，下列结论错误的是()．
A ． 0abc <
B ． a c b +<
C ． 284b a ac +>
D ． 20a b +>
二、
填空题（共6题）
11. 因式分解：
x 2y
-9y 3=______
．
12. 小颖的生日是5月17
日，她用5、
1
、7
这三个数字设置了自己旅行箱三位数字的密码，
但是她忘记了数字的顺序，那么她能一次打开旅行箱的概率是______.
13. 如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a△b，△ 1=30°，则△ 2的
度数为______°．
14. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积（阴影部分）
是△ABC面积的一半，若BC=2，则△ABC移动的距离是______．
15. 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部
D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是______m（结果保留根号）
16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象l与y轴交于点C，A
1
的坐标为（1，0），点B在直线l上，且A B平行于y轴，连接CA、OB交于点P，过点A作
A B
2
△OB交直线l于点B，过点B作B A△CA交x轴于点A，A B与B A
交于点P，……，按此进行下去，则点P
2019的坐标为______．
1111111 11211212121 2
2
三、 解答题（共6题）
17. （1）计算：2019
0(1)
45(3.14)
cos π︒-++
+- （2）先化简，再求值：22222
1()2b a ab
a b a b a ab b
--÷---+，其中a 、b 满足203a b +-= 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的
坐标分别为A （-1，3），B （-4，0），C ．（0，0）
（1）将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标；
（2）△ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；
（3）如果△A 2B 2O ，通过旋转可以得到△A 1B 1C 1，请直接写出旋转中心P 的坐标
19. 某中学为了了解学生最喜欢的一种球类运动，以便合理安排活动场地，在全校至少喜欢
一种球类（乒乓球、羽毛球、排球、篮球、足球）运动的1800名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人只能在这五种球类运动中选择一种），调查结果统计如下：
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的总人数是______，统计表中a 的值为______． （2）求扇形统计图中排球一项的扇形圆心角度数． （3）试估计全校1800名学生中最喜欢乒乓球运动的人数．
20. 大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5
月初又购进该款衬衣，进货量比第一批增加了20%，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了6000元
（1）第一批衬衣进货时价格是多少?
（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利
润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元?（提示：利润=售价-成本，利润率=利润
成本×100%）
21. 在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE=PC，
过点E作EF△AC交直线BD于点F
（1）如图1，当△ COD=90°时，△BEF的形状是______
（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP=BF
（3）当△ COD=60°、CD=3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．
22. 如图，直线
2
2
5
y x
=-与x轴、y轴分别交于BC两点，抛物线2
12
5
y ax x c
=++经过B、
C两点，且与x轴交于点A
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交直线BC于点N，连接AM、BM、AN，求四边形MANB面积S的最大值，并求出此时点M 的坐标；
（3）抛物线的对称轴交直线BC于点D，若Q为y轴上一点，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题 1. 【答案】B 【解析】解：12 的相反数是12
， 故选：B ．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 【答案】D
【解析】解：从上面看可得到一个矩形，中间左边有一条实心线，右边有一条虚线． 故选：D ．
根据俯视图是从上向下看得到的视图进行分析解答即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得见的线用实线表示，看不见的线用虚线表示． 3. 【答案】D
【解析】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、、20， 最中间的数是， 则这组数据的中位数是；
出现了2次，出现的次数最多，则众数是．
故选D
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 4. 【答案】A
1515151515
【解析】解：{1−x≤2①3x<6②
解不等式△ 得：x≥-1，
解不等式△ 得：x＜2，
则不等式组的解集为-1≤x＜2，
在数轴上表示为：，
故选：A．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5. 【答案】B
【解析】解：△ AB是△O的直径，
△ △ ADB=90°，
△ △ ABD=52°，
△ △ A=90°-△ ABD=38°；
△ △ BCD=△ A=38°．
故选：B．
由AB是△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得△ ADB的度数，继而求得△ A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6. 【答案】B
【解析】解：设AC交BD于O．
△ 四边形ABCD是矩形，
△ OA=OC=OB=OD，△ ABC=90°，
△ △ OCB=△ OBC，
由翻折可知：△ EBO=△ OBC，
△ △ EBO=△ OBC-△ OCB，
△ △ AEB=△ EBC+△ OCB=3△ OCB=75°，
△ △ OCB=25°，
△ △ BAC=90°-25°=65°，
故选：B．
利用三角形的外角的性质以及矩形的性质求出△ ACB即可解决问题．
本题考查矩形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 【答案】C
【解析】解：由题意可得，
200（1-x）2=162，
故选：C．
根据某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8. 【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DE△y轴于点E．
由对称可知CD=BC，
易证△DCE△△BCO（AAS），
△ CE=CO，DE=OB，
△ △ BAC=30°，OA=3
△ OCB=30°，
，
△ DE=OB=1，
，
，
△ 反比例函数图象在第二象限， △ k=-
， 故选：B ．
如图，过点D 作DE△y 轴于点E
．由对称可知CD=BC ，易证△DCE△△BCO （AAS
），所以CE=CO ，DE=OB ，由△ BAC=30°
，OA=3，所以，△ OCB=30°
，所以OB=
OC=1，于是DE=OB=1
，，
=2，反比例函数图象在第二象限，因此k=-
．
本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握特殊直角三角形的性质是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】解：△ O 为AC 的中点，点
A 的坐标为（1，0）
， △ AC=2，
△ △ABC 是等腰直角三角形，
△ 将△ABC 绕点A 顺时针旋转135°，使斜边AB 的对应边A′B′与x 轴重合， ， 过C′作C′D△x 轴于D ， △ C′D=A′D=
1
2
， ，
△ 点C 的对应点C'的坐标为（）， 故选：B ．
根据已知条件得到AC=2，根据勾股定理得到，由旋转的性质得到A′B′=AB=2
3
，过C′作C′D△x 轴于D ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查坐标与图形的变化，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 【答案】D
【解析】解：A 由图象开口可知：0a < 由对称轴可知：02b a
->， ∴0b >，
由抛物线与y 轴的交点可知：0c >，
0abc <，故正确；
B 由图象可知：1x =-，0y <，
0y a b c =-+<，
a c
b +<，故正确；
C 由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
2424ac b a
->，， 248ac b a -<，
284b a ac +>，故正确；
D 对称轴12b x a
=-<，， 20a b +<，故错误．
故选
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
二、 填空题
11. 【答案】y （x+3y ）（x -3y ）
【解析】解：原式=y （x 2-9y 2）=y （x+3y ）（x -3y ）．
∴∴A ∴∴B ∴0a <∴∴C 0a <∴D D
故答案是：y（x+3y）（x-3y）．
首先提公因式y，然后利用平方差公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12. 【答案】
1
6
【解析】【分析】
此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先利用列举法可得：等可能的结果有：517，571，157，175，751，715；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：△ 等可能的结果有：517，571，157，175，751，715；
△ 她第一次就拨通电话的概率是：1
6
．
故答案为．
13. 【答案】15
【解析】解：如图所示：
△ △ABC是等腰直角三角形，
△ △ BAC=90°，△ ACB=45°，
△ △ 1+△ BAC=30°+90°=120°，
△ a△b，
△ △ ACD=180°-120°=60°，
△ △ 2=△ ACD-△ ACB=60°-45°=15°；
故答案为：15
由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出△ ACD=60°，即可得出△ 2的度数．
本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出△ ACD的度数是解决问题的关键．
1
6
14. 【答案】2
【解析】解：△ △ABC 沿BC 边平移到△DEF 的位置，
△ AB△DE ，
△ △ABC△△HEC ， △ 21()2HEC ABC S EC S BC ==，
△ EC ：BC=1
△ BC=2，
，
△ BE=BC -EC=2
．
故答案为：2
．
移动的距离可以视为BE
或CF 的长度，根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为
2：1，所以EC ：BC=1，推出EC 的长，利用线段的差求BE 的长． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC 与阴影部分为相似三角形．
15. 【答案】 【解析】解：由题意可得：△ BDA=45°，
则AB=AD=120m ，
又△ △ CAD=30°，
△ 在Rt△ADC 中，
tan△ CDA=tan30°=CD AD =3
， 解得：m ），
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan△ CDA=tan30°=是解题关键． CD AD
16. 【答案】（-1+202023，2019
23
） 【解析】解：A 1（1，0），A 2（3，0），A 3（7，0），…，A n （2n -1，0）， B （1，2），B （3，4），B （7，8），…，B （2-1，2），
△ 直线A B 1n +与直线A B 的解析式为：
y=2x -21n ++2，y=-x+2+1，
△ P （-1+423n ⋅，1
23
n +）， △ P 2019（-1+202023，2019
23
）； 故答案为（-1+，）； 根据题意分别求出A （2-1，0），B （2-1，2），可知P 是直线A B 与直线A B 的交点，因此分别求出直线A B 与直线A B 的解析式，联立方程即可求出P 的坐标，即可求解；
本题考查一次函数图象及性质，探索规律；根据作图规律求出A （2-1，0），B （2-1，2）的坐标，将点P 的坐标转化直线交点的坐标是解题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】解：（1）原式=-
=
（2）原式=[1()()b a b a b a b --+-]×2
()()
a b a a b -- =1a -()
b a a b + =
()
a a a
b + 123n n n n 1n +n 1n +1n +2020232019
23
n n n n n 1n +n 1n +1n +n n 1n +1n +n 1n +n n n n n n
=
1a b
， △ a+b=23
， △ 原式=1÷=32． 【解析】
（1）根据零指数幂、特殊角的函数值、二次根式的运算将其化简，再计算即可； （2）根据分式的运算，将其化简，在将a+b 作为一个整体代入即可．
本题主要考查分式的化简求值、实数的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识的综合，解决第（2）题的关键是先根据分式的运算性质，将其化简，再将a+b 整体代入求值．
18. 【答案】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1为所求作的三角形．
A 1（4，4）；
（2）如图所示，△A 2B 2O 为所求作的三角形．
（3）将△A 2B 2C 2绕某点P 旋转可以得到△A 1B 1C 1，点P 的坐标为：（2，-3）．
【解析】
（1）分别将点A 、B 、C 向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接得到△A 1B 1C 1，然后写出A 1的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A 、
B 、
C 以点O 为旋转中心逆时针方向旋转90°后的对应点，然后顺次连接得到△A 2B 2O ；
（3）利用旋转的性质得出答案．
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19. 【答案】150人 39
【解析】解：（1）△ 喜欢篮球的有33人，占22%，
△ 抽样调查的总人数为33÷22%=150（人）；
2
3
△ a=150×26%=39（人）；
故答案为：150人，39；
（2）b=150-42-39-33-21=15（人）；
扇形统计图中排球一项的扇形圆心角度数为：360°×15
150
=36°；
（3）最喜欢乒乓球运动的人数为：1800×
42
150
=504（人）．
（1）用喜欢篮球的人数除以其所占的百分比即可求得调查的总人数，用调查的总人数乘以羽毛球所占的百分比即可求得a；
（2）用调查的总人数减去其他求得b值，求出排球所占百分比即可求得排球一项的扇形圆心角度数；
（3）用全校人数乘以喜欢乒乓球的人所占的百分比即可．
本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是正确的从统计图中读懂有关信息．
20. 【答案】解：（1）设第一批衬衣进货时价格是x元/件，则第二批衬衣进货时价格是（x+20）
元/件，
依题意，得：6000
20
x+
=（1+20%）×
4000
x
，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．
答：第一批衬衣进货时价格是80元/件．
（2）由（1）可知：第二批衬衣的进价为100元．设第二批衬衣每件售价是m元，
依题意，得：
100
100
m-
×100%≥
12080
80
-
×100%，
解得：m≥150．
答：第二批衬衣每件售价至少是150元．
【解析】
（1）设第一批衬衣进货时价格是x元/件，则第二批衬衣进货时价格是（x+20）元/件，根据数量=总价÷单价结合第二批进货量比第一批增加了20%，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）第二批衬衣每件售价是m元，根据第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润
率，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 【答案】等腰直角三角形
【解析】解：（1）△BEF 是等腰直角三角形，理由是：
如图1，△ △ COD=90°，
△ AC△BD ，
△ 矩形ABCD 是正方形，
△ △ ACB=45°，
△ EF△AC ，
△ △ FEB=△ ACB=45°，△ F=△ BOC=90°，
△ △BEF 是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）如图2，△ 四边形ABCD 是矩形，
△ AC=BD ，OB=
12
BD ，OC=AC ， △ OB=OC ，
△ △ OBC=△ OCB=△ FBE ，
△ △ FBE=△ BEP+△ EPB ，△ OCB=△ PCB+△ OCP ，
△ PE=PC ，
△ △ BEP=△ PCB ，
△ △ EPB=△ OCP ，
△ EF△AC ，
△ △ COP=△ BFE ，
△ △PEF△△CPO （AAS ），
△ OC=PF=OB ，
△ OB -PB=PF -PB ，
即OP=BF ；
（3）△ 四边形ABCD 是矩形， 12
△ AC=BD ，OD=
BD ，OC=AC ， △ OD=OC ，
△ △ COD=60°， △ △COD 是等边三角形，
△ OC=CD=3，
如图3，当△ PEF=90°时，
△ EF△AC ，
△ △ POC=△ OFE=60°，
△ △ BFE=120°，
△ OB=OC ，
△ △ OBC=△ OCB=△ FEB=30°，
△ △ FEP=90°，
△ △ PEC=60°，
△ PE=PC ，
△ △PEC 是等边三角形，
△ △ PCB=60°，
△ △ PCO=60°-30°=30°=△ FPE ，
△ △PFE△△COP （ASA ），
△ PF=OC=3，
Rt△PFE 中，EF=
32，
△ S PEF =12EF PE ⋅
=1322⨯
△ 当△PEF 成为直角三角形时的面积是9
8 （1）根据对角线互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD 是正方形，再由平行线的性质和正方形的性质得△ FEB=45°，从而得：△BEF 是等腰直角三角形；
（2）根据AAS 证明△PEF△△COP ，可得结论；
121
2
（3）根据△ COD=60°，得△COD 是等边三角形，则OC=CD=3，证明△PFE△△COP （ASA ），得PF=OC=3，根据直角三角形30度角的性质计算PE 和EF 的长，根据三角形的面积公式可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质和正方形的判定，等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定等知识．利用三角形全等证明PF=OC 是关键．
22. 【答案】解：（1）由25
x -2=0得x=5， △ B （5，0），令x=0，得y=-2，
△ C （0，-2），
由题意得：251202
a c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得252
a c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
△ 抛物线解析式为y=2212255
x x -
+-． （2）如图1，设M （t ，2212255t t -+-），N （t ，225
t -）， MN=-（）=25-t 2+2t S 四边形MANB =S AMN +S BMN =1
2
AG•MN+BG•MN =MN （AG+BG ） =MN•AB =×4（t +2t ） =245
()552
t --+ △405
-<， △ 当t=52时，S 四边形MANB 的最大值=5，此时点M （，32）． 2212255t t -+-225t -1212
12
1225
-252
（3）存在．由为y==228(3)55
x --+， △ 抛物线对称轴x=3．对称轴交x 轴于F ，
△ 以BD 为边，PQ 在BC 上方，如图2，D （3，45
-），F （3，0）， △ 四边形BDQP 是平行四边形，△ BD△PQ ，BD=PQ ，
过点P 作PH△y 轴于H ，
△ △ PHQ=△ BFD=90°，△ PQH=△ BCO=△ BDF ，
△ △PQH△△BDF ，
△ PH=BF=2，HQ=FD=
45， △ P （2，6
5
）． △ 以BD 为边，PQ 在BC 下方，如图3，仿照△ 可求得P （-2，425
-
）， △ 以BD 为平行四边形对角线，如图4，设BD 中点为S ，则S （4，），
△ BPDQ 是平行四边形，
△ BD 与PQ 互相平分，
△ SQ=SP ，
△ S 是PQ 中点，
设Q （0，m ），P （a ，2212255a a -
+-）， △042
a +=， △ a=8， △ P （8，） 综上所述，点P 坐标为（2，
）或（-2，）或（8，）．
2212255x x -+-25-425-65425-425
-
答案第21页，总21页
【解析】
（1）直线225
y x =-与x 轴、y 轴的交点为B （5，0），C （0，-2），代入抛物线解析式可求出a ，c 的值； （2）设点M （t ，22
12255t t -+
-），N （t ，225t -），用含t 的代数式表示四边形MANB 的面积，得到S 与t 的函数关系式，利用二次函数最大值求出t 的值；
（3）存在，分BD 为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、求直线与坐标轴的交点坐标、二次函数最大（小）值、平行四边形性质、存在性问题．。