福建省福州市高一上学期数学期中考试试卷
福建省福州市高一数学上学期期中试题
福建省福州市2015-2016学年高一数学上学期期中试题一．选择题（每小题5分,共60分．把答案填在答题卷上相应的表格中）1．已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0（ ） A ． {}2 B ． {}3 C ． {}432，，D ． {}43210，，，。
2．集合}),{(x y y x A ==，集合}5412),{(⎩⎨⎧=+=-=y x y x y x B 之间的关系是（ ）A ．B A ∈ B ．A B ∈C ．B A ⊆D ．A B ⊆ 3． 下列函数是偶函数的是（ ）. A ． x y = B ． 322-=x y C ． 21-=xy D ． ]1,0[,2∈=x x y4．下列等式成立的是（ ）. A ． log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值范围是（ ）.A ．（-2,6）B ．[-2,6]C ． {}6,2-D ．()()∞+-∞-.62,6．已知2211)(x x x f -+=，则)(x f 不满足．．．的关系是（ ） . A ．)()(x f x f =- B ．)()1(x f xf -= C ． )()1(x f x f = D ．)()1(x f xf -=-7．函数()x bf x a-=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>b C ．10<<a ,0>b D ．10<<a ,0<b8．已知函数84)(2--=kx x x f 在区间)20,5(上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．),160[∞+B ．]40,(-∞C ．),160[]40,(∞+-∞D ．),80[]20,(+∞-∞ 9．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<10． 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）.A ．（1,1．25）B ．（1．25,1．5）C ．（1．5,2）D ．不能确定 12.用C(A)表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,,⎩⎨⎧<-≥-=*B C A C A C B C B C A C B C A C B A 若{}2,1=A ,()(){}0222=+++=ax x ax x x B ，1=*B A 且，设实数a 的所有可能取值构成集合S ,则()=S C ( ).A.4B.3C.2D.1二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．若幂函数()x f y =的图象经过点（9,13）, 则()25f 的值是 ． 14． 函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是 ． 15.若1052==ba, 则=+ba 11 . 16． 当21x x ≠时，有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，则称函数)(x f 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是①．x y = ②．x y = ③．2x y = ④．x y 2log =三．简答题：（本大题共6小题，共74分）17． （本题12分）已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =<<， 全集U R =，求：（1）AB ；（2）()U C A B ．18．（本题12分）不用计算器求下列各式的值 （1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+ ；（2）7log 23log lg 25lg 473+++。
福建省福州市八县市2023-2024学年高一上学期期中联考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷（答案在最后）11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,4,5A B ==，则U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4,5 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,52.以下选项正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若a b >，则22ac bc >C.若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+3.设()11,,1,2,32f x x αα⎛⎫⎧⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，则“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知)1fx -=-+()f x 的值域是（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0xf x >的解集是（）A.()3,3- B.()()3,03,-⋃+∞ C.()(),33,-∞-+∞ D.()(),30,3-∞-⋃6.设函数()()210f x mx x m =-->，命题“存在()12,2x f x ≤≤>”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A.54m ≥B.504m <≤C.04m <≤D.504m <<7.已知函数()212x f x x +=+，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于y 轴对称；②函数()f x 与()3f x +的值域相同；③()f x 在[]1,2上有最大值23；④()f x 的图像恒在直线1y =的下方．A.1B.2C.3D.48.若至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，则实数a 的取值范围是（）A.37,34⎛⎫-⎪⎝⎭B.133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3713,44⎛⎫-⎪⎝⎭ D.()3,3-二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合{}03x x ∈≤<N 的真子集有7个B.已知命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R ，则2000:,10p x x x ⌝∃∉-+<R C.函数y =与函数y =表示同一个函数D.若函数()2f x 的定义域为[]0,2，则函数()31f x +的定义域为[]1,510.已知,a b 为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若2a b +=的最大值是2．C.若2a b ab +=则ab 的最小值是8．D.若121a b+=则2a b +的最大值是8．11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()(),f x g x 在(],0-∞单调递增，则以下结论正确的是（）A.()()()()12ff f f < B.()()()()12f g f g -<C.()()()()12g f g f > D.()()()()12g g g g >12.已知函数()[)()[)0,212,2,2x f x f x x ∞∈=⎨-∈+⎪⎩，则以下结论正确的是（）A.当[)()2,4,x f x ∈=B .[)()()1212,0,,x x f x f x ∀∈+∞-<C.若()24f x <在[),t +∞上恒成立，则t 的最小值为6D.若关于x 的方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数根则(a ∈--．第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式102x x3-≥-的解集为______．14.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，若()3f a =-，则实数a 的值为______．15.若函数()()239g x f x x =-是奇函数，且()13f -=，则()1f =______．16.已知命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”，若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则实数m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设U =R ，已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当4m =时，求()U A B ð；（2）若B ≠∅，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．18.已知函数()()2,2,24xf x x x =∈-+．（1）求()()1ff 的值；（2）用定义证明函数()f x 在()2,2-上为增函数；（3）若()()1210f t f t +-->，求实数t 的取值范围．19.均值不等式)0,02a ba b +≥>>可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应()20,0112a b a b a b+≥≥≥>>+．（12a b+≥.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中()0,02a ba b +≥>>指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为,a b ，斜边4c =，求直角三角形周长l 的取值范围．20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50150x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当0150x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21.已知函数()()()2236f x ax a x a =-++∈R （1）若()0f x >的解集是{|2x x <或}3x >，求实数a 的值；（2）当1a =时，若22x -≤≤时函数()()532f x m x m ≤-+++有解，求m 的取值范围．22.设函数()(),f x F x 的定义域分别为,I D ，且ID ．若对于任意x I ∈，都有()()F x f x =，则称()F x 为()f x 在D 上的一个延伸函数．给定函数()()22103f x x x x =+-<≤．（1）若()F x 是()f x 在给定[]3,3-上的延伸函数，且()F x 为奇函数，求()F x 的解析式；（2）设()g x 为()f x 在()0,∞+上的任意一个延伸函数，且()()g x h x x=是()0,∞+上的单调函数．①证明：当(]0,3x ∈时，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭．②判断()h x 在(]0,3的单调性（直接给出结论即可）；并证明：0,0m n ∀>>都有()()()g m n g m g n +>+．2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,4,5A B ==，则U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4,5 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【答案】A 【解析】【分析】应用集合的补集和并集的运算即可.【详解】依题得U {1,2,3}B =ð，则{}U 1,2,3A B =⋃ð.故选：A2.以下选项正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若a b >，则22ac bc >C.若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若a b >，如1,1a b ==-，则11a b>，所以A 选项错误.B 选项，若a b >，0c =，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，则()()()()()()()0a c b b c a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==>------，所以a bc a c b>--，所以C 选项正确.D 选项，若0a b c >>>，则0a b ->，()()()()()0a b c b a c a b c a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，所以a a cb b c+>+，所以D 选项错误.故选：C3.设()11,,1,2,32f x x αα⎛⎫⎧⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，则“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数()f x 的图象经过点()1,1-，则()()11f x α=-=，因为11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以()f x 在(),0∞-上递减，而()f x 在(),0∞-上递减，函数()f x 的图象不一定经过点()1,1-，如：()1f x x -=.所以“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的充分不必要条件.故选：A .4.已知)1fx -=-+()f x 的值域是（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】求出函数()f x 的表达式即可得出值域.【详解】由题意，在)1fx -=-+1t-=，即()21x t=+,∴()()2211f t t t t t=-+++=--即()2f x x x=--，在()2f x x x=--中，10-<，开口向下，对称轴()112212bxa-=-=-=-⨯-，∴()211112224f x f⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x的值域是1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故选：A.5.定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，且()30f=，则不等式()0xf x>的解集是（）A.()3,3- B.()()3,03,-⋃+∞ C.()(),33,-∞-+∞D.()(),30,3-∞-⋃【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性的定义知，()f x在[)0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，且()30f=，分0x>与0x<两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为对任意的[)()1212,0,,x x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，所以()f x在[)0,∞+上单调递减，又()f x为定义在R上的偶函数，所以()f x在(),0∞-上单调递增，且()()330f f-==，当0x>时，由()0xf x>得()()03f x f>=，故03x<<，当0x<时，由()0xf x>得()()03f x f<=-，故3x<-，综上：不等式()0xf x>的解集是()(),30,3-∞-⋃.故选：D.6.设函数()()210f x mx x m=-->，命题“存在()12,2x f x≤≤>”是假命题，则实数m的取值范围是（）A.54m ≥B.504m <≤C.04m <≤D.504m <<【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得m 的取值范围.【详解】由于“存在()12,2x f x ≤≤>”是假命题，所以“任意12x ≤≤，()2f x ≤”是真命题，即任意12x ≤≤，212mx x --≤，22331x m x x x+≤=+，令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，23y t t =+的开口向上，对称轴为16t =-，所以当12t =，即2x =时，231x x +取得最小值为315424+=，所以504m <≤.故选：B7.已知函数()212x f x x +=+，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于y 轴对称；②函数()f x 与()3f x +的值域相同；③()f x 在[]1,2上有最大值23；④()f x 的图像恒在直线1y =的下方．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D 【解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性定义判断出函数为偶函数，①正确；对于②，由两函数图象关系得到值域相同；对于③，变形后，结合对勾函数性质得到最值；对于④，先得到0x ≥时，()212x f x x +=+，换元后结合对勾函数性质得到函数值域，再由函数的奇偶性得到值域为10,4⎛+⎤⎥ ⎝⎦，故④正确.【详解】对于①，()212x f x x +=+的定义域为R ，且()()()2112x x f x f x x -++-===+-+，故()212x f x x +=+为偶函数，故函数图象关于y 轴对称，①正确；对于②，()3f x +是由()f x 向左平移3个单位得到的，故值域不改变，②正确；对于④，当0x ≥时，()212x f x x +=+，令11x t +=≥，()222113322y t t t tt t t -+-===++-，由对勾函数性质可知，()3g t t t=+在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min g t ==，故104y +<≤，由①可知，()212x f x x +=+为偶函数，故()f x 在R 上的值域为310,4⎛⎤⎥ ⎝⎦，由于114+<，故满足()f x 的图像恒在直线1y =的下方，④正确；对于③，因为[]1,2x ∈，则[]12,3x t +=∈，()3g t t t=+在[]2,3上单调递增，故()()()[]2,3 3.5,4g t g g ∈=⎡⎤⎣⎦，故132y t t=+-的值域为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在[]1,2上有最大值为23，③正确.故选：D8.若至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，则实数a 的取值范围是（）A.37,34⎛⎫-⎪⎝⎭B.133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3713,44⎛⎫-⎪⎝⎭D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】化简不等式2332x a x x -->+，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【详解】依题意，至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，即至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2233x x x a --+>-成立，画出()2230y x x x =--+<以及3y x a =-的图象如下图所示，其中2230x x --+>.当3y x a =-与()2230y x x x =--+<相切时，由2323y x a y x x =-⎧⎨=--+⎩消去y 并化简得2530x x a +--=，37254120,4a a ∆=++==-.当3y x a =-+与()2230y x x x =--+<相切时，由2323y x a y x x =-+⎧⎨=--+⎩消去y 并化简得230x x a -+-=①，由14120a ∆=-+=解得134a =，代入①得2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，解得12x =，不符合题意.当3y x a =-+过()0,3时，3a =.结合图象可知a 的取值范围是37,34⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合{}03x x ∈≤<N 的真子集有7个B.已知命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R ，则2000:,10p x x x ⌝∃∉-+<R C.函数24y x =-与函数22y x x =+-表示同一个函数D.若函数()2f x 的定义域为[]0,2，则函数()31f x +的定义域为[]1,5【答案】BCD 【解析】【分析】由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A 项；由命题的否定可判断B 项；求出两个函数的定义域可判断C 项；根据抽象函数定义域的求法可判断D 项.【详解】对于A 项，因为集合{}{}030,1,2x x ∈≤<=N ，所以该集合有3217-=个真子集，所以A 项正确；对于B 项，命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R 的否定2000:,10p x x x ⌝∃∈-+<R ，所以B 项错误；对于C 项，由240x -≥得2x ≥或2x ≤-，所以函数y =的定义域为(][),22,-∞-+∞U ，由2020x x +≥⎧⎨-≥⎩得2x ≥，所以函数y =的定义域为[)2,+∞，由于函数y =与函数y =定义域不同，所以不是同一函数，所以C 项错误；对于D 项，由于函数()2f x 的定义域为[]0,2，所以024x ≤≤，令0314x ≤+≤得113x -≤≤，所以函数()31f x +的定义域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以D 项错误.故选：BCD.10.已知,a b 为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若2a b +=的最大值是2．C.若2a b ab +=则ab 的最小值是8．D.若121a b+=则2a b +的最大值是8．【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A≥=无实数解，所以①的等式不成立，所以A 选项错误.B 选项，2222a b⎛+≤= ⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C 选项，220a b ab ab +=≥-≥，8ab ≥≥，当且仅当24a b ==时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，()124224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭48≥+=，当且仅当4,24b ab a a b===时等号成立，所以D 选项错误.故选：BC11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()(),f x g x 在(],0-∞单调递增，则以下结论正确的是（）A.()()()()12ff f f < B.()()()()12f g f g -<C.()()()()12g f g f > D.()()()()12g g g g >【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】A 选项，()f x 是奇函数，且在(],0-∞单调递增，则()f x 在R 上单调递增，所以()()12f f <，则()()()()12ff f f <，所以A 选项正确.B 选项，()g x 是偶函数，且在(],0-∞单调递增，则()g x 在[)0,∞+上单调递减，所以()()()112g g g -=>，所以()()()()12f g f g ->，所以B 选项错误.C 选项，()()()0012f f f =<<，则()()()()12g f g f >，所以C 选项正确.D 选项，()()12g g >，但符号无法确定，所以()()()()1,2g g g g 大小关系不确定，所以D 选项错误.故选：AC12.已知函数()[)()[)0,212,2,2x f x f x x ∞∈=⎨-∈+⎪⎩，则以下结论正确的是（）A.当[)()2,4,x f x ∈=B.[)()()1212,0,,x x f x f x ∀∈+∞-<C.若()4f x <在[),t +∞上恒成立，则t 的最小值为6D.若关于x 的方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数根则(a ∈--．【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，作出[)2,22,N x n n n ∈+∈时，()f x =的图像，数形结合逐个判断即可.【详解】设[)2,4x ∈时，则[)20,2x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)2,4x ∈时，()f x =当[)4,6x ∈时，则[)22,4x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)4,6x ∈时，()f x =当[)6,8x ∈时，则[)24,6x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)6,8x ∈时，()f x =所以由此可知[)2,22,N x n n n ∈+∈时，()f x =；作出函数()f x 的部分图象，如下图所示：则A 正确，由图象可知，()f x ⎡∈⎣，所以1x ∀，[)20,x ∈+∞，()()12f x f x -<，故B 正确；在同一坐标系中作出函数()f x 和函数4y =的图象，如下图所示：由图象可知，当[)4,∈+∞x 时，()24f x <恒成立，所以t 的最小值为4，故C 错误；令()t f x =，则2t ⎡∈⎣，则方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦等价于()()22210at t a a +++=∈R ，即()()1210t at ++=，所以1t a =-，或12t =-（舍去），在同一坐标系中作出函数()f x ，函数24y =和函数28y =的图象，如下图所示：由图象可知，当122,84a ⎫-∈⎪⎪⎣⎭时，即4222a -≤<-关于x 的方程()()()()22120a f x f a a x ++⎦+⎤=⎡⎣∈R 有三个不同的实根，故D 错误.故选：AB第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式102x x 3-≥-的解集为______．【答案】1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可得到答案.【详解】不等式102x x 3-≥-，等价于()()312020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得123≤<x ，所以不等式的解集为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，若()3f a =-，则实数a 的值为______．【答案】5-或3【解析】【分析】根据()3f a =-列方程，从而求得a 的值.【详解】当1a ≤-时，由23a +=-解得5a =-；当1a >-时，由2123a a a >-⎧⎨-+=-⎩解得3a =.所以a 的值为5-或3.故答案为：5-或315.若函数()()239g x f x x =-是奇函数，且()13f -=，则()1f =______．【答案】1-【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求【详解】函数()()239g x f x x =-是奇函数，则()()g x g x -=-，当13x =-时，()12131g f ⎛⎫=--= ⎝-⎪⎭，则213(1)1g f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(1)1f =-.故答案为：1-16.已知命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”，若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则实数m 的取值范围是______．【答案】0m >【解析】【分析】先求得p 为真命题时a 的取值范围，再根据必要不充分条件求得m 的取值范围.【详解】若命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”为真命题，0a =时，1210,2x x +==-，符合题意；当a<0时，440a ∆=->，且1212210,0x x x x a a+=->=<，则此时方程2210ax x ++=有一个正根和一个负根，符合题意；当0a >时，由440a ∆=-=，解得1a =，此时方程为()222110,1x x x x ++=+==-符合题意；由440a ∆=->解得01a <<，此时1212210,0x x x x a a+=-<=>，则此时方程2210ax x ++=有两个负根，符合题意.综上所述，p 为真命题时，a 的取值范围是(],1-∞.若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则11,0m m +>>.故答案为：0m >【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设U =R ，已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当4m =时，求()U A B ð；（2）若B ≠∅，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{2x x <-或}7x >；（2）[]2,3.【解析】【分析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果；（2）由题意可得12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解不等式组即可求出结果.【小问1详解】当4m =时，{}57B x x =≤≤，且{}25A x x =-≤≤，则{}27A B x x ⋃=-≤≤，所以(){2U A B x x ⋃=<-ð或}7x >；【小问2详解】因为B ≠∅，且B A ⊆，所以需满足12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.已知函数()()2,2,24xf x x x =∈-+．（1）求()()1ff 的值；（2）用定义证明函数()f x 在()2,2-上为增函数；（3）若()()1210f t f t +-->，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()51101ff =（2）证明见解析（3）1(,1)2-【解析】【分析】（1））先求(1)f 的值，再求((1))f f 的值即可；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）根据题意，由（2）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】()115f =，155101f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()51101f f ∴=【小问2详解】证明：任取12,x x ，且1222x x -<<<,()()()()()()121212122222121244444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++2212121240,40,0,40x x x x x x +>+>-<-< ()()()()12120,f x f x f x f x ∴-<∴<()f x \在()2,2-上为增函数.【小问3详解】若()()1210f t f t +-->，则()()121f t f t +>-由（2）知，()f x 在()2,2-上为增函数22112t t ∴-<-<+<，112t ∴-<<，则实数t 的取值范围是1(,1)2-.19.均值不等式)0,02a ba b +≥>>可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应()20,0112a b a b a b+≥≥≥>>+．（12a b+≥.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中()0,02a ba b +≥>>指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为,a b ，斜边4c =，求直角三角形周长l 的取值范围．【答案】（1）证明见解析，三元形式见解析（2）(8,4⎤⎦【解析】【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式.（2）根据基本不等式求得a b +的范围，进而求得三角形周长的取值范围.【小问1详解】2a b +≥即证22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()()22222222222022444a b a b a b a b a b a b ab +-+-+++-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，22222a b a b ++⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭2a b+≥当且仅当a b =时等号成立.()0,0,03a b c a b c ++≥>>>.【小问2详解】22216a b c +== ，由（1()0,0,2a b a b a b +≥>>∴+≤当且仅当a b ==取“=”，又4a b c +>=，8a b c ++>，所以三角形周长的取值范围(8,4⎤+⎦.20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50150x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当0150x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【答案】（1）()50,050175,501502x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩（2）75辆/千米，2812辆/小时．【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组求得,a b ，进而求得()v x .（2）根据函数的单调性以及二次函数的性质求得()f x 的最大值以及此时对应的x 的值.【小问1详解】由题意：当050x ≤≤时，()50v x =；当50150x ≤≤时，设()v x ax b=+再由已知得15005050a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1275a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故函数()v x 的表达式为()50,050175,501502x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩．【小问2详解】依题并由（1）可得()250,050175,501502x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，当050x ≤<时，()f x 为增函数，()()502500f x f ∴<<，当50150x ≤≤时，()2max 755625()75281222f x f ===≈，即当75x =时，()f x 在区间[]0,150上取得最大值约为2812，即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．21.已知函数()()()2236f x ax a x a =-++∈R （1）若()0f x >的解集是{|2x x <或}3x >，求实数a 的值；（2）当1a =时，若22x -≤≤时函数()()532f x m x m ≤-+++有解，求m 的取值范围．【答案】（1）1（2）4m ≥【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得a 的值.（2）化简不等式()()532f x m x m ≤-+++，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得m 的取值范围.【小问1详解】依题意，()()()2236f x ax a x a =-++∈R 的解集是{|2x x <或}3x >，则0a >，且122,3x x ==是方程()22360ax a x -++=的两个根，所以02323623a a a a ⎧⎪>⎪+⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得1a =．【小问2详解】1a =时，()()532f x m x m ≤-+++在22x -≤≤有解，即2320x mx m ++-≤在[]22-,有解，法一：因为232y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-①22m -≤-即4,2m x ≥=-时，函数取得最小值4232740,4m m m m -+-=-≤∴≥.②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时23204m m -+-≤，解得4m ≥或4m ≤-.又44,44m m -<<∴-≤<.③当22m -≥即4m ≤-，当2x =时取得最小值，此时423270m m ++-=≤不成立，即m 无解.综上，4m ≥．法二：()2320x m x ++-≤在[]22-,有解，当2x =时()2320x m x ++-≤不成立，当2x ≠时()2320x m x ++-≤，即232x m x +≥-在[]22-,有解，2min 32x m x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令(]2,0,4t x t =-∈，223477442x t t t x t t+-+==+-≥-，当且仅当7t t =即t =取“=”，2min342x x ⎛⎫+∴=- ⎪-⎝⎭，4m ∴≥.22.设函数()(),f x F x 的定义域分别为,I D ，且I D ．若对于任意x I ∈，都有()()F x f x =，则称()F x 为()f x 在D 上的一个延伸函数．给定函数()()22103f x x x x =+-<≤．（1）若()F x 是()f x 在给定[]3,3-上的延伸函数，且()F x 为奇函数，求()F x 的解析式；（2）设()g x 为()f x 在()0,∞+上的任意一个延伸函数，且()()g x h x x =是()0,∞+上的单调函数．①证明：当(]0,3x ∈时，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．②判断()h x 在(]0,3的单调性（直接给出结论即可）；并证明：0,0m n ∀>>都有()()()g m n g m g n +>+．【答案】（1）()2221,030,021,30x x x F x x x x x ⎧+-<≤⎪==⎨⎪-++-≤<⎩（2）①证明见解析；②单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得()F x 的解析式；（2）①通过差比较法证得不等式成立；②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立.【小问1详解】依题可知()00F =，当(]0,3x ∈时()()221F x f x x x ==+-．[)3,0x ∀∈-则(]0,3x -∈，()221F x x x ∴-=--，()F x Q 为奇函数，()()221F x F x x x ∴=--=-++，()2221,030,021,30x x x F x x x x x ⎧+-<≤⎪∴==⎨⎪-++-≤<⎩.【小问2详解】①证明： 当(]0,3x ∈时()()121g x h x x x x==-+，()()()121212121212112221222x x h x h x x x x x h x x x x ⎛⎫+-++ ⎪++⎛⎫⎝⎭∴-=+-- ⎪+⎝⎭()()()()221212121212121212121212121142202222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++--+=-=-==≥++++，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭.② 当(]0,3x ∈时()()121g x h x x x x==-+且单调递增，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()()0,00m n m n m h m n h m >>∴+>>∴+> ，即()()g m n g m m n m +>+，即()()()mg m n m n g m +>+，同理可得()()()ng m n m n g n +>+，将上述两个不等式相加可得()()()g m n g m g n +>+．∴原不等式成立.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
2020-2021学年福建省福州三中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷一、选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≥02．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．83．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）若f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣B．C．0D．15．（5分）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（m+n）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（mn）＝f（m）f（n）D．f（m）+f（n）＝f（m+n）6．（5分）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a7．（5分）设a＞0，b＞0，不等式恒成立，则实数k的最大值等于（）A．0B．8C．9D．108．（5分）已知函数，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A．f（x）＝|x|与B．f（x）＝x+1与C．f（x）＝与g（x）＝D．与10．（5分）如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝a t，则下列说法正确的是（）A．蓝藻面积每个月的增长率为200%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3 11．（5分）已知ab＞0且，则下列不等式一定成立的有（）A．a＜b B．C．D．2a+a＜2b+b 12．（5分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f（x），下列命题中真命题的有（）A．对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1B．对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0C．若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＜b}D．存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等腰三角形三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f（f（4））＝．x12345 f（x）54312 14．（5分）＝．15．（5分）已知函数满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）方程x2+2x﹣1＝0的解可视为函数y＝x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4＝0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i ＝1，2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，．（1）求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B∩C＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝且f（f（1））＝0．（1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象．（2）若方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，求实数b的取值范围．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t∈R，不等式f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≥0【分析】特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即“∀x∈R，x2+x+1＞0”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是全称命题：“∀x∈R，x2+x+1＞0”．故选：B．【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可，属基础题．2．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．8【分析】根据真子集的定义，写出所有的真子集即可．【解答】解：根据题意，A＝{0，1，2}，集合A的真子集有{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，∅共7个．故选：C．【点评】本题考查集合的真子集．3．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）若f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣B．C．0D．1【分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】解：f（2）＝f（2×）＝＝．故选：A．【点评】本题考查函数的基本知识的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．（5分）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（m+n）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（mn）＝f（m）f（n）D．f（m）+f（n）＝f（m+n）【分析】由有理指数幂的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：∵f（x）＝2x，∴f（mn）＝2mn，f（m）f（n）＝2m•2n＝2m+n，f（m+n）＝2m+n，f（m）+f（n）＝2m+2n，则f（m+n）＝f（m）f（n）．故选：A．【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．6．（5分）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用幂函数的性质比较a，c的大小，利用指数函数的性质比较a，b的大小即可．【解答】解：设a＝，b＝，c＝＝3，由于y＝x在（0，+∞）上为增函数，则a＜c，由于y＝2x为增函数，则b＜a，则b＜a＜c，故选：B．【点评】本题是基础题，考查指数函数与对数函数的单调性的应用，考查基本知识的掌握情况．7．（5分）设a＞0，b＞0，不等式恒成立，则实数k的最大值等于（）A．0B．8C．9D．10【分析】由恒成立，得，然后利用基本不等式求出的最小值，再得到k的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴由恒成立，得，∴只需，∵，当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号，∴k≤9，∴k的最大值为9．故选：C．【点评】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．8．（5分）已知函数，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：由可得f（﹣x）＝|﹣x|﹣＝|x|﹣＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣单调递增，由f（2x﹣1）＜f（x）可得|2x﹣1|＜|x|，解得，．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A．f（x）＝|x|与B．f（x）＝x+1与C．f（x）＝与g（x）＝D．与【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．【解答】解：对于选项A：函数g（x）＝＝|x|，两函数的定义域都、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项B：函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，对于选项C：函数f（x）＝，两函数的定义域都、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项D：函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，函数g（x）的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故选：AC．【点评】本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．10．（5分）如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝a t，则下列说法正确的是（）A．蓝藻面积每个月的增长率为200%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3【分析】由函数y＝a t图象经过（1，3）可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．【解答】解：由图可知，函数y＝a t图象经过（1，3），即a1＝3，则a＝3，∴y＝3t；∴3t+1﹣3t＝3t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的3倍，则每个月的增长率为200%，A对、B错；当t＝4时，y＝34＝81＞80，C对；若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则3＝2，3＝4，3＝8，∴（3）2＝3•3，则t1+t3＝2t2，D对；故选：ACD．【点评】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．11．（5分）已知ab＞0且，则下列不等式一定成立的有（）A．a＜b B．C．D．2a+a＜2b+b【分析】根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：∵ab＞0，，∴﹣＝＞0，∴b＞a，即a＜b，故A正确；对于B：∵ab＞0，∴a＜b＜0时，a2＞b2，0＜a＜b时，a2＜b2∴﹣＝，无法比较大小，故B错误；对于C：∵ab＞0，a＜b，∴＞0，＞0+＞2＝2，故C正确；对于D：∵a＜b，∴a﹣b＜0，2a﹣2b＜0，∴2a+a﹣2b﹣b＝（2a﹣2b）+（a﹣b）＜0，故D正确：故选：ACD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．12．（5分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f（x），下列命题中真命题的有（）A．对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1B．对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0C．若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＜b}D．存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等腰三角形【分析】根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈∁R Q时，对应命题是否成立即可．【解答】解：当x∈Q，则f（x）＝1，f（1）＝1，则[f（x）]＝1，当x∈∁R Q，则f（x）＝0，f（0）＝1，则[f（x）]＝1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]＝1，故A正确，当x∈Q，则﹣x∈Q，则f（﹣x）＝1，f（x）＝1，此时f（﹣x）＝f（x），当x∈∁R Q，则﹣x∈∁R Q，则f（﹣x）＝0，f（x）＝0，此时f（﹣x）＝f（x），即恒有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，故B错误，∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}＝{x|f（x）＞b}＝R，故C正确，当x1∈Q，x2∈Q，x3∈Q，此时f（x1）+f（x2）＝f（x3）＝1；ABC够不成三角形，故D 不正确，故选：AC．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义，正确理解狄利克雷函数的分段函数意义是解决本题的关键．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f（f（4））＝5．x12345 f（x）54312【分析】推导出f（4）＝1，从而f（f（4））＝f（1），由此能求出结果．【解答】解：由题意得：f（4）＝1，f（f（4））＝f（1）＝5．故答案为：5．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）＝．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：原式＝﹣﹣（3﹣）＝﹣3＝，故答案为：．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．15．（5分）已知函数满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是[，）．【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得函数f（x）在R上为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有成立，则函数f（x）在R上为减函数，而函数，则，解可得≤a＜，即a的取值范围为[，），故答案为：[，）．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意分析函数f（x）的单调性，属于基础题．16．（5分）方程x2+2x﹣1＝0的解可视为函数y＝x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4＝0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i ＝1，2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于x3+a＝，分别作出y＝x3+a与y＝的图象：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程x4+ax﹣4＝0，等价为方程x3+a＝，原方程的实根是曲线y＝x3+a与曲线y＝的交点的横坐标；曲线y＝x3+a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i＝1，2，k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键．注意合理地进行等价转化．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，．（1）求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B∩C＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，求出A∪B，∁U A∩B．（2）由B∩C＝B，得B⊆C，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣8x＜0}＝{x|0＜x＜8}，＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜8}，∁U A＝{x|x≤0或x≥8}，∴∁U A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}．（2）∵集合C＝{x|a﹣3＜x＜2a，a∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，B∩C＝B，∴B⊆C，∴，解得1≤a≤2，故a的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查并集、交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝且f（f（1））＝0．（1）求a的值，并在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象．（2）若方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，求实数b的取值范围．【分析】（1）通过函数的解析式，求出函数值，然后推出a，即可得到函数的解析式．（2）【解答】解：（1）f[f（1）]＝f（0）＝1﹣a＝0，则a＝1；所以．（2）的图象如图，方程f（x）﹣b＝0有三个实数解，根据图象可知b的取值范围是（﹣1，0]．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t∈R，不等式f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得b，检验可得所求值；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；（3）由函数的奇偶性和单调性，可得kt2＜1﹣2kt对一切t∈R恒成立，讨论k＝0，k＜0且判别式小于0，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，即，解得b＝1，经检验b＝1时，是R上奇函数；（2），则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则＝，因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（3）因为f（x）是R上奇函数，所以f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0等价于f（kt2）＜﹣f（2kt﹣1），即f（kt2）＜f（1﹣2kt），因为f（x）为R上增函数，则kt2＜1﹣2kt对一切t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0恒成立，①k＝0显然成立，②，解得﹣1＜k＜0．综上所述，k的取值范围是（﹣1，0]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．【分析】（1）根据函数f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a的解析式，可将f（x）＞0化为（2x﹣a）（x﹣1）＞0，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2⇒a＞1，利用韦达定理可得+＝＝＝，再结合均值不等式即可．【解答】解：（1）由f（x）＞0得（2x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（，+∞），当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≠1}，当a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（2）方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，等价于2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2，∴⇒a＞1，则+＝＝＝[（a﹣1）+]+2＝2+≥6当且仅当a＝5时取等号，故+的最小值为6．【点评】本题考查了二次函数的λ性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于中档题．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【分析】（1）根据题意结合“利润＝销售收入﹣成本”，即可列出函数关系式；（2）利用二次函数性质及基本不等式，求出分段函数各段函数上的最大值即可求解．【解答】解：（1）当0＜x＜90时，；当x≥90时，，∴．（2）①当0＜x＜90时，≤1600，②当x≥90时，＞1600，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【点评】本题是一道关于分段函数的实际应用题，关键是熟练掌握二次函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p2﹣3p+3＝1，求解p，可得解析式；（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在[a，b]上的值域为[a，b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，∴得p2﹣3p+3＝1，解得：p＝1或p＝2当p＝1时，f（x）＝，不满足f（2）＜f（4）．当p＝2时，f（x）＝，满足f（2）＜f（4）．∴故得p＝2，函数f（x）的解析式为f（x）＝；（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），即g（x）＝，令t＝，∵x∈[1，9]，∴t∈[1，3]，记k（x）＝t2+mt，其对称在t＝，①当≤1，即m≥﹣2时，则k（x）min═k（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1；②当13时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min═k（）＝＝0，解得：m＝0，不满足，舍去；③当时，即m≤﹣6时，则k（x）min═k（3）＝3m+9＝0，解得：m＝﹣3，不满足，舍去；综上所述，存在m＝﹣1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3）＝n﹣在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]则h（x）＝两式相减：可得：＝（a+3）﹣（b+3）．∴③将③代入②得，n＝a+＝a+1令，∵a＜b，∴0≤t，得：n＝t2﹣t﹣2＝（t﹣）2﹣故得实数n的取值范围（，﹣2]．【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。
福建省福州市高一上学期期中数学试卷
福建省福州市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）已知全集U=R，A={x|x≤2}，B={x|6≤x＜8}，则（CUA）∪B=________．2. （1分） (2019高一上·平坝期中) 函数的定义域是________．3. （1分）设函数f（x）=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是________4. （1分） (2016高一上·清河期中) 幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是________5. （1分） (2016高一上·徐州期中) 设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9 ，则a、b、c由小到大的顺序是________．6. （1分） (2016高一上·南充期中) 对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函数y=[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值为________7. （1分） (2016高一上·玉溪期中) 若y=f（x）是定义在R上的函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤2时，f（x）=4x+ ，则f（5）=________8. （1分）已知实数a，b满足a3﹣b3=4，a2+ab+b2+a﹣b=4，则a﹣b= ________．9. （1分） (2017高一上·广东月考) 已知集合，且，则实数的取值范围是________.10. （1分） (2018高一上·玉溪期末) 设，则 ________．11. （1分）若存在实数 x 使成立，则实数 a 的取值范围是________.12. （1分）定义运算则函数f（x）=1*2x的最大值为________13. （1分） (2016高一上·金华期末) 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________．14. （1分）按顺序写出下列函数的奇偶性________①y=②y=③y= +④y= ．二、解答题 (共5题；共45分)15. （5分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2 ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．16. （5分）求函数y=2lg +lg（x﹣1）的定义域和值域．17. （10分）已知函数f(x)=ax−1(x≥0)的图象经过点(2， )，其中a＞0且a≠1.（1）求a的值；（2）求函数y=f(x)(x≥0)的值域．18. （10分） (2016高一上·青海期中) 经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产 100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？19. （15分） (2016高一上·宁波期中) 已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣4x （1）求f（﹣2）的值；（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；（3）设函数f（x）在[t﹣1，t+1]（t＞1）上的最大值为g（t），求g（t）的最小值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共5题；共45分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
2022-2023学年福建省福州市高一上学期11月期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省福州市高一上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知集合*{N |12}M x x =∈-≤≤，则下列关系中，正确的是（）.A ．0M ∈B ．M∅∈C ．{}0,1M⊆D ．{}1,2M⊆【答案】D【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.【详解】因为集合*{N |12}{1,2}M x x =∈-≤≤=，对于A ，因为0{1,2}M ∉=，故选项A 错误；对于B ，∅是一个集合，且M ∅⊆，故选项B 错误；对于C ，因为集合{1,2}M =，所以集合{0,1}与集合M 不存在包含关系，故选项C 错误；对于D ，因为集合{1,2}M =，任何集合都是它本身的子集，所以{1,2}M ⊆，故选项D 正确，故选：D.2．下列命题的否定是真命题的是（）A ．2N,1N m m ∃∈+∈B ．菱形都是平行四边形C ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax --=没有实数根D ．平面四边形ABCD ，其内角和等于360°【答案】C【分析】对A ，特称命题的否定为全称命题，由0m =，计算即可判断真假；对B ，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C ，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D ，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．【详解】对于A ，N m ∃∈，21N m +∈，其否定为：N m ∀∈，21N m +∉，由0m =时，011N +=∈，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A 不正确；对于B ，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B 不正确；对于C ，R a ∃∈，一元二次方程210x ax --=没有实根，其否定为：R a ∀∈，一元二次方程210x ax --=有实根，由240=∆+>a ，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C 正确；对于D ，平面四边形ABCD ，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D 不正确；故选：C.3．下列函数表示同一个函数的是（）.A ．()2x f x x=与()0g x x =B ．()11f x x x =-⋅+与()()()11g x x x =-+C ．32y x =-与2y x x =-D ．()3f x x =-与()()23g x x =-【答案】D【分析】根据相同函数的概念判定即可.【详解】对于A 项，()21,01,0x x x f x x x x >⎧===⎨-<⎩，显然与()01g x x ==对应关系不同，但定义域相同均为0x ≠，故A 错误；对于B 项，由题意得1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，即()f x 的定义域为1x ≥，()()110x x -+≥，即()g x 的定义域为1x ≥和1x ≤-，两函数定义域不同，故B 错误；对于C 项，30,222x y x x x x x ≤=-=-⋅-≠⋅-，即两函数对应关系不同，故C 错误；对于D 项，()()()233g x x x f x =-=-=，两函数定义域与对应关系均相同，故D 正确.故选：D4．下列命题正确的是（）.A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b c >>>，则c ba c a b>--C ．若22ac bc >，则a b >D ．若0,0,2a b b a ab >>+=，则a b +最小值为42【答案】C【分析】根据题意，利用作差比较法，可判定A 、B 不正确；根据不等式的性质，可判定C 正确；根据基本不等式，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，由22()()a b a b a b -=-+，其中a b +的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，因为0a b c >>>，可得0,0,()0a c a b a c b ->->-<，所以()0()()c b a c b a c a b a c a b --=<----，即c b a c a b<--，所以B 不正确；对于C 中，由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，所以C 正确；对于D 中，由0,0,2a b b a ab >>+=，可得211a b+=，则21223()()23232b a b aa b a b a b a b a b ++≥+⋅++==++=，当且仅当2b aa b=时，即2a b =时等号成立，所以D 不正确.故选：C.5．已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()1f a f a =+，则()2f a -=（）.A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4【答案】B【分析】根据函数的解析式，作图，由数形结合化简方程，结合分段函数，求得函数值.【详解】由函数()1,02,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，可作图如下：由方程()()1f a f a =+，则111a a -=+-，即1a a -=，解得12a =.()()122122f a f f ⎛⎫-=-⨯=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.6．已知不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤，若不等式20cx bx a ++≥解集为B ，则R B ð=（）A ．(]112∞∞⎡⎫--⋃-+⎪⎢⎣⎭，，B ．()112∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，，C ．112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】由不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤可得32b a c a=⎧⎨=⎩，从而求出11,2B ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为不等式20ax bx c -+≥解集为{}12A x x =≤≤，所以1231220ba b a cc a a a ⎧=+⎪⎪=⎧⎪=⨯⇒⎨⎨=⎩⎪<⎪⎪⎩，所以20cx bx a ++≥可化为2230ax ax a ++≥，则22310x x ++≤，所以()()2110x x ++≤，解得：112x -≤≤-，所以11,2B ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，R B ð=()112∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，，故选：B.7．命题:P 2,2()(R)2,2ax x f x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，命题Q ：24()1(0)3g x ax x a =++≥在[]12-，单调增函数，则命题P 是命题Q （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出命题P ，Q 为真命题的条件，然后根据必要条件，充分条件的判断即可求解.【详解】因为命题:P 2,2()(R)2,2ax x f x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，则有0222220a a a a >⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-<⎪⎩，解得203a <≤，又因为命题Q ：24()1(0)3g x ax x a =++≥在[]12-，单调增函数，则有213a -≤-，解得23a ≤，若命题P 成立，则命题Q 一定成立，反之则不一定成立，所以P 是Q 的充分不必要条件，故选：A.8．定义在R 上()f x 且满足()()=f x f x -，其中()20f =，在(),0∞-为增函数，则（1）不等式()10f x x +≤解集为[)[)1,3,0∞+⋃-（2）不等式()10f x x+≤解集为(](]0,1,3∞⋃--（3）()()221f x f x -≥+解集为13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（4）()()221f x f x -≥+解集为(])1,3,3∞∞⎡--⋃+⎢⎣，其中成立的是（）.A ．（1）与（3）B ．（1）与（4）C ．（2）与（3）D ．（2）与（4）【答案】B【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知定义在R 上()f x 且满足()()=f x f x -，其中()20f =，在(),0∞-为增函数，则函数为偶函数，在()0,∞+上为减函数，函数(1)y f x =+的图象可由()y f x =的图象向左平移1个单位得到，作出()y f x =以即(1)y f x =+得大致图象如图，则不等式()10f x x +≤可化为()010x f x <⎧⎨+≥⎩或()010x f x >⎧⎨+≤⎩，由图象可知[30)[1),,x -∈+∞ ，故（1）正确，（2）错误；由于()y f x =为偶函数，故()()221f x f x -≥+可化为|2||21|x x -≤+，即23830x x +-≥，解得(])1,3,3x ∞∞⎡∈--⋃+⎢⎣，故（3）错误，（4）正确，故选：B【点睛】方法点睛：解答本题是要结合函数的性质，即单调性、奇偶性，明确函数图象的大致形状，作出图象，数形结合，即可求解问题.二、多选题9．已知函数(1)21f x x x +=+-，则（）A ．()39f =B ．()()2230f x x x x =-≥C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x 的图象与x 轴有1个交点【答案】ACD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，然后逐一判断即可.【详解】令11t x =+≥，得1x t =-，则()21x t =-，得()()2123fx f t t t +==-，故()223f x x x =-，[)1,x ∞∈+，()39f =，A 正确，B 错误.()223923248f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 11f x f ==-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 正确，D 正确.故选：ACD10．已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由已知函数为幂函数可得2221m m --=，再由已知可得此函数在(0,)+∞上递增，则290m m +->，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB ，对于CD ，作差比较即可.【详解】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD11．已知关于0m >，0n >且2m n +=．下列正确的有（）A ．14m n+最小值为9B ．11n m -+最小值为-1C ．若m n >，则1111m n >--D ．2m n +≤【答案】CD【分析】A 选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；B 选项，变形得到()111311n m m m -=++-++，再利用基本不等式进行计算；C 选项，先由基本不等式得到212m n mn +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，再用作差法计算；D 选项，平方后利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，因为0m >，0n >，所以141412529222222222m n n m n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22n m m n=，即42,33n m ==时，等号成立，A 错误；B 选项，因为0m >，2m n +=，所以()()()111121321311111n m m m m m m m -=--=++-≥⋅+-=-++++，当且仅当111m m =++，即0m =时，等号成立，但由于0m >，故等号取不到，所以11n m -+的最小值不为-1，B 错误；C 选项，()()()()1111111111n m n m m n m n m n --+--==------，因为m n >，2m n +=，所以由基本不等式得212m n mn +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()()110111111n m n m n m m n m n mn m n mn ----===>-----++-，C 正确；D 选项，由基本不等式得()2224m nm n mn m n +=++≤++=，所以2m n +≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，D 正确.故选：CD12．已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1f x >，()12f =，则（）A ．()01f =B ．()f x 在[]4,4-上的最大值是4C ．()f x 图像关于()1,0-中心对称D ．不等式()()()23232f x f x f x -<-的解集为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用赋值法可判定A 项；特殊值检验B 项；通过判定()()2f x f x -+-的值即可检验C 项正误；判定函数的单调性去“f ”，解不等式可得出D 项正误.【详解】令0x y ==，则()()()()0000101f f f f +=+-⇒=，即A 正确；令y x =-，则()()()11f x x f x f x -=+--=，又()12f =，∴()()22113f f =-=，()()()2211210f f f -+-=⇒-+=，则()()()()()()221210f x f x f x f f x f -+-=+--+-=-+=，即C 正确；由()()()23422154f f f =⇒=-=>，即B 项错误；由条件可得()()()()()()()2211211212111f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-⇒-=--，当210x x ->时，()()()21211f x x f x f x ->⇒>，即()y f x =在定义域上单调递增，()()()()()()()()223232332231f x f x f x f x f x f x f x f x x -<-⇔<+-=++-()5f x =，即25350,3x x x ⎛⎫<⇒∈ ⎪⎝⎭，即D 正确；故选：ACD三、填空题13．已知函数()f x 的定义域为[]1,1-则()2123f x y x x +=--的定义域为【答案】[)2,1--【分析】抽象函数定义域求解，1x +需整体在[]1,1-范围内，从而解出x 的范围，同时注意需保证2230x x -->，最后求出交集即可得解.【详解】由已知，()f x 的定义域为[]1,1-，所以对于()2123f x y x x +=--x 需满足2111230x x x -≤+≤⎧⎨-->⎩,解得[)2,1x ∈--故答案为：[)2,1--.14．已知命题“存在2,230x R ax ax ∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围.【答案】[]0,3【分析】先写出特称命题的否定，即x ∀∈R ，2230ax ax -+≥为真命题，对a 分为0a =与0a ≠两种情况，列出所要满足的条件，求出实数a 的取值范围.【详解】存在2,230x R ax ax ∈-+<是假命题，则x ∀∈R ，2230ax ax -+≥为真命题，当0a =时，03≥，满足题意，当0a ≠时，要满足：0Δ0a >⎧⎨≤⎩，解得：(]0,3x ∈，综上：实数a 的取值范围是：[]0,3x ∈故答案为：[]0,3四、双空题15．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2202m ，则这所公寓的地板面积至多为平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是（填写“变好了”或者“变坏了”）【答案】200变好了【分析】设这所公寓的地板面积为x 2m ，则这所公寓窗户面积为（220x -）2m ，然后根据题意列不等式可求出x 的范围，设窗户面积与地板面积分别为a 2m ，b 2m （0b a >>），设同时增加相同的面积为y 2m （0y >），然后作差判断.【详解】设这所公寓的地板面积为x 2m ，则这所公寓窗户面积为（220x -）2m ，所以22010%xx-≥，解得200x ≤，所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，设窗户面积与地板面积分别为a 2m ，b 2m （0b a >>），设同时增加相同的面积为y 2m （0y >），则()0()()a y a ab by ab ay y b a b y b b b y b b y ++----==>+++，所以a y ab y b+>+，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，故答案为：200，变好了五、填空题16．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“优美区间”.若函数()()2233()R,0a a x g x a a a x+-=∈≠有“优美区间”[,]m n ，当a 变化时，则n m -的最大值为.【答案】2【分析】根据题目新定义信息可知，函数()g x 在[,]m n 单调递增，即可得关于,m n 的方程，在利用韦达定理将n m -表示成关于a 的表达式，再利用二次函数求得最值.【详解】易知函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()[,],0m n ⊆-∞或()[,]0,m n ⊆+∞；由题意可知函数()2223333()aa x a g x a xa a x+-+==-在[,]m n 单调递增，所以可得()()g m m g n n⎧=⎪⎨=⎪⎩，故,m n 是方程233a x a a x +-=，即()222330a x a a x -++=的两个同号的相异的实数根，又因为230mn a =>，所以,m n 同号，只需()2223430a a a ∆=+-⨯>，解得323a -+>或323a <--,又若函数()g x 有“优美区间”[,]m n ，则()2222331414314n m m n mn a a a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当1a =时，n m -的最大值为2.故答案为：2六、解答题17．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|122B x a x a =-<<+(1)若1a =，求A B ⋂，A B ⋃；(2)若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围.【答案】(1)A ∩B ＝{}03x x <≤；A B ＝{}14x x -≤<(2)12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集和并集运算求解；（2）由A B A ⋃=，得到B A ⊆，分B =∅和B ≠∅求解.【详解】（1）因为集合{}{}2|230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，当1a =时，集合{}|04B x x =<<，所以{}03A B x x ⋂=<≤，{}14A B x x ⋃=-≤<.（2）A B A =Q U ，B A ∴⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况；①当B =∅时，则122a a -≥+，解得：13a ≤-，此时满足B A ⊆；②当B ≠∅时，则122a a -<+，要使B A ⊆成立，则有1311223a a a ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩，解得13212a a a ⎧>-⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎩，所以1132a -<≤，综上可知，12a ≤，所以实数a 的取值范围为12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.18．设3123x A x x ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，(){}2|660B x x a x a =+--≤，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)当8a =-时，试判断命题p 是命题q 的什么条件？(2)求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的必要不充分条件.【答案】(1)命题p 是命题q 的必要不充分条件(2){a |a <-3}【分析】（1）根据分式不等式，一元二次不等式和集合关系结合充分条件必要条件的定义即得；（2）分类讨论参数结合条件即可求解.【详解】（1）3123x A x x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭{x |x <-5或x >3}，当a =-8时，(){}2|660B x x a x a =+--≤={x |x 2-14x +48≤0}={x |6≤x ≤8}，∵命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，则B 真包含于A ，∴命题p 是命题q 的必要不充分条件．（2）∵A ={x |x <-5或x >3}，(){}()(){}2|660|60B x x a x a x x x a =+--≤=-⋅+≤命题p 是命题q 的必要不充分条件，则B 真包含于A①当-a >6，即a <-6时，此时B ＝{x |6≤x ≤-a }，命题成立；②当-a ＝6，即a ＝-6时，此时B ＝{6}，命题成立；③当-a <6，即a >-6时，此时B ＝{-a ≤x ≤6}，故有-a ＞3，解得-6<a <-3.综上所述，a 的取值范围是{a |a <-3}.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，如图所示，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，(1)请画出y 轴右侧的图像，并写出函数()()R f x x ∈的解析式和单调减区间；(2)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最大值．【答案】(1)图见解析，()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，单调递减区间为[0,1]和(,1]-∞-(2)()max114,212,2a a g x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出()f x 的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式；（2）当[1,2]x ∈时，得到()22(1)1g x x a x =-++，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出()f x 的图象，当0x ≤时，设函数()2f x ax bx c =++，由图象可得()()()001112420f c f b c f a b c ⎧==⎪-=-+=-⎨⎪-=-+=⎩，解得1,2a b ==，所以()22f x x x =+，当0x >时，则0x -<，因为函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x x x =-=-，所以函数的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，可得()f x 的单调递减区间为[0,1]和(,1]-∞-，（2）解：当[1,2]x ∈时，()()2212(1)1g x f x ax x a x =-+=-++，可得其对称轴的方程为1x a =+且开口向上，①当312a +≤时，即12a ≤时，()()max 214g x g a ==-；②当312a +>时，即12a >时，()()max 12g x g a ==-，综上可得，()max 114,212,2a a g x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩20．已知函数2()1ax b f x x -=-在()1,1x ∈-为奇函数，且1423f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求a b ，值；(2)判断函数()f x 在()1,1-的单调性，并用定义证明；(3)解关于t 的不等式(1)()02t f f t ++<【答案】(1)2,0a b ==(2)函数()f x 在()1,1-为单调递减，证明见解析(3)203⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据()00f =可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数a 的值；（2）由（1）由此可得出函数()f x 的解析式，可判断()f x 是奇函数，判断出函数()f x 在()1,1-上是减函数，任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）由(1)()02t f f t ++<得()(1)2t f f t +<-，根据函数()f x 的单调性与定义域可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】（1）()f x 在()1,1x ∈-为奇函数，()001b f -∴==-，解得：0b =，又114212314a b f -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭-，解得：2a =，故2,0a b ==，经检验满足题设.（2）当2,0a b ==时，()221x f x x =-，()()222211x x f x f x x x --==-=---∴当2,0a b ==时函数2()1ax b f x x -=-在()1,1x ∈-为奇函数，由()00f =，1423f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断函数()f x 在()1,1-为单调递减，证明：()1221,11x x x x ∀∈->，且，()()()22121212121222221212222()()1111x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=----，()()()()211212221221()()11x x x x f x f x x x -+-=--，1211x x -<<< ，()()222121110,10,110x x x x x x ∴->+>-->，21()()f x f x ∴<，∴函数()f x 在()1,1-为单调递减，（3）则()(1)()0(1)22t t f f t f f t ++<⇒+<-，()f x 在()1,1x ∈-为奇函数，()(1)2t f f t ∴+<-，又函数()f x 在()1,1-为单调递减，11140221111,032123t t t t t t t t ⎧⎧-<+<⎪⎪-<<⎪⎪∴-<<⇒-<<∴-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪+>->-⎩⎩∴t 的不等式的解集为203⎛⎫- ⎪⎝⎭，21．近年来，网龙已成为全球在线及移动互联网教育行业的主要参与者，教育版图至今已覆盖192个国家.网龙协助政府打造面向全球的“中国·福建VR 产业基地”，同时，网龙还将以“智能教育”为产业依托，在福州滨海新城打造国际未来教育之都——网龙教育小镇.网龙公司研发一种新产品，生产的固定成本为15000元，每生产一台产品须额外增加投入2000元，鉴于市场等多因素，根据初步测算，当每月产量为x 台时，总收入（单位：元）满足函数：230002,0300N ()700000,300,N x x x x F x x x **⎧-<≤∈=⎨>∈⎩，，设其利润为y ，（利润=总收入-总成本）(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)如何安排当月产量公司获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)22100015000,0300,N 2000685000,300,Nx x x x y x x x **⎧-+-<≤∈=⎨-+>∈⎩(2)安排当月产量300台时，利润最大为元.【分析】（1）根据利润=总收入-总成本，分0300,N x x *<≤∈和300,N x x *>∈两种情况求解即可；（2）分0300,N x x *<≤∈和300,N x x *>∈两种情况求出y 的最大值，然后比较可得答案.【详解】（1）①当0300x <≤，22300022000150002100015000y x x x x x =---=-+-，②当300x >，7000002000150002000685000y x x =--=-+，综上，22100015000,0300,N 2000685000,300,N x x x x y x x x **⎧-+-<≤∈=⎨-+>∈⎩.（2）①当0300x <≤，()2221000150002250110000y x x x =-+-=--+，∴当250x =台时利润最大为元.②当300x >，2000685000y x =-+在()300,x ∈+∞单调递减，()30085000y f <= 元>85000，答：安排当月产量300台时，利润最在为元.22．定义：设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数m ，M ，对任意的实数x D ∈，有()f x M ≤，则称函数()f x 为有上界函数，M 是()f x 的一个上界；若()f x m ≥，则称函数()f x 为有下界函数，m 是()f x 的一个下界．(1)写出一个定义在R 上且M =1，1m =-的函数解析式；(2)若函数2()2f x x ax =+-在(0，1)上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；(3)某同学在研究函数()0m y x m x =+>单调性时发现该函数在0,]m （与[,)m +∞具有单调性，①请直接写出函数()0m y x m x=+>在0,]m （与[,)m +∞的单调性；②若函数22()(0)x a g x a x+=>定义域为[]4,16，m 是函数()g x 的下界，请利用①的结论，求m 的最大值()m a .【答案】(1)1010x y x ≥⎧=⎨-<⎩（答案不唯一，如sin ,R y x x =∈）(2)(]3-∞，(3)①(0m ⎤⎦，为减函数，[,)m +∞为增函数；②()4,08222,8128816,128a a m a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩【分析】（1）根据函数()f x 具有有界性的定义即可得出答案；（2）依题得对任意()0,1x ∈222x ax +-≤恒成立，分离参数可得4a x x ≤-，令()4h x x x=-，根据()h x 的单调性求得()()13h x h >=,即可得出答案.（3）①由对勾函数的性质即可得出答案；②根据对勾函数的单调性可知2()0a g x x a x =+>（）在(02a ⎤⎦，单调递减，[2,)a ∞+单调递增，分别讨论216a ≥、4216a <<、24a ≤求()g x 的最小值即为m 的最大值.【详解】（1）1010x y x ≥⎧=⎨-<⎩，的值域为{}1,1-，y 的一个上界为1，y 的一个下界为1-.答案不唯一，如sin ,R y x x =∈，sin y x =的值域为{}1,1-，y 的一个上界为1，y 的一个下界为1-.（2）依题得对任意()0,1x ∈，222x ax +-≤恒成立，4a x x ∴≤-，()0,1x ∈，令()4h x x x=-在()0,1x ∈为单调递减，()()13h x h ∴>=，3a ∴≤，∴实数a 的取值范围为(]3-∞，.（3）①由对勾函数的性质知，()0m y x m x =+>在(0m ⎤⎦，为减函数，[,)m +∞为增函数②222()0x a a g x x a x x +==+>（），由①知，()g x 在(02a ⎤⎦，为减函数，在[2,)a ∞+为增函数，当216a ≥即128a ≥时，由①知[]4,16x ∈为减函数，()()16168a g x g ∴≥=+，m 是()g x 的一个下界，()168a m a ∴=+，当24a ≤即08a <≤，由①知[]4,16x ∈为增函数，()()442a g x g ∴≥=+，m 是()g x 的一个下界，()42a m a ∴=+当4216a <<即8128a <<，2()22a g x x a x =+≥，当且仅当[]24,16x a =∈时等号成立，m 是()g x 的一个下界，()22m a a ∴=.综上所述：()408222,8128816,128a a m a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，,。
2022-2023学年福建省福州市三校高一上学期期中联考数学试卷带讲解
B.当 时， C.教室内持续有效杀灭病毒时间为 小时
D.喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒
ABD
【分析】
A.根据在药物释放过程中， 与 成正比,设 ,由过 判断；B.根据药物释放完毕后， 与 的函数关系式为： （ 为常数），由过 判断；C.由 时， ，当 时， ，分别计算出持续时间相加；D.由 时， 计算判断.
所以 ，解得 ，
若命题 为真命题， 的取值范围为 或 ，
若这两个命题有且仅有一个为真命题，
若 真 假， ，解得 ，
若 假 真， ，解得 或 ，
则实数 的取值范围是 .19.已知奇函数 ．
（1）求实数 的值；
（2）作出 的图象，并求出函数 在 上的最值；
（3）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围．
【详解】当 时， ，此时 ；
当 时， .
①a=1时， 为常函数，此时在R上满足函数 有最小值为 ，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
需 解得 ，
综上，满足题意的实数a的取值范围为： ，
故选：C．
8.函数 的图象关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数，则下列说法正确的是( )
（2）由 可得 ，当 时， ，当 时， ，由此能求出实数 的取值范围．
【小问1详解】
解： 时，集合 ， ，
．
【小问2详解】
解： ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ， 实数 的取值范围是 ．
18.命题 关于 的方程 有两个相异负根；命题 .
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围.
（1）
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析
福州2021-2022学年第一学期期中考数学试卷（答案在最后）一､选择题（共8小题）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ðA.{}3 B.{}2,5 C.{}1,4,6 D.{}2,3,5【答案】B 【解析】【详解】{}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B ⋂=（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为（）A.2,10x Q x x ∃∈++>B.2,10x Q x x ∀∈++≤C.2,10x Q x x ∃∈++≤D.2,10x Q x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为“2,10x Q x x ∃∈++≤”，故选：C.3.下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A.1()f x x=-B.()3xf x = C.3()log f x x= D.()f x =【答案】AD 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，且是增函数，符合题意；对B ：()3x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对C ：3()log f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：13()f x x==是奇函数，且是增函数，符合题意；故选：AD.4.设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（）A.e 1x -- B.e 1x -+ C.e 1x --- D.1x e -+【答案】D 【解析】【分析】首先设0x <，得到0x ->，再代入()1x f x e -=-，利用函数的奇偶性求解即可.【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+.故选：D5.某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（）A.141.41- B.151.41- C. 1.4log 51- D.1.4log 41-【答案】A 【解析】【分析】设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，从而即可求解.【详解】解：设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，即()4281 1.420x +==，所以141 1.4x +=，解得141.41x =-，所以投入科研资金的年均增长率约为141.41-，故选：A.6.函数2()21x xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x 是偶函数，可排除B 、C ；再由()20f >可排除D.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为R ，()221x x f x x =-+2=21xxx x⋅-+，则()f x -22=2121x x xxx x x x---⋅+⋅-=++，所以()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，故可排除B 和C ；当2x =时，()605f x =>，故可排除D.故选：A7.冈珀茨模型()tb y k a=⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近视满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当0=t 时，表示2020年初的种群数量），若()m m N*∈年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为（）(ln 20.7)≈A.9 B.7 C.8D.6【答案】D 【解析】【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解．【详解】由已知0.12501.4 1.40012me e k ek e -⋅≤⋅，显然00k >，0.1251.4 1.412me ee -≤，两边取自然对数有：0.1251.4 1.4ln 20.7m e -≤-≈，0.12512m e -≤，所以0.125ln 20.7m -≤-≈-， 5.6m ≥．m 的最小值为6．故选：D ．8.设34c =，4log 3b =，5log 4a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.b a c >>C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】对于a ，b 的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a ，c 或b ，c 的比较通过作差法来进行比较【详解】444444log 33l 8164og og 0l b c ---=>=，故b c>；555444log 43lo 2561250g log a c --=->=，故a c >；4ln 3log 3ln 4b ==，5ln 4log 4ln 5a ==令()()ln ln 1xf x x =+，（0x >），则()()()()()()()()()()2221ln 1ln ln 1ln 11ln 1ln 1ln 11ln 11ln 1x xx x x x x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫++++- ⎪++-⎝⎭+'===+++++因为0x >，所以111x +>，1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()ln 10x +>，故()0f x '>恒成立，()()ln ln 1xf x x =+在0x >上单调递增，所以()()43f f >，故a b>综上：a b c >>故选：C二､多选题（共4小题）9.下列结论正确的是（）A.lg(25)lg 2lg 5+=⋅B.1= C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】BC 【解析】【分析】AD 选项应用对数运算法则进行计算，B 选项利用根式化简法则进行求解；C 选项，利用指数运算法则进行计算【详解】lg(25)lg 2lg 5+=⋅错误，正确的应该是lg(25)lg 2lg 5⨯=+，故A错误；，B 选项正确；1131338223==27332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 选项正确；4221log 6=log 6=log 2D 选项错误.故选：BC10.下列四个命题中，真命题是（）A.22a b ac bc >⇒> B.22||a b a b >⇒> C.11a b a b>⇒< D.22||a b a b>⇒>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质分别对选项进行验证，即可得到答案.【详解】对于A 选项，当0c =时，22=ac bc ，故A 错误；已知||0b ≥，即||0a b >≥，左右两边同时平方即可得到22a b >，故B 正确.；当,a b 同号时，11a b a b>⇒<，当,a b 异号时，11a b a b>⇒>，故C 错误；22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，故D 正确.故选：BD.11.下列命题中真命题的是（）A.“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B.若(1)f x +是偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =-轴对称C.若(2)()f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(1,0)-中心对称D.[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥【答案】AD 【解析】【分析】解不等式21x >，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断A ；根据偶函数的图像的特征及函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断B ；由(2)()f x f x +=--，可得()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，再根据函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断C ；根据方程21ax =有解，求得a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，由21x >，得1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若(1)f x +是偶函数，则(1)f x +的图像关于y 轴对称，()f x 的图像是由函数(1)f x +向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于直线1x =轴对称，故B 错误；对于C ，若(2)()f x f x +=--，所以()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，令1m x =+，则()()f m f m =--，所以函数()f m 关于原点对称，又()f x 是由函数()f m 向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于点(1,0)中心对称，故C 错误；对于D ，[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解，当0x =时，01=不成立，舍去，当0x ≠时，即[)(]1,00,1x ∈- ，则211a x=≥，所以1a ≥，综上所述1a ≥，所以[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥，故D 正确.故选：AD.12.已知函数()2xf x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，则（）A.122x x +=B.122x x > C.122x x e e e+> D.122x x <【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得112x e x =-，22ln 2x x =-，根据反函数的性质可得122x x +=，再利用基本不等式判断C ，利用零点存在性定理得到1102x <<、21x <<函数的单调性判断B 、D ；【详解】解：函数()2x f x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，可得112x e x =-，22ln 2x x =-，即有1221ln 4()x e x x x +=-+，由x y e =的反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，可得122x x =-，即122x x +=，故A 正确；由基本不等式得，122x x e e e += ，而12x x ≠，∴等号不成立，故122x x e e e +>，故C 正确；因为()010f =-<，11221112 2.2520222f e ⎛⎫=+->+-= ⎪⎝⎭，所以1102x <<所以()12111220232x x x x x =----<=，所以122x x <，故B 错误；又()1ln1121g =+-=-，11221122 2.252022g e ==+->+-=，所以21x <<则()1222222ln x x x x x x -==，因为ln y x x =在(上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故D 正确；故选：ACD三､填空题（共4小题）13.函数()f x =___________，值域为___________.【答案】①.(,3]-∞②.[0,)+∞【解析】【分析】由真数大于0和被开方数大于等于0，可得不等式组，解不等式组，即可得定义域，根据对数函数的值域可知()f x 的值域.【详解】由题意得：()40,4,3lg 40,3,x x x x x -><⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨-≥≤⎩⎩，∴函数的定义域为(],3-∞,(,3]x ∈-∞ ,lg(4)0x ∴-≥,0≥∴,即()f x =的值域为[0,)+∞.故答案为：(],3-∞；[0,)+∞14.已知函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，则=a ___________.【答案】-1【解析】【分析】根据奇偶函数的性质可得()()f x f x =-，列出方程，进而解出a 的值.【详解】因为函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x =-，又()22x x f x a --=⋅-，所以22x x a -⋅-=22x x a -⋅-，即(1)(22)0x x a -+-=，所以1a =-.故答案为：-115.已知a R ∈，函数2()log f x a x =.若2t ∀≥，使得(2)()1f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.【答案】1【解析】【分析】化简(2)()1f t f t +-≤，得到212log a t t≤+在2t ∀≥上恒成立，故求出212log t t+在2t ≥的最小值1，让1a ≤即可【详解】(2)()1f t f t +-≤，即2222log (2)log log 1t a t a t a t++-=≤，因为2t ≥，所以22222log log 1log 10t t t +⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以212log a t t≤+恒成立，其中2222log log 1t y t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在2t ≥时单调递减，故22222log log 12t t ++≤≤，所以2112log t t≥+，所以1a ≤，故实数a 的最大值是1故答案为：116.已知函数()f x 满足21,0()lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】3m >或13m <<【解析】【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象，由题意，原问题等价于22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，令22()42h t t mt m =-++，则()()22224420412(1)1420m m m h m m ⎧∆=--+>⎪⎪-->⎨⎪=-++>⎪⎩解得3m >或13m <<，则实数m 的取值范围为3m >或13m <<，故答案为：3m >或13m <<.四､解答题（共6小题）17.已知全集U =R ，集合{}{}2log 21,3327xA x x aB x =-≥=<<.（1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆；②A B ⋂≠∅；③()U A B A ⋃=ð中任选一个条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5|32x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先解指数不等式、对数不等式及绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件，得到不等式组，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：由3327x <<，即13333x <<，解得13x <<，即{}{}|3327|13xB x x x =<<=<<，由21l g 2o x a -≥，即22log log 22x a -≥，所以22x a -≥，即22x a -≥或22x a -≤-，解得12a x ≥+或12a x ≤-，即{}2log 21A x x a =-≥{|12a x x =≥+或1}2a x ≤-当3a =时5{|2A x x =≥或1}2x ≤所以5|32⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭A B x x 【小问2详解】解：由（1）可知{|12a A x x =≥+或1}2ax ≤-，{}|13B x x =<<；若选①，B A ⊆，则112a +≤或132-≥a，解得0a ≤或8a ≥，即(][),08,a ∈-∞⋃+∞；若选②，若A B =∅ ，则132112a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得4a =，所以4a ≠时A B ⋂≠∅；若选③，因为{}|13B x x =<<，所以{|1U B x x =≤ð或3}x ≥，因为()U A B A ⋃=ð，所以()U B A ⊆ð，所以132112aa ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得4a =；18.设函数2()2(2)1f x mx m x =+++.（1）若()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）0m ≥（2）当2m ≤-时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；当20m -<<时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据m 是否为0分类讨论，不等于0时根据二次函数的性质列式求解即可；（2）根据m 与0的大小分类讨论求解即可.【小问1详解】当实数0m =，()21f x x =+，()f x 在[1,)+∞单调递增，符合题意.当实数0m ≠，根据二次函数的性质，函数()f x 的对称轴为24m m+-，要使得()f x 在[1,)+∞单调递增，则2140m m m +⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得0m >综上述，0m ≥.【小问2详解】当实数0m =，()21f x x =+，()0f x ≤时，12x ≤-.当实数0m >，()()2()2(2)11210f x mx m x mx x =+++=++≤如果112m -<-，即02m <<时，()0f x ≤得112x m -≤≤-，如果112m -≥-，2m >时，()0f x ≤得112x m-≤≤-.当实数0m <，此时1102m ->>-，()()()1210f x mx x =++≤，()()()1210f x mx x =--+≥解得12x ≤-或1x m ≥-综上述，()0f x ≤的解集为：当0m <时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎣⎦.19.已知函数2()4mx n f x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且1(1)5f =.（1）求m ，n 的值，判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使()2(1)10f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.【答案】（1）1,0==m n ，增函数，证明见解析（2）11a -≤<【解析】【分析】（1）因为函数()f x 为定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，又1(1)5f =，由此可得m ，n 的值，再由单调性定义判断函数的单调性；（2）()2(1)10f a f a -+-<，即()2(1)1f a f a -<-，根据定义域及单调性列出不等式组，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为函数2()4mx nf x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，所以()00f =，即04n=，解得0n =，又因1(1)55m f ==，所以1m =，所以1,0==m n ，2()4xf x x =+，经检验符合题意，在[2,2]-上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1222x x -< ，所以120x x -<，1240x x ->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[2,2]-单调递增；【小问2详解】解：因为()2(1)10f a f a -+-<，所以()2(1)1f a f a -<--，即()2(1)1f a f a -<-，因为函数()f x 在[2,2]-单调递增，所以2211212212a a a a ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得11a -≤<.20.已知函数44()32log ,()log f x x h x x =-=.（1）当[1,16]x ∈时，求函数()[()1]()g x f x h x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,16]x ∈，不等式()2()f x f m h x ⋅>⋅恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,2]（2）3m <-【解析】【分析】（1）设4log t x =，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；（2）设4log t x =换元，分类0=t 时不等式成立，在(0,2]t ∈时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．【小问1详解】设4log t x =，由[1,16]x ∈得[0,2]t ∈，22()(321)242(1)2g x t t t t t =-+=-+=--+，所以1t =时，max ()2g x =，2t =或0时，min ()0g x =，所以所求值域为[0,2]；【小问2详解】设4log t x =，又[1,16]x ∈，所以[0,2]t ∈，不等式()2()f xf m h x ⋅>⋅为2444(32log )(32log log x m x -->，即(34)(3)t t mt -->，0=t ，不等式显然成立，(]0,2t ∈时，不等式化为(34)(3)9415t t m t t t--<=+-，9415153t t +-≥-=-,当且仅当32t =时，等号成立，所以3m <-．综上，3m <-．21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时，地铁为满载状态，载客量为400人；当210t ≤<时，载量会减少，减少的人数与()210t -成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()123000150p t Q t-=-（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368人.（2）当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.【解析】【分析】（1）当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，由()2272p =可求出k 的值，结合已知条件可得出函数()p t 的函数解析式，进而可求得()6p 的值；（2）分210t ≤<、1020t ≤≤两种情况讨论，求出Q 关于t 的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得Q 的最大值及其对应的t 值，即可得出结论.【小问1详解】解：当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，则()240064272p k =-=，解得2k =.由题意可得()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩.所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为()2640024368p =-⨯=（人）.【小问2详解】解：当210t ≤<时，()21230004802460060015015033024p t t t Q t t t t ---⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭33090≤-（元），当且仅当5t =时，等号成立；当1020t ≤≤时，()1230001800150150p t Q tt-=-=-，此时函数1800150Q t =-单调递减，则18001503010Q ≤-=，当且仅当10t =时，等号成立.综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大.22.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数.①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x x f x f x +≥+成立.已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数.（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，（i ）求实数a 的值；（ii ）讨论关于x 的方程()21()()xg h x m m R --=∈解的个数情况.【答案】（1）是，理由见解析；（2）（i ）1；（ii ）详见解析.【解析】【分析】（1）根据G 函数的定义求解；（2）（i ）根据函数()h x 是G 函数，由[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，求得1a ≥再由②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，由()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立，求得1a ≤求解；（ii ）将方程()21()()xg h x m m R --=∈，转化为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，转化为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：函数()g x 是为G 函数，理由如下：①对任意的[0,1]x ∈，总有2()0g x x =≥；②当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()()()()222212122121212122x x x x x x g g x x x x x g x ==+++⋅=++≥+，所以函数()g x 是为G 函数，【小问2详解】（i ）因为函数()h x 是G 函数，则①[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，即12xa ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，对[0,1]x ∈成立，所以1a ≥②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，即()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立因为11120,0,1x x x x ≥≥+≤，所以12211,21100x x ≤≤--≤≤，因为12,x x 不同时为1，所以()()120211211xx <---≤，当120x x ==时，等号成立，所以1a ≤，综上：1a =，（ii ）方程()21()()xg h x m m R --=∈，即为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，则方程为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，当14m <-或0m >时，方程无解；当14m=-时，方程一个解；当104m-<≤时，方程有两个解.。
福建省福州市高一数学上学期期中试题(有答案)
福建省福州市高一数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1．下列关系正确．．的是（ ） A ．{}10,1∈B ．{}10,1∉C ．{}10,1⊆D ．{}{}10,1∈2．下列四组函数中，相等的两个函数是（ ）A ．2(),()x f x x g x x == B ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．lg y x =,21lg 2y x =D ．(),()f x g x x == 3．函数()12log 21-=x y 的定义域为（ ）A ． （，+∞） B ．（ ，1 C ．［1，+∞ D ．()+∞,14．已知幂函数()αx x f =的图象经过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为（ ） A ．116 B ． 16 C ．2 D ． 125．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数为（ ） A 1y x=B ln y x =C 3y x = D 2y x = 6．下列大小关系正确的是（ ）A 3.0log 34.044.03<< B 4.04333.0log 4.0<<C 4.03434.03.0log << D 34.044.033.0log <<7．若函数()xa x f =（0>a ，且1≠a ）的图象如图，其中a 为常数．则函数()()0≥=x xx g a的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．随着我国经济不断发展，人均GDP （国内生产总值）呈高速增长趋势，已知2008年年底我国人均GDP 为22640元，如果今后年平均增长率为%9，那么2020年年底我国人均GDP 为( ) A ．1322640(1 1.09)⨯+元 B ．1222640(1 1.09)⨯+元 C ．1322640 1.09⨯元D ．1222640 1.09⨯元9．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是（ ）A ． （－1，0）B ． （0，1）C ． （1，2）D ． （2，3） 10．可推得函数2()21f x ax x =-+在区间[1,2]上为增函数的一个条件是( ) A ．0a =B ．011a a<⎧⎪⎨<⎪⎩C ．012a a >⎧⎪⎨>⎪⎩D ．011a a>⎧⎪⎨<⎪⎩11．已知函数()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f 的值( )A. 恒为正值B.恒为负值C. 等于0D.不能确定12．定义在R 上的偶函数()f x ，当[1,2]x ∈时，()0f x <且()f x 为增函数，给出下列四个结论： ①()f x 在[2,1]--上单调递增； ②当[2,1]x ∈--时，有()0f x <； ③()f x -在[2,1]--上单调递减； ④ ()x f 在[2,1]--上单调递减． 其中正确的结论是( ) A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福州市高一上学期数学期中考试试卷B卷(测试)
（2） 求f[h（2）]的值；
（3） 求f（x），h（x）的值域．
20. （10分） (2017高一上·孝感期中) 已知函数 ．
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 用单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；
（3） 若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
（2） 当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．
参考答案
一、 单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共6题；共70分)
（1） 求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；
（2） 问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．
22. （15分） (2016高一上·成都期中) 已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=loga （a＞1）．
（1） 求函数g（x）的解析式；
A .
B .
C .
D .
9. （2分） 下列图象中，是函数图象的是（ ）
A . ①②B . ②③C Nhomakorabea. ②④
D . ①③
10. （2分） 已知y=f(x)为R上的可导函数，当 时， ， 则函数g(x)=f(x)+ 的零点分数为（ ）
福州市高一上学期数学期中考试试卷(II)卷(考试)
福州市高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·平罗期中) 已知集合中的三个元素，，分别是的三边长，则一定不是（）．A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形2. （2分）已知集合，若，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·遵义模拟) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·汪清月考) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . ，B . ，C . y=1，D . ，5. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 函数f（x）= 的图象可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·凉州期中) 函数的最小值和最大值分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分） (2016高二下·温州期中) 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=B . y=﹣x2+1C . y=2xD . y=lg|x+1|8. （2分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A . 10个B . 9个C . 8个D . 4个9. （2分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A . y=3﹣xB . y=﹣tanxC . y=D . y=﹣x|x|10. （2分） (2016高一上·延安期中) 集合{a，b}的子集的个数有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个11. （2分） (2016高一上·潍坊期中) 下列四个函数：①y=3﹣x；②y=2x﹣1（x＞0）；③y=x2+2x﹣10，；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分）设f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，且x•f（x）＞0的解集为（）A . （﹣2，0）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）C . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D . （﹣2，0）∪（0，2）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） ________14. （1分） (2016高一上·荔湾期中) 函数的定义域是________．15. （2分） (2019高一上·友好期中) 指数函数在上最大值与最小值之差为6，则________.16. （1分） (2016高一上·苏州期中) 设m，n∈R，定义在区间[m，n]上的函数f（x）=log2（4﹣|x|）的值域是[0，2]，若关于t的方程（）|t|+m+1=0（t∈R）有实数解，则m+n的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）已知，求：（1）a+a﹣1的值；（2）的值．18. （10分） (2016高一上·厦门期中) 已知集合A={y|y=log2x，x≥4}，B={y|y=（）x ，﹣1≤x≤0}．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∪B=B，求实数a的取值范围．19. （10分） (2018高一上·武威期末) 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.（1）求f(3)＋f(－1)；（2）求f(x)的解析式.20. （10分） (2016高一上·安徽期中) 定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21. （15分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（1）若f（3）=3，求f（﹣3）的值；（2）若有且仅有一个实数x0满足f（x0）=x0’且函数的定义域为R，①求实数m的取值范围；②求f（m）的取值范围．22. （15分）已知函数f（x）=2x+2ax+b且f（1）= ，f（2）= ．（1）求a，b的值：（2）判断并证明f（x）的奇偶性：（3）判斯并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并求f（x）的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
福州市高一上学期数学期中考试试卷(II)卷
福州市高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合则= （）A .B .C .D .2. （2分）如果，那么下列选项中，不一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·屯溪期中) 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设 ,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如： , ,已知函数 ,则函数的值域为（）A .B .C . 1,D . 1,2,4. （2分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数的周期为，将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·大连期中) 关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·厦门期中) 函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·长安月考) 下列说法正确的是（）A . 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B . 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C . 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D . 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥8. （2分）已知f（x）= 是R上的增函数，则实数a的取值范围（）A . [4，8 ）B . （4，8）C . （1，8）D . （1，+∞）二、填空题 (共11题；共11分)9. （1分） (2019高二下·金山月考) 若虛数、是实系数一元二次方程的两个根，且，则 ________.10. （1分） (2019高一上·葫芦岛月考) 若方程的两根为，则 ________.11. （1分） (2018高一下·百色期末) 已知，且，那么的最大值等于________．12. （1分） (2019高一上·双鸭山期中) 若方程有四个互不相等的实数根，则的取值范围是________.13. （1分） (2019高一上·西城期中) 若二元一次方程，，有公共解，则实数k=________.14. （1分）已知函数f（x）=x2﹣kx﹣8在区间[2，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是________15. （1分）(2017·上海模拟) 函数f（x）=lnx+ 的定义域为________．16. （1分） (2019高一上·牡丹江月考) 若，当时是增函数,当时是减函数,则 ________.17. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是________．18. （1分） (2018高三上·长沙月考) 长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是________．19. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知常数，函数的图像经过点、，若，则 ________三、解答题 (共6题；共55分)20. （10分） (2019高一上·长春月考) 已知函数的定义域为集合A，B＝{x|x<a}．（1）求集合A；（2）求集合A；（3）若A⊆B，求a的取值范围；（4）若A⊆B，求a的取值范围；（5）若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求∁U A及A∩(∁U B)．（6）若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求∁U A及A∩(∁U B)．21. （10分） (2018高一上·安吉期中) 已知函数f（x）= （a∈R）．（Ⅰ）若f（1）=2，求函数y=f（x）-2x在[ ，2]上的值域；（Ⅱ）当a∈（0，）时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论．22. （5分） (2016高一下·望都期中) 已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x| ＜x＜ }，（1）求a，c的值；（2）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．23. （10分） (2019高二上·吉林期中) 已知不等式ax2+3ax+1>0，（1）若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值；（2）若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值；（3）若不等式的解集是R,求的取值范围.（4）若不等式的解集是R,求的取值范围.24. （10分）已知m∈R，f（x）=32x+1+（m﹣1）（3x+1﹣1）﹣（m﹣3）•3x ．（1） m=4时，求解方程f（x）=0；（2）若f（x）=0有两不等实根，求m的取值范围；（3） m=4时，若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．25. （10分）已知（1）求的值；（2）当x∈（﹣t，t]（其中t∈（﹣1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；（3）当f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0时，求满足不等式f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0的x的范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共11题；共11分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共6题；共55分) 20-1、20-2、20-3、20-4、20-5、20-6、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、23-4、24-1、24-2、24-3、25-1、第11 页共11 页。
福州市高一上学期数学期中考试试卷D卷
福州市高一上学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4}，那么= （）A . {0,1}B . {2,3}C . {0,1,4}D . {0,1,2,3,4}2. （2分）可化为（）A .B .C .D . －3. （2分） (2018高二下·鸡西期末) 设函数 ,若 ,则实数的值为（）A . -2B . 8C . 1D . 24. （2分） (2017高一上·丰台期中) 下列函数中，与函数y=x（x≠0）图象相同的是（）A . y=B . y=C . y=D . y=（） 25. （2分） (2018高一上·山西月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·大连期中) 已知x，，且，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·辽宁期中) 函数的零点所在区间为（）A . （0，）B . （，）C . （，1）D . （1，2）8. （2分） (2018高一上·兰州月考) 设函数若有三个不等实数根，则的范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·屯溪期中) 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）A .B . [ ， ]C . [ ， ] { }D . [ ，） { }10. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·广东期中) 设 ,则（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·番禺期中) 设函数 = 则（）A .B .C . 1D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·新宁模拟) 若函数f（x）=（m-2）xm2-1是幂函数，则m的值为________ .14. （1分） (2018高一上·北京期中) 求值：2 + =________。
2022-2023学年福建省福州市高一上册11月期中考试数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年福建省福州市高一上册11月期中考试数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知,A B 均为实数集R 的子集，A B ⊆R ð，则A B =R ð（）A ．∅B ．A C ．BD ．R【答案】B【分析】由包含关系可确定B A ⊆R ð，由并集定义可得结果.【详解】A B ⊆R ð，B A ∴⊆R ð，A B A ∴=R ð.故选：B.2．下面各组函数中是同一函数的是（）A ．y y =B ．()f x x=与()0g x x =C ．221y xx =--与221y t t =--D ．y =y =【答案】C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，y ==-两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；B ．函数的定义域为{|0}x x ≠，()1,01,0x f x x >⎧==⎨-<⎩，()()10g x x x ==≠两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1x ≥，由()()110x x +-≥得1x ≥或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；故选：C ．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a ＜b ，则11a b>B ．若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C ．若a ＞b ，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a ＞b【答案】D【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D4．已知函数()20360x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，，，若()()2f a f a =-，则2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（）A ．0B ．6C ．3D ．-3【答案】C【分析】分022，0，a a a ≤<≤>三种情况讨论，化简()()2f a f a =-，求出a 值可得答案.【详解】当()()02363，a f a f a a a ≤=-⇒+=，则相应方程无解；当02a <≤，()()2232f a f a a a a a =-⇒+=⇒=，则()132a f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭；当()()()221222222，a f a f a a a a a a >=-⇒+=-+-⇒=<，则相应方程无解.综上：32a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C5．已知不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤，若不等式()()2112a x b x c ax ++-+≥解集为B ，则R B =ð（）A ．(][),23,∞∞-⋃+B ．()(),23,∞∞-⋃+C ．()2,3D ．[]2,3【答案】B【分析】由不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤可得3b ac a =-⎧⎨=⎩，从而求出{}23B x x =≤≤，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为不等式20ax bx c ++≥解集为{}12A x x =≤≤，所以1231220ba b a cc a a a ⎧-=+⎪⎪=-⎧⎪=⨯⇒⎨⎨=⎩⎪<⎪⎪⎩，()()2112a x b x c ax ++-+≥化为()()213122a x a x a ax +--+≥，即()()()22556060230a x x x x x x +≥⇒+≤⇒---≤-，解得23x ≤≤，{}23B x x =≤≤，所以R B =ð()(),23,∞∞-⋃+，故选：B.6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线1:C y =x 轴以上部分包括与x 轴的交点）与2:C y =x 轴以下部分包括与x 轴的交点）构成，则2b ac -=（）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】B【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.【详解】由图知，1:C y =()4,0，2:C y =()4,0，()0,6-则，有006==⎨⎪=-⎪⎩解得，42a cb ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩所以，218810b ac -=-=故选：B.7．命题p :()()28,1143,1x ax x f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨-+-<-⎪⎩在(],1x ∈-∞为增函数，命题Q ：()242a x g x x -=-在()2+∞，单调减函数，则命题P 是命题Q （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】计算命题P：aa <Q：a >a <.【详解】()()28,1143,1x ax x f x a x a x ⎧+--≤≤⎪=⎨-+-<-⎪⎩在(],1x ∈-∞为增函数，故1 240 4318aa a a a ⎧-≤-⎪⎪-+>⎨⎪--≤--⎪⎩，解得34a ≤<；()22242422a x a g x a x x --==+--在()2+∞，单调减函数，则2240a ->，解得aa <故命题P 是命题Q 充分不必要条件.故选：A8．设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且满足()20f =，对于任意()1212,0,,,x x x x ∈+∞≠都有()()222112210nn x f x x f x x x -<-（N n ∈）成立，（1）不等式()210f x x+>解集为13,,022∞⎛⎫⎛⎫+⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）不等式()210f x x+>解集为131,,222∞⎛⎫⎛⎫+⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）不等式()20220f x x>解集为()(),22,∞∞--⋃+（4）不等式()20220f x x >解集为()()2,00,2-⋃其中成立的是（）.A ．（1）与（3）B ．（1）与（4）C ．（2）与（3）D ．（2）与（4）【答案】A【分析】对于（1）（2）令0n =得()f x 的单调性，分0x >，0x <两种情况解决.对于（3）（4）构造函数()()2022,f x g x x =根据()()222112210nn x f x x f x x x -<-判断单调性，由()()()202202f x g x g x>⇒>求解即可.【详解】当0n =时，则()()()()22211212211200n n x f x x f x f x f x x x x x --<⇒>--，()y f x ∴=在()0,∞+上为增函数，偶函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()y f x ∴=在(),0∞-上为减函数，当0x >时，则()()()2102102,f x f x f x+>⇒+>=1212,2x x ∴+>∴>，当0x <时，()()()2102102,f x f x f x+>⇒+<=-3212,02x x ∴+>-∴-<<∴（1）正确，（2）错误设()()2022,f x g x x=则()()()()()()()1220222022202220221221121220222022121212120f x f x g x g x x f x x f x x x x x x x x x x x ---==>---，()()2022f xg x x ∴=是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，()20f =Q ∴不等式()()()202202f x g x g x >⇒>，2,2x x ∴>∴>或<2x -∴不等式()20220f x x >解集为()(),22,∞∞--⋃+，∴（3）正确，（4）错误，故选：A二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．命题“2R,10x x x ∀∈++≤”的否定是“2,10x R x x ∃∉++>”B ．两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件C ．若()y f x =为R 上的奇函数，则()y xf x =为R 上的偶函数D ．若(121f x =+，则()2243f x x x =++，[)1x ∈+∞，【答案】BC【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断A ，根据必要不充分条件的定义可判断B ，根据奇偶性的定义可判断C ，根据换元法可求解D.【详解】命题“2R,10x x x ∀∈++≤”的否定是“2R,10x x x ∃∈++>”，故A 错误，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，但是两个三角形全等，那么他们的面积一定相等，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B 正确，若()y f x =为R 上的奇函数，则()()f x f x =--，所以()(),g x xf x =()()(),g x xf x xf x -=--=故()()g x g x =-，因此()y xf x =为R 上的偶函数，故C 正确，若(121f x =+，令()11t t +=≥，所以()()22211243f t t t t =-+=-+，故则()2243f x x x =-+，[)1x ∈+∞，，故D 错误，故选：BC10．下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13y x -=B ．若函数()45f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减C ．幂函数y x α=()0α>始终经过点(0,0)和()1,1D ．若幂函数()()2223m f x m m x =--图象关于y 轴对称，则()()2253f a a f -+->【答案】ACD【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A 项；根据幂指数α与0的关系以及函数的性质，可判断B 项；代入即可判断C 项；根据已知可求出()2f x x =，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D 项.【详解】对于A 项，设幂函数解析式为y x α=，代入点1(,2)8，可得31228αα-⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以31α-=，解得13α=-，所以解析式为13y x -=，故A 项正确；对于B 项，由已知()45f x x -=为幂函数，且405-<，所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.又()()()45f x x f x --=-=，所以()f x 为偶函数，根据偶函数的性质可得，()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，故B 项错误；对于C 项，因为0α>，所以00α=，11α=，故C 项正确；对于D 项，由已知可得，22231m m --=，解得1m =-或2m =.又幂函数图象关于y 轴对称，所以2m =，()2f x x =.所以有()()f x f x =，又()2f x x =在区间(0,)+∞上单调递增，且()2225144a a a -+=-+≥，所以()()()()22252543f a a f a a f f -+-≥-=+>，故D 项正确.故选：ACD.11．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是4B ．11y x -+最小值为-1C ．22xy +的最小值是2D ．(1)x y +的最大值是94【答案】CD【分析】A 利用“1”代换求最值，B 因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，代入11y x -+中化简构造基本不等式验证即可，C 先把式子变形，再运用基本不等式，D 先构造()+13x y +=，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数,x y 满足2x y +=，即12x y+=所以11121x y x x y y ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222y x x y =+++≥+=，当且仅当22y xx y=，即1x y ==时等号成立，故选项A 不正确.B.因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，所以111(2)2111y x x x x x -=--=+-+++()113311x x =++-≥-=-+，当且仅当111x x =+⇒+0x =或2x =-，不满足故取不到最小值1-，故B 选项不正确.C.()2222x y x y xy+=+-()()2222222x y x y x y ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，故选项C 正确.D.因为2x y +=，所以()+13x y +=，则()219124x y x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当312x y =+=时等号成立，故选项D 正确.故选：CD.12．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”；若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =-1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【分析】A ，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值；B ，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，结合函数图象进行判断；C ，先设跟随区间为[],a b ，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，D ，若存在3倍跟随区间，则设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项A ：由已知可得函数()f x 在区间[1,]b 上单调递增，则有2()22,1f b b b b b =-+=>，解得2b =或1（舍)，所以2b =，A 正确；选项B ：若()11f x x=+存在跟随区间[],()a b a b <，又因为函数在单调区间(,0),(0,)-∞+∞上递减，图象如图示，则区间[],()a b a b <一定是函数的单调区间，即0a b <<或0a b <<,则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，此时,a b 异号，故函数()11f x x=+不存在跟随区间，B 不正确；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[],(1)a b a b -≤<，则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即b m a m ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式作差得：a b -=，即(1(1)a b a b a b -=+-+=-，又1a b -≤<1=，得01≤，所以1m a a =+=+[]0,1t ∈，则2m t t =-，即20t t m --=在区间[]0,1上有两个不相等的实数根，只需：Δ1400m m =+>⎧⎨-≥⎩，解得104m -<≤，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程2132x x x -+=的两个不相等的实数根，解得0x =或4-，故存在定义域为[]4,0-使得值域为[]12,0-，D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.三、填空题13．已知()21f x -的定义域为[]0,1，则()21f x -的定义域是__________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】本题考查抽象函数的定义域，()21f x -中21x -的范围即21x -的取值范围，就可以求得()21f x -的定义域.【详解】因为()21f x -的定义域为[]0,1，所以01x ≤≤，则2110x -≤-≤，即1210x -≤-≤，解得102x ≤≤，所以函数()21f x -的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知命题“2000,230x ax ax ∃∈--≥R ”为假命题，则a 取值范围为_________【答案】(]3,0-【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分0a =和0a ≠两种情况求解即可【详解】因为命题“2000,230x ax ax ∃∈--≥R ”为假命题,则2,230x ax ax ∀∈--<R 为真命题,则当0a =时,30-<满足题意,当0a ≠时,则2Δ4120a a a <⎧⎨=+<⎩,则30a -<<，综上,a 的取值范围为(3,0]-.故答案为:(3,0]-.15．某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件，据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少10件，若销售总收入不低于6000元，则定价范围是______【答案】[]2060，【分析】设提价后每件产品的定价为x 元，则销售总收入为20300102-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭x x 元，根据题意列出不等式即可求解.【详解】设提价后每件产品的定价为x 元，则销售总收入为20300102-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭x x 元，依题意有203001060002-⎛⎫-⨯≥ ⎪⎝⎭x x ，整理得28012000-+≤x x ，解得2060x ≤≤，所以定价范围为[]20,60.故答案为：[]20,60.16．设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()225g x x x =--，若()()2f g a ≤，则实数a 的取值范围是__________【答案】(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦【分析】由()2f x ≤可求得2x ≥-，即若()()2f g a ≤，只需()2g a ≥-；根据奇偶性可求得()g x 解析式，分别在0a >、0a =和a<0的情况下，解不等式()2g a ≥-即可求得结果.【详解】当0x <时，由()22f x x x =+≤得：20x -≤<；当0x ≥时，由22x -≤得：0x ≥；则()2f x ≤的解集为[)2,-+∞；当0x >时，0x -<，()225g x x x ∴-=+-，又()g x 为R 上的奇函数，()()()2250g x g x x x x ∴=--=--+>，又()00g =，()2225,00,025,0x x x g x x x x x ⎧--+>⎪∴==⎨⎪--<⎩；当0a >时，由()2252g a a a =--+≥-得：01a <≤；当0a =时，()02g a =≥-成立；当a<0时，由()2252g a a a =--≥-得：1a ≤-；综上所述：实数a 的取值范围为(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦.故答案为：(],10,1⎡⎤-∞-⋃⎣⎦.四、解答题17．已知集合143A x x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．请从①A B B ⋃=，②A B A = ，③()R A B ⋂=∅ð这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当12a =时，求A B ⋂；(2)若______，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}2,3A B ⋂=；(2)条件选择见解析，[)1,+∞.【分析】(1)取12a =化简B ，化简A ，再根据交集的定义求A B ⋂；(2)若选①，由A B B ⋃=可得A B ⊆，讨论a 的正负，由条件列不等式求a 的取值范围；若选②，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件A B A = 列不等式求a 的取值范围；若选③，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件()R A B ⋂=∅ð列不等式求a 的取值范围.【详解】（1）由题意得，{}141,2,33A x x ⎧⎫=∈<<=⎨⎬⎩⎭N ．当12a =时，{}11022B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∴{}2,3A B ⋂=；（2）选择①．∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．选择②∵A B A = ，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a<，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．选择③∵()R A B ⋂=∅ð，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，不满足A B ⊆，舍去．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．18．设2213x M xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，(){}2880N x x a x a =+--≤，命题:p x M ∈，命题:q x N ∈.（1）当6a =-时，试判断命题p 是命题q 的什么条件；（2）求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件.【答案】（1）命题p 是命题q 的必要不充分条件；（2）(),5-∞-.【分析】解分式不等式求得集合M ；（1）求出集合N 后，根据N M ≠⊂可确定结果；（2）分别在8a ->、8a -=和8a -<三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果.【详解】由2213x x ->+得：2251033x x x x ---=>++，即()()530x x -+>，解得：3x <-或5x >，{3M x x ∴=<-或}5x >；(){}()(){}288080N x x a x a x x a x =+--≤=+-≤，（1）当6a =-时，()(){}{}68068N x x x x x =--≤=≤≤，N M ≠⊂ ，p q ∴¿，q p ⇒，∴命题p 是命题q 的必要不充分条件.（2）当8a ->，即8a <-时，{}8N x x a =≤≤-，此时N M ≠⊂，满足条件；当8a -=，即8a =-时，{}8N =，此时N M ≠⊂，满足条件；当8a -<，即8a >-时，{}8x a x -≤≤，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则5a ->，即85a -<<-；综上所述：a 的取值范围为(),5-∞-.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含关系来确定推出关系.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y轴左侧的图象如图所示，(1)请画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调减区间；(2)写出函数()f x ，x ∈R 的解析式；(3)若函数()()22g x f x ax =-+，]2[1x ∈，，求函数()g x 的最大值()h a 的解析式．【答案】(1)作图见解析，单调递减区间是(),1-∞-，()1,+∞；(2)f （x ）＝222,02,0x x x x x x ⎧+≤⎨-+>⎩(3)()232,023,1024,1a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-<-⎩【分析】（1）根据奇函数的图象性质补充图象，观察图象写出函数()f x 的单调递减区间；（2）根据奇函数性质先求出0x >时函数()f x 的解析式，从而可得()f x 的解析式；（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.【详解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()0,∞+上的图象与其在(),0∞-上的图象关于原点对称，由此可得图象如图所示，单调减区间是(),1-∞-，()1,+∞；（2）因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-．因为当0x ≤时，()22f x x x =+，所以当0x >时，0x -<，()()()()2222x f x f x x x x ⎡⎤--=--+-=-⎦+⎣＝，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩；（3）因为函数()()]1,2[22,g x f x ax x =-+∈，所以()()2221[2,,2]g x x a x x =-+-+∈，①当11a -≤时，即0a ≥()()()max 132h a g x g a ===-⎡⎤⎣⎦；②当112a <-≤时，即10a -≤<时，()()()ma 2x 123h a g x g a a a ==-=-+⎡⎤⎣⎦，③当12a ->时，即1a <-时，()()()max 224h a g x g a ===-⎡⎤⎣⎦，()232,023,1024,1a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-<-⎩20．已知函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明见解析；（3）102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，.【分析】（1）由题意，令()00f =，()112f =代入求解,a b ，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()00f b ==，()111112f a a ==⇒=+，所以()21x f x x =+检验：()22()()11x xf x f x x x --==-=--++，为奇函数满足题意（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下：任取[]1212,1,1,x x x x ∈-<()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 是增函数，所以112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，即031221322t t t ⎧⎪<⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得：102t -≤<，所以不等式的解集为102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.21．某高校为举办百年校庆，需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天L x 的速度制备氦气．已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足4L ，日均额外成本为21416W x =+（百元）；若氦气日产量大于等于4L ，日均额外成本为29173W x x=+-（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．(1)写出总成本W （百元）关于日产量()L x 的关系式(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．【答案】(1)21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元【分析】（1）根据生产天数要求，可确定x 的取值范围；计算可得日产量不足4L 和大于等于4L 时，1L 氦气的平均成本，由此可得关系式；（2）分别在443x <≤、48x ≤≤的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【详解】（1）若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，4030x ∴≤，则43x ≥；若氦气日产量不足4L ，则1L 氦气的平均成本为116141W x x x+=++百元；若氦气日产量大于等于4L ，则1L 氦气的平均成本为2293118W x x x+=-+百元；21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）当443x <≤时，16416x x +≥（当且仅当164x x =，即2x =时取等号），∴当2x =时，W 取得最小值()40161680⨯+=；当48x ≤≤时，11184x ≤≤，令1t x =，则11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2409318W t t ∴=-+，则当16t =，即6x =时，W 取得最小值11401871042⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭；综上所述：当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元.22．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+．（1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【解析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=，然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解；（2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增；（3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【详解】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=．即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-．所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-．于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-．①当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤．②当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫⎪⎝⎭单增，又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减；此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭．欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m mg g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤≤，又02m <<，此时02m <<．③当12m≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减，由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤．综上，实数m 的取值范围为[]2,4-．【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数()g x 的单调性及最值是关键．。
2021-2022学年福建省福州市八县(市、区)一中高一(上)期中数学试卷-附答案详解
2021-2022学年福建省福州市八县（市、区）一中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列关系中，正确的有( )A. ⌀⊆{0}B. {0,1}={(0,1)}C. Q ∈ZD. {0}∈{0,1,2}2. 命题“∃x >0，x +1x ≤3”的否定是( )A. ∃x >0，x +1x >3 B. ∃x ≤0，x +1x ≤3 C. ∀x ≤0，x +1x >3D. ∀x >0，x +1x >33. 下列函数表示同一个函数的是( )A. s =350t ，与w =350dB. f(x)=x ，与g(x)=x 2x C. f(x)=1，与g(x)=x 0D. y =|x|，与y ={x(x >0)−x(x <0)4. 设f(x)={3x,x >0,2x ,x ≤0,g(x)={0,x 为无理数,1,x 为有理数,则f(g(π))=( )A. 2B. 0C. 1D. 35. 若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则1a <1b B. 若a >b ，则ac 2>bc 2 C. 若a >b >c >0，则ba−b >ca−c D. 若a >b >c >0，则ab <a+c b+c6. 若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为( )A. 11元B. 11元到15元之间C. 15元D. 10元到14元之间7. 已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−4x]=5恒成立，则f(2)=( )A. 1B. 3C. 7D. 98. 定义在区间(−∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a >b >0，给出下列不等式： ①f(b)−f(−a)>g(a)−g(−b)； ②f(b)−f(−a)<g(a)−g(−b)； ③f(a)−f(−b)>g(b)−g(−a)； ④f(a)−f(−b)<g(b)−g(−a)， 其中成立的是( )A. ①与④B. ②与③C. ①与③D. ②与④二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 若a =1，b =(0.5)5，c =(5)0.5，则下列关系判断正确的是( )A. b <cB. b <aC. b >aD. a >c10. 下列函数是奇函数的是( )A. f(x)=2|x|B. f(x)=4x −12xC.f(x)={x 2+2x,x ≥0−x 2+2x,x <0D. f(x)=x 311. 函数f(x)={(2a −1)x +3a,x <1a x ,x ≥1满足对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立的充分不必要条件是( )A. 0<a <12B. 14≤a <12C. 14<a <13D. 13<a <1212. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如[−4.5]=−5，[3.2]=3.已知函数f(x)=12−2x2x +1，g(x)=[f(x)]，则下列叙述中错误的是( )A. g(x)为减函数B. g(x)为奇函数C. g(x)为偶函数D. g(x)的值域是{−1,0}三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=(x −1)0√3−x 的定义域为______．14. 已知命题∀x ∈R ，ax 2−3ax −9<0恒成立，则a 的取值范围为______． 15. 若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是______．16.已知函数f(x)=x+mx (m>0)，x∈[12,1]，在函数f(x)的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，则实数m的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集为R，集合A={x|5−m<x<m}，B={x|2<x≤10}．(1)若m=6，求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+bx+2，a，b∈R．(1)若f(x)<0的解集为(1,2)，求a+b的值；(2)当a>0时，且f(−2)=0，若∀x1，x2∈[1,2]，|f(x1)−f(x2)|≤8恒成立，求a的取值范围．19.已知函数f(x)=a⋅2x+b，幂函数g(x)=(m2−3)x m3，且函数f(x)的图像过点(0,0)，当x趋向于负无穷大时，f(x)的图像无限接近于直线y=−1但又不与该直线相交；函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增．(1)分别求出f(x)，g(x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图；(2)定义∀x∈R，m(x)表示f(x)，g(x)中的最小者，记为m(x)=min{f(x),g(x)}．例如，当x=2时，m(2)表示f(2)，g(2)中的最小者．请结合(1)中的两个函数图像分别用图像法(草图)与解析法表示m(x)．20.已知a，b，c，d∈R．(1)试比较(a2+b2)(c2+d2)与(ac+bd)2的大小，并给出证明；(2)利用(1)的结论求函数f(x)=√3−x+√5+x的最大值．21.如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P从B点沿线段BC运动到C点，过P做BC的垂线L，与折线B−A−C交于M点，记直线L右侧阴影部分的多边形为Ω，设BP=4x，Ω的面积为S(x)，Ω的周长为L(x)．(1)求S(x)和L(x)的解析式；(2)记F(x)=S(x)，求F(x)的最大值．L(x)22.如果函数f(x)在定义域的某个区间[m,n]上的值域恰为[m,n]，则称函数f(x)为[m,n]上的等域函数，[m,n]称为函数f(x)的一个等域区间．(1)若函数f(x)=x2+2x，x∈R，则函数f(x)存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；(2)已知函数f(x)=a x+(a−p)x+b，其中a>0且a≠1，p>0，b∈R．(Ⅰ)当a=p时，若函数f(x)是[0,1]上的等域函数，求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：当0<a<1，p>a+1时，函数f(x)不存在等域区间．答案和解析1.【答案】A【解析】解：选项A ：根据空集的性质即可判断A 正确；选项B ：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为点(0,1)，故B 错误， 选项C ：因为有理数包含整数和小数，所以Z 是Q 的子集，故C 错误， 选项D ：因为集合间是包含与不包含关系不是属于关系，故D 错误， 故选：A ．选项A ：根据空集的性质即可判断；选项B ：根据集合的元素的性质即可判断；选项C ：根据Q 与Z 的定义即可判断；选项D ：根据集合的包含关系即可判断．本题考查了集合的包含关系，涉及到集合元素的性质，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题“∃x >0，x +1x ≤3”的否定是：∀x >0，x +1x >3． 故选：D ．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：A ：s =350t 与w =350d 的定义域，对应关系都分别相同，为同一函数； B ：f(x)=x(x ∈R)与g(x)=x 2x=x(x ≠0)的定义域不同，不是同一函数；C ：f(x)=1(x ∈R)与g(x)=x 0=1(x ≠0)的定义域不同，不是同一函数；D ：y =|x|={x,x ≥0−x,x <0与y ={x(x >0)−x(x <0)的定义域不同，不是同一函数．故选：A ．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)={3x,x >0,2x ,x ≤0,g(x)={0,x 为无理数,1,x 为有理数, ∴g(π)=0，∴f(g(π))=f(0)=20=1． 故选：C ．由题设条件推导出g(π)=0，由此能求出f(g(π))的值． 本题考查了根据函数的解析式求值，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A ，1a −1b =b−a ab，当a <b <0时，ab >0，b −a >0，则1a −1b =b−a ab>0，所以1a >1b ， 故选项A 错误；对于B ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项B 错误； 对于C ，当a >b >c 时，a −c >a −b >0， 则1a−b >1a−c >0，又b >c >0， 所以ba−b >ca−c ， 故选项C 正确； 对于D ，ab −a+cb+c =a(b+c)−(a+c)bb(b+c)=ab+ac−ab−bcb(b+c)=c(a−b)b(b+c)，因为a >b >c >0，则a −b >0，b +c >0， 故ab −a+cb+c >0， 所以ab >a+cb+c ， 故选项D 错误． 故选：C ．利用不等式的基本性质或者赋值法，对四个选项逐一分析判断即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式基本性质的理解与应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设每件商品的售价提高x(0<x<10)元，则每件获得利润(4+x)元，每天可销售(100−10x)件．设该商品每天的利润为y元，则由题意有y=(4+x)(100−10x)=−10x2+60x+400，要保证每天的利润在450元以上，则−10x2+60x+400>450，x²−6+5<0，得1<x<5，故每件商品的售价在11元到15元之间时，能确保该商品每天的利润在450元以上．故选：B．由题意列出关于利润的解析式，再求利润在450元以上的x的范围．本题考查函数在实际生活中的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−4x]=5恒成立，则f(x)−4x是一个常数，设f(x)−4x=t，则f(x)=4x+t，则有f(t)=4t+t=5，解得t=1，所以f(x)=4x+1，所以f(2)=4×2+1=9．故选：D．根据题意，可得f(x)−4x是一个常数，设f(x)−4x=t，则f(x)=4x+t，据此可得f(x)的解析式，再将x=2代入函数的解析式计算即可．本题考查函数解析式的求法，涉及函数值的计算，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意知，f(a)>f(b)>0又∵f(−a)=−f(a)，f(−b)=−f(b)，g(−a)=g(a)=f(a)，g(−b)=g(b)=f(b)；∴①f(b)−f(−a)>g(a)−g(−b)⇔f(b)+f(a)>f(a)−f(b)⇔f(b)>−f(b)， 故①对②不对．③f(a)−f(−b)>g(b)−g(−a)⇔f(b)+f(a)>f(b)−f(a)⇔f(a)>−f(a)， 故③对④不对． 故选C ．根据f(−a)=−f(a)，f(−b)=−f(b)，g(−a)=g(a)=f(a)，g(−b)=g(b)=f(b)，对①②③④进行逐一验证即可得答案． 本题主要考查函数奇偶性的应用．9.【答案】AB【解析】解：∵0<0.55<0.50=1，∴0<b <1， ∵50.5>50=1，∴c >1， ∴b <a <c ， 故选：AB ．利用指数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．10.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f(x)=2|x|，定义域为R ，有f(−x)=f(x)，是偶函数，不符合题意， 对于B ，f(x)=4x −12x，其定义域为R ，有f(−x)=4−x −12−x=1−2x 2x=−f(x)，f(x)是奇函数，符合题意，对于C ，f(x)={x 2+2x,x ≥0−x 2+2x,x <0，其定义域为R ，x ≥0时，f(−x)=−f(x)，当x <0时，f(−x)=−f(x)，则对于任意的x ∈R ，有f(−x)=−f(x)，f(x)是奇函数，符合题意，对于D ，f(x)=x 3，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)3=−x 3=−f(x)，f(x)是奇函数，符合题意， 故选：BCD ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】CD【解析】解：若满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，即f(x)在R上单调递减，所以{2a−1<00<a<1(2a−1)+3a≥a，解得14≤a<12，由题意，若寻找f(x)在R上单调递减的充分不必要条件，则选项为[14,12)的真子集，结合选项可知，C，D符合题意，故选：CD．由题意可得f(x)在R上单调递减，求出满足条件的a的取值范围，结合条件和选项可得结果．本题考查了分段函数单调性，充分必要条件的判定，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：f(x)=12−2x2x+1=12−(1−12x+1)=12x+1−12，∵2x>0，∴2x+1>1，∴0<12x+1<1，f(x)的值域为(−12,12 )，∴g(x)=[f(x)]的值域为{−1,0}，故D正确．作出g(x)的图象，如图所示：由图可知g(x)为常数函数、非奇非偶函数，所以说法错误为：ABC．故选：ABC．求出f(x)的值域，再画出g(x)的图象即可作答．作出g(x)的图象是本题的关键，属于基础题．13.【答案】(−∞,1)∪(1,3)【解析】解：要使得函数f(x)=(x −1)0+√3−x 的表达式有意义， 则x −1≠0且3−x >0，解得x ∈(−∞,1)∪(1,3)． 故答案为：(−∞,1)∪(1,3)．根据使得函数表达式有意义即可解决此题．本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】(−4,0]【解析】解：因为∀x ∈R ，ax 2−3ax −9<0恒成立， ①当a =0时，−9<0恒成立，符合题意；②当a ≠0时，{a <0Δ=(−3a)2−4a ×(−9)<0，解得−4<a <0． 综上所述，实数a 的取值范围为(−4,0]． 故答案为：(−4,0]．分a =0和a ≠0两种情况，利用二次函数的图象与性质，列式求解即可．本题考查了不等式恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：因为正数a ，b 满足a +4b =ab ， 所以1b +4a =1，所以a +b =(a +b)(1b +4a )=5+ab+4b a≥5+2√a b ⋅4b a=9，当且仅当a b =4b a且a +4b =1，即a =6，b =3时取等号，此时a +b 取得最小值9． 故答案为：9．由已知得1b +4a =1，而a +b =(a +b)(1b +4a )，展开后结合基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件．16.【答案】(0,+∞)【解析】解：在(0,+∞)上任取0<x 1<x 2，则f(x 1)=x 1+mx 1，f(x 2)=x 2+mx 2， ∴f(x 1)−f(x 2)=x 1+m x 1−x 2−m x 2=(x 1−x 2)+m(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)x 1x 2−m x 1x 2，当0<x 1<x 2<√m 时，则x 1−x 2<0，0<x 1x 2<m ， ∴x 1x 2−m <0， ∴f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−m x 1x 2>0，∴f(x)在(0,√m)上单调递减；当√m <x 1<x 2时，则x 1−x 2<0，m <x 1x 2，x 1x 2−m >0， ∴f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−m x 1x 2<0，∴f(x)在(√m,+∞)上单调递增；∵f(x)的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形， 2f(x)min >f(x)max ，①、当12<1≤√m 即m ≥1时， ∵f(x)在x ∈[12,1]上单调递减，∴f(x)min =f(1)=1+m ，f(x)max =f(12)=12+2m ， ∵2f(x)min >f(x)max ， ∴2(1+m)>12+2m ， ∴m ≥1；②、当√m ≤12即0<m ≤14时，f(x)在x ∈[12,1]上单调递增， f(x)max =f(1)=1+m ，f(x)min =12+2m ，∵2f(x)min >f(x)max ，∴2(12+2m)>1+m ，解得m >0， ∴0<m ≤14；③、当14<m <1即12<√m <1时，f(x)在[12,m]上单调递减，在[√m,1]上单调递增，f(x)min =f(√m)=2√m ，f(1)=1+m ，f(x)=12+2m ， a)当f(1)=f(12)即1+m =12+2m 时，m =12，f(x)max =f(1)=f(12)=32，f(x)min =f(√m)=2√m =√2，满足2f(x)min >f(x)max ， m =12符合题意；b)当f(1)>f(12)即1+m >12+2m 时，则14<m <12， f(x)min =f(√m)=2√m ，f(x)max =f(1)=1+m ， 又2f(x)min >f(x)max ，∴4√m >1+m ，解得0<m <(2+√3)2， 又∵14<m <12， ∴14<m <12；c)当f(1))<f(12)即1+m <12+2m 时，则12<m <1， f(x)min =f(√m)=2√m ，f(x)max =f(12)=12+2m ， 2f(x)min >f(x)max ，∴4√m >12+2m ，解得74−√3<m <74+√3， 又∵12<m <1，且74−√3<12,1<74+√3， ∴12<m <1，符合题意；综上所述：实数m 的取值范围为(0,+∞)． 故答案为：(0,+∞)． 先判断f(x)=x +m x(m >0)在(0,+∞)上的单调区间，再根据三角形两边之和大于第三边得到2f(x)min >f(x)max ，然后结合x ∈[12,1]对m 进行分类讨论，在对应情况下解关于f(x)min 、f(x)max 的不等式即可得到m 的取值范围．f(x)的单调性也可由双勾函数的性质得到，难点是分类太多，情况较复杂易出错，属于中档题．17.【答案】解：(1)若m =6，则A ={x|5−m <x <m}={x|−1<x <6}，∴∁R A ={x|x ≤−1或x ≥6}，∵B={x|2<x≤10}，∴A∪B={x|−1<x≤10}，(∁R A)∩B={x|6≤x≤10}．(2)∵x∈B是x∈A的充分条件，∴B⊆A，∴{5−m≤2m>10，∴m>10．∴实数m的取值范围为(10,+∞)．【解析】(1)先求出集合A和∁R A，再利用集合的运算求解即可．(2)由x∈B是x∈A的充分条件，得到B⊆A，再列出不等式组求解．本题考查了集合的运算性质，充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵f(x)=ax2+bx+2<0的解集为(1,2)，∴1和2是方程ax2+bx+2=0的两个解，∴1×2=2a ，1+2=−ba，解得a=1，b=−3，∴a+b=−2；(2)当a>0时，f(−2)=0，即4a−2b+2=0⇒b=2a+1，∴f(x)=ax2+(2a+1)x+2，其对称轴方程为x=−2a+12a<0，∴f(x)在区间[1,2]上单调递增，∴f(x)max=f(2)=8a+4；f(x)min=f(1)=3a+3，∵∀x1，x2∈[1,2]，|f(x1)−f(x2)|≤8恒成立⇔f(x)max−f(x)min=8a+4−(3a+ 3)≤8，解得a≤75，又a>0，∴a∈(0,7 5 ].【解析】(1)由题意知，1和2是方程ax2+bx+2=0的两个解，由韦达定理计算可得a，b的值，从而得到a+b的值；(2)依题意，得f(x)=ax2+(2a+1)x+2，求得其对称轴方程，分析得到f(x)在区间[1,2]上单调递增，将恒成立问题转化为函数的最值问题，从而得到8a+4−(3a+3)≤8，解出可得答案．本题主要考查不等式恒成立问题，考查二次函数的性质及其应用，考查函数与方程思想与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由已知得，{a+b=0b=−1，解得a=1，b=−1，所以f(x)=2x−1，因为幂函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，所以{m2−3=1 m3>0，解得m=2，所以g(x)=x23，令f(x)=g(x)，即2x−1=x23，解得x=0或1，在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图，(2)由(1)可得m(x)={2x−1,x≤1 x23,x>1，如图所示，【解析】(1)由f(x))=a⋅2x+b图像无限接近于直线y=−1但又不与该直线相交，可知b的值，将(0,0)代入可得a，从而求得f(x)解析式，根据幂函数的特征以及函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，可得m的值，进而求得g(x)解析式；(2)根据定义可得m(x)的解析式．本题考查了幂函数，指数型函数的解析式，图像以及分段函数的图像画法，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据题意，(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，证明：(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2−a2c2−2acbd−b2d2=a2d2+b2c2−2acbd=(ad−bc)2≥0，当且仅当ad=bc时等号成立，故(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，(2)f(x)=√3−x+√5+x，则[f(x)]2=(1×√3−x+1×√5+x)2≤2×(3−x+ 5+x)=16，当且仅当3−x=5+x，即x=−1时等号成立；变形可得f(x)≤4，即函数f(x)=√3−x+√5+x的最大值为4．【解析】(1)根据题意，由不等式的性质分析(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2的符号，即可得结论；(2)根据题意，由(1)的结论，分析可得[f(x)]2=(1×√3−x+1×√5+x)2≤2×(3−x+5+x)=16，变形可得答案．本题考查不等式的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．21.【答案】解：过A作AD垂直于BC，交BC于D，∴tanB=tanC=3；4(1)当0≤BP≤8时，即0≤4x≤8，得0≤x≤2，因为BP =4x ，则PM =3x ，BM =5x ， 所以S △SPM =12BP ⋅PM =6x 2， 所以S(x)=S ΔABC −S ΔBPM =48−6x 2， L(x)=36−BP −BM +PM =36−6x ，(2)当8<BP ≤16时，即8<4x ≤16，得2<x ≤4时，因为BP =4x ，所以CP =16−4x ，所以PM =12−3x ，CM =20−5x ， 所以S(x)=12PM ×CP =6(4−x)2；L(x)=PM +CP +MC =12(4−x)， 综上S(x)={48−6x 2,0≤x ≤26(4−x)2,2<x ≤4，L(x)={36−6x,0≤x ≤212(4−x),2<x ≤4，(2)由(1)可得：①F(x)=S(x)L(x)={48−6x 236−6x ,0≤x ≤2,6(4−x)212(4−x),2<x ≤4，F(x)={8−x26−x,0≤x ≤2,12(4−x),2<x ≤4，②当2<x ≤4时，F(x)=12(4−x)，所以F(x)<F(2)=1， 当0≤x ≤2时，F(x)=8−x 26−x，设t =(4−x)，∴x =6−t ，4≤t ≤6， y =8−(6−t)2t =−t −28t+12=−(t +28t)+12，∵t +28t≥4√7，当且仅当t =2√7∈[4,6]时等号成立，∴当t =2√7，x =6−2√7，y max =12−4√7， 又∵12−4√7>1，∴当x =6−2√7时，F(x)的最大值是12−4√7．【解析】(1)由题意分别求多边形的面积和周长即可， (2)在(1)的基础上，对分段函数求最值即可． 本题考查函数在实际生活中的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2+2x 存在等域区间，如[−1,0]；(2)(Ⅰ)当a =p 时，f(x)=a x +b ， 若函数f(x)是[0,1]上的等域函数， 当a >1时，f(x)为增函数， 则{f(0)=1+b =0f(1)=a +b =1，所以{a =2b =−1，此时f(x)=2x −1；当0<a <1时，f(x)为减函数， 则{f(0)=1+b =1f(1)=a +b =0， 解得{a =0b =1，不满足条件，故舍去，所以f(x)=2x −1；(Ⅱ)证明：当0<a <1，p >a +1时， −p <−a −1， 即a −p <−1<0，所以函数f(x)=a x +(a −p)x +b 为减函数， 假设存在等域区间[m,n]，则{f(m)=a m +(a −p)m +b =n f(n)=a n +(a −p)n +b =m， 两式作差得，a m −a n +(a −p)(m −n)=n −m ，即a m −a n =−(a −p)(m −n)+(n −m)=(p −a −1)(m −n)， 因为m <n ，p >a +1， 所以a m −a n <0， 即a m <a n而0<a <1时，y =a x 为减函数， 故应有a m >a n ，两者矛盾， 故函数f(x)不存在等域区间．【解析】(1)分析函数f(x)的定义域值域即可判断；(2)(Ⅰ)a =p 时，f(x)=a x +b ，根据等域函数定义，列方程组求解a ，b ； (Ⅱ)反证法证明．本题考查了函数的值域，解析式，反证法证明等知识，属于综合题．。
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福建省福州市高一上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2020·海南模拟) 已知集合，则集合（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
3. （2分） (2018高一上·大连期末) 函数满足条件，则的值（）
A . 5
B . 6
C . 8
D . 与a,b值有关
4. （2分）(2019·上饶模拟) 已知函数，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）如果函数在区间上是减少的，那么实数a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二下·大连期末) 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）已知扇形的弧长为3，面积为6，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）
A .
B .
C . 2
D . 4
8. （2分）某产品成本价为a，由于不断改进技术，成本平均每年降低10%，则经过x年后该产品的成本价为（）
A . a•0.9x
B . a•0.9x+1
C . a•0.9x﹣1
D . a•0.9x﹣a
9. （2分）点A（sin2015°，cos2015°）位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
10. （2分）(2020·日照模拟) 三个数，，的大小顺序是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）
A .
B .
C .
D . 不能确定
12. （2分） (2015高一下·正定开学考) 已知函数，f（x0）＞1，则x0的取值范围为（）
A . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C . （﹣∞，0）∪（1，+∞）
D . （﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一上·东海期中) 函数y= 的定义域为________
14. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．
15. （1分）与角终边相同的角是________，它们是第________象限的角，其中最小的正角为________．
16. （1分） (2016高一上·杭州期中) 函数，（0＜a＜1）的单调递减区间是________
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分） (2018高一上·长安期末) 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3） .
18. （5分） (2016高一上·广东期末) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
19. （10分） (2016高一上·沙湾期中) 已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）= ，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值．
20. （15分） (2016高一上·南充期中) 已知函数f（x）= ﹣．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式f（f（x））+f（）＜0．
21. （10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（）x+（）x ，（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
22. （10分） (2019高一上·天津期中) 已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax.（1）若a=-2，求函数f (x)的解析式；
（2）若函数f (x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
18-3、19-1、
19-2、20-1、20-2、
20-3、21-1、
22-1、
22-2、。