广东省佛山市顺德区2021届高三数学上学期统一调研测验试题(一)文(含解析).doc

广东省佛山市顺德区2021届高三数学上学期统一调研测验试题（一）
文（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ＝{x |0＜x ＜6}，B ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}，则A ∪B ＝（ ） A. {x |1＜x ＜6} B. {x |x ＜﹣2或x ＞0}
C. {x |2＜x ＜6}
D. {x |x ＜﹣
2或x ＞1} 【答案】B 【解析】 【分析】
可以求出集合B ，然后进行并集的运算即可．
【详解】∵B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，A ＝{x |0＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞0}． 故选：B ．
【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题 2.若21i
z i
-=+，则z z +=（ ） A. 1- B. 1
C. 3-
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数是(i ,)z a b a b =-∈R ，复数除法运算是将分母实数化，
即()()()()()22
(,,,)c di a bi ac bd ad bc i
c di a b c
d R a bi a bi a bi a b
+⋅-++-+==∈++⋅-+． 详解】∵()()21132
2
2
i i z i --=
=-，∴
1z z +=.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
3.0.50.4，0.40.5，0.5log 0.4的大小关系为( ) A. 0.5
0.40.50.4
0.5log 0.4<<
B. 0.4
0.50.50.5
0.4log 0.4<<
C. 0.5
0.40.5log 0.40.40.5<<
D. 0.4
0.50.5log 0.40.5
0.4<<
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意利用对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性，判断0.40.5，0.50.4
，log 0.50.4的大小关系．
【详解】∵log 0.50.4＞log 0.50.5＝1，0.50.4 ＞0.50.5 =0，1），0.40.5==∈（0，1），
∴log 0.50.4＞0.50.4 ＞0.40.5 ， 故选：A ．
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，考查逻辑推理的核心素养.
4.若曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ=（ ） A.
23
π或53π
B.
3π
或43π C.
56π
或116
π D.
6π或76
π
【答案】A 【解析】 【分析】
正弦函数sin y x =的对称中心是()(),0k k Z π∈，由“五点法”作图得，将12
x π
=
代入．
【详解】因为曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
所以()412
k k Z π
ϕπ⨯
+=∈，又02ϕπ<<，所以1k =时23ϕπ=
，2k =时5=3
ϕπ. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.
5.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）
A. AC AD -
B. 22AC AD -
C. AD AC -
D.
22AD AC -
【答案】D 【解析】 【分析】
本题是用,AC AD 当基底向量，来表示AB ，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD 表示CD ，再探究CD 、AB 的线性关系即可． 【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，
所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()
2222AB CD AD AC AD AC ==-=-. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51
2
BC AC =
.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）
A.
15
4
- B. 35
8
+-
C. 51
4
-
D.
45
8
+-
【答案】C 【解析】 【分析】
要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有
1512cos72BC
AC -︒==
，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且
1512cos72BC
AC -︒==
，251
cos1442cos 7214
︒=︒-=-
， 则()51
sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.
7.A ，B ，C 三人同时参加一场活动，活动前A ，B ，C 三人都把手机存放在了A 的包里.活动结束后B ，C 两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( ) A.
12
B.
13
C.
23
D.
16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据古典概型结合列举法代入公式即可；
【详解】设A ，B ，C 三人的手机分别为A '，B '，C '，
则B ，C 两人拿到的手机的可能情况为(),B A C B ''--，(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，
(),B B C C ''--，(),B C C A ''--，(),B C C B ''--，共六种.
这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，共两种， 故所求概率为21
63
=. 故选：B
【点睛】本题考查古典概型，考查应用意识以及枚举法的运用.
8.如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点()2,15A ，则圆C 的半径为（ ）
A. 2
B. 8
C. 2
D. 10
【答案】A 【解析】 分析】
题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点A 之间的距离即是半径．
【详解】由图可知，直线与圆C 切于点()2,1，即圆C 经过点()2,1，又圆C 经过点()2,15，所以圆C 的圆心在直线8y =上.
又直线过点()()0,33,0，，所以直线的斜率30
103
k -==--， 因为直线与圆C 切于点()2,1，所以圆心在直线()1
121
y x --=--，即10x y --=上.
联立8,
10,y x y =⎧
⎨
--=⎩得圆C 的圆心为()9,8，
则圆C 的半径为
()()
22
928172-+-=.
【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.
圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（121k k ）．
9.为了配平化学方程式22232aFeS bO cFe O dSO +=+，某人设计了一个如图所示的程序框图，则输出的a ，b ，c ，d 满足的一个关系式为（ ）
A. a +b ﹣c ﹣d ＝2
B. a +b ﹣c ﹣d ＝3
C. a +b ﹣c ﹣d ＝4
D. a +b ﹣c ﹣
d ＝5
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a ，b ，c ，d 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得
c ＝1，a ＝2，
d ＝4，b 11
2
=
， 不满足条件b ∈N ，执行循环体，c ＝2，a ＝4，d ＝8，b ＝11
此时，满足条件b∈N，退出循环，输出a的值为4，b的值为11，c的值为2，d的值为8
可得a+b﹣c﹣d＝4+11﹣2﹣8＝5．
故选：D．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
c=，且
10.设a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知b=2
=+，则a=( )
sin2cos cos2cos cos
a A
b A C
c A B
A. 1
B. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得cos A的值，进而根据余弦定理可求a的值．
【详解】∵a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，
∴由正弦定理可得：sin2A＝2sin B cos A cos C+2sin C cos A cos B，
可得sin2A＝2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A，
∵A∈（0，π），sin A≠0，
==，
∴sin A＝2cos A，即tan A＝2，cos A
5
∵b=c＝2，
∴由余弦定理可得a===．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，现有下面三个结论：①EFG ∆为正三角形；②异面直线1A G 与1C F 所成角为60︒；③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ②③
C. ①②
D. ①③
【答案】D 【解析】 【分析】
①计算出三边是否相等；②平移1A G 与1C F ，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面EFG 内是否有与AC 平行的直线．
【详解】
易证EFG ∆的三边相等，所以它是正三角形.
平面EFG 截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC 的交点为1CC 的中点N ， 易证//AC EN ，从而//AC 平面EFG .取11A B 的中点H ，连接1C H ，FH ，
则1
1//AG C H ，易知11C H C F HF =≠， 所以1C H 与1C F 所成角不可能是60︒，从而异面直线1A G 与1C F 所成角不是60︒. 故①③正确.
【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
12.已知函数()3
9f x x x =-，()()()10g x f
f x =-，则()
g x 的零点个数为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复合函数的性质，转化为新的方程x 3
﹣9x ＝10或13或7的解的问题，然后转化为交点问题即可得答案．
【详解】根据题意得，若函数f （x ）＝x 3
﹣9x ＝0⇒x （x 2
﹣9）＝0，解得x ＝0或±3； 令g （x ）＝f （f （x ）﹣10）＝0⇒f （x ）﹣10＝0或±3，即x 3﹣9x ＝10或13或7； ∵f （x ）＝x 3﹣9x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣9＝3（x 2﹣3）；
令f ′（x ）＝0⇒x ＝±3；令f ′（x ）＞0⇒x 3-＜或x 3＞；令f ′（x ）＜0⇒33x -＜＜； 且f （3-）63=；f （3）＝﹣63； 画出函数f （x ）草图为：
通过图象可以发现：x 2
﹣9x ＝10或13或7共有7个解， 故函数g （x ）有7个零点． 故选：B ．
【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，复合函数的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若函数()22,1,21,1,
x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩则()()0f f =______.
【答案】5 【解析】 【分析】
根据分段函数f （x ）的解析式，求出f （0）以及f （f （0））的值即可． 【详解】
()03,f =∴ ()()()035f f f ==.
故答案为5
【点睛】本题考查了利用分段函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题．
14.已知x ，y 满足不等式组20200x y x y x -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为________.
【答案】6 【解析】 【分析】
利用约束条件得到可行域，可知当2z y x =-取最大值时，12
2
z
y x =+在y 轴截距最大；由直线1
2
y x =
平移可知过A 时截距最大，代入A 点坐标求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
当2z y x =-取最大值时，122z
y x =
+在y 轴截距最大 由直线1
2
y x =平移可知，当122z y x =+过点A 时，截距最大
由20
20
x y x y -+=⎧⎨-=⎩得：()2,4A max 2426z ∴=⨯-= 本题正确结果：6
【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴的截距最值的求解问题，属于常考题型.
15.在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且
3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小
值为_____.
【答案】6π 【解析】 【分析】
由题得PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，利用对角线为直径求解最值即可
【详解】∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点， 设()03CD x x =<<，则3PD x =-.
从而球O 的表面积为
()2
243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝
⎭
.
故答案为6π
【点睛】本题考查球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.
16.已知函数f (x )＝21
21
2
1
x x a x a a x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＋－，－，＞，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1<a ≤2 【解析】
【详解】因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y=a x －a 递增， 得12＋
1
2
a －2≤0，则a ≤2， 又a x －a 是增函数，
故a ＞1，所以a 的取值范围为1＜a ≤2.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a c b -=，且
sin cos 3cos sin A C A C =.
（1）求b 的值； （2）若4
B π
=
，S 为ABC ∆的面积，求S 的最大值.
【答案】（1）4b =（2
）4+ 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理和余弦定理将已知等式化为22222a c b -=，与222a c b -=联立可求得b ；（2
）利用余弦定理可求得2216a c +=，与222a c b -=联立可求得,a c
的
关系，代
入222a c b -=可求得2c ；利用三角形面积公式可求得S ；由于满足条件的三角形只有一个，可知所求的S 即为最大值.
【详解】（1）由sin cos 3cos sin A C A C =得：222222322a b c b c a a c ab bc
+-+-⋅=⋅
整理可得：22222a c b -=，又222a c b -=
24b b ∴=，解得：4b =
（2
）由余弦定理得：222222cos 16b a c ac b a c =+-=+=
2222168a c a c ⎧+-=⎪∴⎨-=⎪⎩
，解得：2a c =
2
222162a c c ⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得：212c =+
211sin 422S ac B ∴=
==+ 只有一个三角形满足条件
max 4S ∴=+【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过正余弦定理化简已知等式，将等式变为三边之间的关系；易错点是在求解面积最大值时，忽略满足题意的三角形有且仅有一个，采用常规基本不等式的方式求解最值，造成求解错误.
18.在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．
图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．每周运动的总时长不少于14小时为运动较多．
（1）根据题意，完成下面的2×2列联表：
有肠胃病无肠胃病总计
运动较多
运动较少
总计
（2）能否有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？
附：K2
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
=
++++
（n＝a+b+c+d）
P（K2≥k）0.0.50 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析； (2) 有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关
【解析】 【分析】
（1）由柱形图计算得出对应数据，再填写列联表；（2）根据表中数据计算K 2
，对照数表得出结论．
【详解】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30， 运动较多的人数为2+1+1=4；
无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6， 运动较多的人数为2+4+4=10. 故2×2列联表如下： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 4 10 14 运动较少 30 6 36 总计 34
16
50
（2）()2
25046301013.89210.82834161436
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
故有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19.如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .
（1）证明：//OF 平面ABE ；
（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】 【分析】
（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，证明四边形OFEM 为平行四边形，可得出
//OF EM ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//OF 平面ABE ；
（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，将五面体ABCDFE 分割为三棱柱ABE GHF -和四棱锥F CDGH -，证明出AD ⊥底面ABE 和OF ⊥平面ABCD ，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE 的体积.
【详解】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ， 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =，O ∴为AC 的中点，
又
M 为AB 的中点，//OM BC ∴且1
2
OM BC =
， //EF BC 且1
2
EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴.
OF ⊄平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ；
（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ， 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥. 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD
平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，
AD ∴⊥底面ABE ，
易知3EF =，32AE BE ==(2
1
3292
ABE
S ∆=⨯=，
9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，
M 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，
AD ⊥平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，
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AB
AD A =，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD .
//OF EM ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，
1
633183
F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体.
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
20.已知函数()()20x
x
f x e e
ax a -=++>.
（1）求()f x 的单调区间； （2）若()3
65
48
a f x a -<<+
对[],x a a ∈-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.(2) ()2,3ln 2 【解析】 【分析】
（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）由（1）先求出函数的最小值，
可得f （x ）min ＝f （a ）＝f （﹣a ）＝e a +e ﹣a +a 3，则可得即2
658a a
a e e -⎧⎪
⎨+⎪⎩
＞＜，即可求出a 的范围． 【详解】（1）()2x
x
f x e e
ax -'=-+
因为0a >，所以()f x '为增函数 又()00f '=，
所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.
所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. （2）由（1）可知，()f x 在[),0a -上单调递减，在(]0,a 上单调递增， 所以()()min 02f x f ==
又()f x 为偶函数，所以()()()3max a
a
f x f a f a e e
a -==-=++.
因为()3
65
48
a f x a -<<+
对[],x a a ∈-恒成立， 所以33
42,65,8a a a e e a a --<⎧⎪⎨++<+⎪⎩即2,65.8a a a e e ->⎧
⎪⎨+<⎪⎩
令()1a
e t t =>，则2651
86580888
a a
e e t t t -+<
⇔-+<⇔<<， 因为1t >，所以03ln 2a <<， 所以a 的取值范围为()2,3ln 2.
【点睛】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想方法，以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．
21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a 、b 、c
，且为sin cos c C c B =-. （1）求角B 的大小；
（2
）若b =ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3
B π
=（2
）【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式可整理得1sin 62
B π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭，根据角所处的范围可求得66
B ππ
-
=，求得B ；（2）利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可求得ac 的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）
由sin cos c C c B =-
及正弦定理可得：sin sin sin cos C B C C B =-
()0,C π∈ sin 0C ∴≠
cos 1B B -=，即：1sin 62B π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
()0,B π∈ 5,666B π
ππ
⎛⎫
∴-
∈- ⎪
⎝⎭
66B ππ∴-=，解得：3B π= （2）由余弦定理得：222222cos 12b a c ac B a c ac =+-=+-=
22122a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=（当且仅当a c =时取等号）
11
sin 12sin 223
ABC S ac B π
∆∴=≤⨯=，即ABC ∆面积的最大值为【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到利用正弦定理进行边角互化、利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值的问题，属于常考题型.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为
2sin 23202πρθθ⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的
交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 【答案】(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x = 【解析】 【分析】
(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；
(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C 直角坐标方程为()2
224x y +-=，
即22
4x y y +=， 所以2
4sin ρρθ=，
即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）因为曲线M 的极坐标方程为2
sin 23202πρθθ⎛
⎫
=<<
⎪⎝
⎭
，
所以ρ=
将θβ=代入，得
OB =
因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=
所以OA OB ⋅===
则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =
【点睛】设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，
sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0y
x x
θ=
≠．
23.已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=.
（13. （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析； 【解析】 【分析】
(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．
【详解】证明：（1）因为a ，b 为正数，所以a b +≥，
同理可得b c +≥，a c +≥，
所以()2a b c ++≥ 当且仅当1a b c ===时，等号成立
3≤.
（2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证149
12a b c
++≥ 即证()14936a b c a b c ⎛⎫
++++≥ ⎪⎝
⎭， 即证499414936a b a c b c b a c a c b
+++
+++++≥，
即证4994
22
a b a c b c
b a
c a c b
+++++≥.
因为4
4
a b
b a
+≥=，
9
6
a c
c a
+≥=，
94
12
b c
c b
+≥=，
所以4994
22
a b a c b c
b a
c a c b
+++++≥，
当且仅当
1
2
a=，1
b=，
3
2
c=时，等号成立，从而9412
ab bc ac abc
++≥得证.
【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．
综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．
分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．。